1、2016年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学1.(2016四川,理1)设集合A=x|-2x2,Z为整数集,则集合AZ中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案C由题意,AZ=-2,-1,0,1,2,故其中的元素个数为5,选C.2.(2016四川,理2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案A二项式(x+i)6展开的通项Tr+1=C6rx6-rir,则其展开式中含x4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为C62x4i2=-15x4,故选A.3.(2016四川,理3)为了得到函数y=sin2x-3的图
2、象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C.向左平行移动6个单位长度D.向右平行移动6个单位长度答案D由题意,为得到函数y=sin2x-3=sin2x-6,只需把函数y=sin 2x的图象上所有点向右平行移动6个单位长度,故选D.4.(2016四川,理4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1,3,5,其他位置共有A44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=72,故选D.5.(2016四川,理5)某公司为激励创
3、新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案B设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130(1+12%)n200,1.12n200130,两边取常用对数得nlg 1.12lg200130,nlg2-lg1.3lg1.120.30-0.110.05=3.8.n4,故选B.6.(2016四川,
4、理6)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为()A.9B.18C.20D.35答案B程序运行如下n=3,x=2v=1,i=20v=12+2=4,i=10v=42+1=9,i=00v=92+0=18,i=-10)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D.1答案C设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t0),Fp2,0,则F
5、P=2pt2-p2,2pt,FM=x-p2,y.FM=13FP,x-p2=2p3t2-p6,y=2pt3,x=2p3t2+p3,y=2pt3.kOM=2t2t2+1=1t+12t1212=22,当且仅当t=22时等号成立.(kOM)max=22,故选C.9.(2016四川,理9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)答案A设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x11,0x21,SP
6、AB=12|yA-yB|xP|=2x11+x121+x121+x12=1.0SPAB1,故选A.10.(2016四川,理10)在平面内,定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|,DADB=DBDC=DCDA=-2,动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+634D.37+2334答案B由已知易得ADC=ADB=BDC=120,|DA|=|DB|=|DC|=2.以D为原点,直线DA为x轴,过D的DA垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(2,0),B(-1,-3),C(-1,3).设P(x,y),由已知|AP|=1,得(x-2)2
7、+y2=1,PM=MC,Mx-12,y+32.BM=x+12,y+332.BM2=(x+1)2+(y+33)24,它表示圆(x-2)2+y2=1上点(x,y)与点(-1,-33)距离平方的14,(|BM|2)max=1432+(0+33)2+12=494,故选B.11.(2016四川,理11)cos28-sin28=.答案22解析由三角函数二倍角公式得,cos28-sin28=cos4=22.12.(2016四川,理12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案32解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正
8、反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-122=34.所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,其中P(X=0)=142=116,P(X=1)=C213414=38,P(X=2)=3434=916,所以在2次试验中成功次数X的均值是EX=0116+138+2916=32.13.(2016四川,理13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案33解析由三棱锥的正视图知,三棱锥的高为1,底面边长分别为23,2,2,所以底面三角形的高为22-(3)2=1,所以,三棱锥的体积为V=13122311=33.14.(2016四川,理1
9、4)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x0.85,而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,所以2.5x0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有c
10、os A=b2+c2-a22bc=35,所以sin A=1-cos2A=45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.18.(2016四川,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长
11、AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一:由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以PDA=45.设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2.过点A作AHCE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA平面ABCD,从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面P
12、AH.过A作AQPH于Q,则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中,AEH=45,AE=1,所以AH=22.在RtPAH中,PH=PA2+AH2=322,所以sinAPH=AHPH=13.方法二:由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.由PAAB,可得PA平面ABCD.设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2.作AyAD,以A为原点,以AD,AP的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0
13、),E(1,0,0).所以PE=(1,0,-2),EC=(1,1,0),AP=(0,0,2).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z).由nPE=0,nEC=0,得x-2z=0,x+y=0.设x=2,解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为,则sin =|nAP|n|AP|=2222+(-2)2+12=13.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.19.(2016四川,理19)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为
14、en,且e2=53,证明:e1+e2+en4n-3n3n-1.解(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=1+q2(n-1).由e2=1+q2=
15、53,解得q=43.因为1+q2(k-1)q2(k-1),所以1+q2(k-1)qk-1(kN*).于是e1+e2+en1+q+qn-1=qn-1q-1,故e1+e2+en4n-3n3n-1.20.(2016四川,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.解(1)由已知,a=2b,则椭圆E的方程为x22b2
16、+y2b2=1.由方程组x22b2+y2b2=1,y=-x+3,得3x2-12x+(18-2b2)=0.方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此时方程的解为x=2,所以椭圆E的方程为x26+y23=1,点T坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l的方程为y=12x+m(m0),由方程组y=12x+m,y=-x+3,可得x=2-2m3,y=1+2m3.所以P点坐标为2-2m3,1+2m3,|PT|2=89m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组x26+y23=1,y=12x+m,可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判别式为=16(9-2
17、m2),由0,解得-322m1x-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).解(1)f(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)=0,有x=12a.此时,当x0,12a时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=1x-1ex-1,s(x)=ex-1-x.则s(x)=ex-1-1.而当x1时,s(x)0,所以s(x)在区间(1,+)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f12a0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当a12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x1时,h(x)=2ax-1x+1x2-e1-xx-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2x2-2x+1x20.因此,h(x)在区间(1,+)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a12,+.
