1、2015年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学本试卷分第卷和第卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按
2、以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015山东,文1)已知集合A=x|2x4,B=x|(x-1)(x-3)0,则AB=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:C解析:B=x|(x-1)(x-3)0=x|1x3,A=x|2x4,结合数轴可得,AB=x|2x3.2.(2015山东,文2)若复数z满足z1-i=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案:A
3、解析:z1-i=i,z=i(1-i)=i-i2=1+i.z=1-i.3.(2015山东,文3)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bacD.bc0.60.60.61.5.而函数y=1.5x为单调递增函数,1.50.61.501,ba0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0答案:D解析:原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以
4、其逆否命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m0”.6.(2015山东,文6)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A.B.C.D.答案:B解析:由茎叶图可知,x甲=26+28+29+31+315=29,x乙=28+29+30+
5、31+325=30,所以x甲s乙2.7.(2015山东,文7)在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“-1log12x+121”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14答案:A解析:由-1log12x+121,得log122log12x+12log1212,所以12x+122,所以0x32.由几何概型可知,事件发生的概率为32-02-0=34.8.(2015山东,文8)若函数f(x)=2x+12x-a是奇函数,则使f(x)3成立的x的取值范围为()A.(-,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+)答案:C解析:f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).即2-x+12-x-a=
6、-2x+12x-a,也就是2x+11-a2x=-2x+12x-a,1-a2x=a-2x,即(1-a)2x=a-1,1-a=0,解得a=1.f(x)=2x+12x-1.则2x+12x-13,即2x+1-3(2x-1)2x-10,即-2(2x-2)2x-10,即(2x-2)(2x-1)0,12x2,即0x1.9.(2015山东,文9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.223B.423C.22D.42答案:B解析:由题意可知所得几何体为两个底面重合的圆锥,如图所示.圆锥的底面半径r=2,高h=2.所以体积为V=213(2
7、)22=423.10.(2015山东,文10)设函数f(x)=3x-b,x1,2x,x1.若ff56=4,则b=()A.1B.78C.34D.12答案:D解析:f56=356-b=52-b,ff56=f52-b.当52-b32时,f52-b=352-b-b=4,b=78(舍去).当52-b1时,即b32时,f52-b=252-b=4,即52-b=2,b=12.综上,b=12.第卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015山东,文11)执行下边的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的y的值是.答案:13解析:输入x=1,12,x=1+1=2.x=2不满足“x
8、0,y0时,xy+(2y)x的最小值为.答案:2解析:xy=x2-y2xy,xy+(2y)x=x2-y2xy+(2y)2-x22yx=x2+2y22xy2x22y22xy=22xy2xy=2.其中x0,y0,当且仅当x2=2y2,即x=2y时等号成立.15.(2015山东,文15)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.答案:2+3解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=ba(x-c),与C交于P(
9、x0,y0).x0=2a,y0=ba(2a-c).又P(x0,y0)在双曲线C上,(2a)2a2-b2a2(2a-c)2b2=1,整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e,故1-4e+e2=0.e1=2-3(舍去),e2=2+3.即双曲线C的离心率为2+3.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2015山东,文16)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲
10、社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.解:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人.所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=1545=13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A4,B1,A4,B2,A4,B3,A5,B1
11、,A5,B2,A5,B3,共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=215.17.(本小题满分12分)(2015山东,文17)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=33,sin(A+B)=69,ac=23,求sin A和c的值.解:在ABC中,由cos B=33,得sin B=63,因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=69.因为sin Csin B,所以CB,可知C为锐角,所以cos C=539.因此sin A=sin(B
12、+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=63539+3369=223.由asinA=csinC,可得a=csinAsinC=223c69=23c,又ac=23,所以c=1.18.(本小题满分12分)(2015山东,文18)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.(1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=M.连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点.又H为BC的中点,所
13、以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)证明:连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以
14、BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.19.(本小题满分12分)(2015山东,文19)已知数列an是首项为正数的等差数列,数列1anan+1的前n项和为n2n+1.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(an+1)2an,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)设数列an的公差为d.令n=1,得1a1a2=13,所以a1a2=3.令n=2,得1a1a2+1a2a3=25,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=(an+1)2an=2n22n-1=n4n,所以Tn=141+242+n4n,所以4Tn=142+243+n4n+1,
15、两式相减,得-3Tn=41+42+4n-n4n+1=4(1-4n)1-4-n4n+1=1-3n34n+1-43.所以Tn=3n-194n+1+49=4+(3n-1)4n+19.20.(本小题满分13分)(2015山东,文20)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x2ex.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值.(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由.(3)设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.解:
16、(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,所以f(1)=2.又f(x)=ln x+ax+1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x2ex,当x(0,1时,h(x)1-1=0,所以存在x0(1,2),使得h(x0)=0.因为h(x)=ln x+1x+1+x(x-2)ex,所以当x(1,2)时,h(x)1-1e0,当x(2,+)时,h(x)0,所以当x(1,+)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=
17、g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,且x(0,x0)时,f(x)g(x),所以m(x)=(x+1)lnx,x(0,x0,x2ex,x(x0,+).当x(0,x0)时,若x(0,1,m(x)0;若x(1,x0),由m(x)=ln x+1x+10,可知00,m(x)单调递增;x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减;可知m(x)m(2)=4e2,且m(x0)b0)的离心率为32,且点3,12在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:x24a2+y24b2=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.求|OQ|OP|的值;求ABQ面
18、积的最大值.解:(1)由题意知3a2+14b2=1,又a2-b2a=32,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为x216+y24=1.设P(x0,y0),|OQ|OP|=,由题意知Q(-x0,-y0).因为x024+y02=1,又(-x0)216+(-y0)24=1,即24x024+y02=1,所以=2,即|OQ|OP|=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m24+16k2.不等式则有x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2.所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以OAB的面积S=12|m|x1-x2|=216k2+4-m2|m|1+4k2=2(16k2+4-m2)m21+4k2=24-m21+4k2m21+4k2.设m21+4k2=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.不等式由不等式不等式,可知0t1,因此S=2(4-t)t=2-t2+4t.故S23,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值23.由知,ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为63.
