1、2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.(2015北京,文1)若集合A=x|-5x2,B=x|-3x3,则AB=()A.x|-3x2B.x|-5x2C.x|-3x3D.x|-5x3答案:A解析:在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示.由交集的定义可得,AB为图中阴影部分,即x|-3x2.2.(2015北京,文2)圆心为(1,1
2、)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案:D解析:由题意可得圆的半径为r=2,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.3.(2015北京,文3)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案:B解析:根据偶函数的定义f(-x)=f(x),A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为(0,+)不具有奇偶性,D选项既不是奇函数也不是偶函数.故选B.4.(2015北京,文4)某校老年、中年和青年教师的人数
3、见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A.90B.100C.180D.300答案:C解析:方法一:由题意,总体中青年教师与老年教师的比例为1 600900=169.设样本中老年教师的人数为x,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即320x=169,解得x=180.故选C.方法二:由已知分层抽样中青年教师的抽样比为3201 600=15,由分层抽样的性质可得老年教师的抽样比也等于15,所以样本中老年教师的人数为90015=18
4、0.故选C.5.(2015北京,文5)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:初值为a=3,k=0.进入循环体后,a=32,k=1;a=34,k=2;a=38,k=3;a=316,k=4,此时a14,退出循环,故k=4.6.(2015北京,文6)设a,b是非零向量,“ab=|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:ab=|a|b|cos ,若ab=|a|b|,则cos =1,即=0,ab.而当ab时,还可能是,此时ab=-|a|b|,故“ab=|a|b|”是“ab”的充分而不必
5、要条件,选A.7.(2015北京,文7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.2C.3D.2答案:C解析:四棱锥的直观图如图所示.由三视图可知,SB平面ABCD,SD是四棱锥最长的棱,SD=SB2+BD2=SB2+AB2+BC2=3.8.(2015北京,文8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升答案:B
6、解析:因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数s=35 600-35 000=600(千米).所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48600100=8(升).故选B.第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(2015北京,文9)复数i(1+i)的实部为.答案:-1解析:复数i(1+i)=i-1=-1+i,其实部为-1.10.(2015北京,文10)2-3,312,log25三个数中最大的数是.答案:log25解析:2-3=18log24=23,所以log25最大.11.(2015北
7、京,文11)在ABC中,a=3,b=6,A=23,则B=.答案:4解析:由正弦定理,得asinA=bsinB,即332=6sinB,所以sin B=22.所以B=4.12.(2015北京,文12)已知(2,0)是双曲线x2-y2b2=1(b0)的一个焦点,则b=.答案:3解析:由题意知c=2,a=1,b2=c2-a2=3.又b0,所以b=3.13.(2015北京,文13)如图,ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.答案:7解析:由题图可知,目标函数y=-23x+z3,因此当x=2,y=1,即过点A时z取最大值为7.14.(2015北京,文1
8、4)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.答案:乙数学解析:由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前.故填乙.由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少,所以丙的数学成绩的排名更靠前.故填数学.三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题13分)(
9、2015北京,文15)已知函数f(x)=sin x-23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,23上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin x+3cos x-3=2sin x+3-3,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为0x23,所以3x+3.当x+3=,即x=23时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间0,23上的最小值为f23=-3.16.(本小题13分)(2015北京,文16)已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列an的第几项相等?解:(1)设等差
10、数列an的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,).(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=426-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列an的第63项相等.17.(本小题13分)(2015北京,文17)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙
11、和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001 000=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001
12、000=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001 000=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.18.(本小题14分)(2015北京,文18)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC,且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.解:(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)因为AC=BC,O
13、为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以OC平面VAB,所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积SVAB=3.又因为OC平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于13OCSVAB=33.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为33.19.(本小题13分)(2015北京,文19)设函数f(x)=x22-kln x,k0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.解:(
14、1)由f(x)=x22-kln x(k0)得f(x)=x-kx=x2-kx.由f(x)=0解得x=k.f(x)与f(x)在区间(0,+)上的情况如下:x(0,k)k(k,+)f(x)-0+f(x)k(1-lnk)2所以,f(x)的单调递减区间是(0,k),单调递增区间是(k,+);f(x)在x=k处取得极小值f(k)=k(1-lnk)2.(2)由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为f(k)=k(1-lnk)2.因为f(x)存在零点,所以k(1-lnk)20,从而ke.当k=e时,f(x)在区间(1,e)上单调递减,且f(e)=0,所以x=e是f(x)在区间(1,e上的唯一零点.当ke
15、时,f(x)在区间(0,e)上单调递减,且f(1)=120,f(e)=e-k20,所以f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.20.(本小题14分)(2015北京,文20)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.解:(1)椭圆C的标准方程为x23+y2=1.所以a=3,b=1,c=2.所以椭圆C的离心率e=ca=63.(2)
16、因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,所以可设A(1,y1),B(1,-y1).直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3,得M(3,2-y1).所以直线BM的斜率kBM=2-y1+y13-1=1.(3)直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1.又因为直线DE的斜率kDE=1-02-1=1,所以BMDE.当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k1).设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=y1-1x1-2(x-2).令x=3,得点M3,y1+x1-3x1-2.由x2+3y2=3,y=k(x-1)得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以x1+x2=6k21+3k2,x1x2=3k2-31+3k2,直线BM的斜率kBM=y1+x1-3x1-2-y23-x2.因为kBM-1=k(x1-1)+x1-3-k(x2-1)(x1-2)-(3-x2)(x1-2)(3-x2)(x1-2)=(k-1)-x1x2+2(x1+x2)-3(3-x2)(x1-2)=(k-1)-3k2+31+3k2+12k21+3k2-3(3-x2)(x1-2)=0.所以kBM=1=kDE,所以BMDE.综上可知,直线BM与直线DE平行.
