1、2015年普通高等学校招生全国统一考试北京理科数学本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.(2015北京,理1)复数i(2-i)=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案:A解析:i(2-i)=2i-i2=2i-(-1)=1+2i.2.(2015北京,理2)若x,y满足x-y0,x+y1,x0,则z=x+2y的最大值为()A.0B.1C.32D.2答案:D解析:根
2、据题意,由约束条件画出可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+2y,即y=-12x+z2.由图可知当直线y=-12x+z2过点B(0,1)时,z取最大值,且zmax=0+21=2.3.(2015北京,理3)执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8)答案:B解析:x=1,y=1,k=0,进入循环:s=1-1=0,t=1+1=2,x=0,y=2,k=0+1=13;s=0-2=-2,t=0+2=2,x=-2,y=2,k=1+1=20,则a2+a30B.若a1+a30,则a1+a20C.若0a1a1a3D.若a10答案:C解析:设等差数列
3、公差为d.对于A选项,a1+a2=2a1+d0,而a2+a3=2a1+3d不一定大于0;对于B选项,a1+a3=2a1+2d0,a1+a2=2a1+d不一定小于0;对于C选项,0a10.所以a2=a1+a32a1a3;对于D选项,(a2-a1)(a2-a3)=-d20.故只有C正确.7.(2015北京,理7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)log2(x+1)的解集是()A.x|-1x0B.x|-1x1C.x|-1x1D.x|-1x2答案:C解析:如图,作出函数f(x)与y=log2(x+1)的图象.易知直线BC的方程为y=-x+2,由y=-x+2,y=log2(x+1)得
4、D点坐标为(1,1).由图可知,当-1x1时,f(x)log2(x+1),所以所求解集为x|-10)的一条渐近线为3x+y=0,则a=.答案:33解析:双曲线x2a2-y2=1的渐近线方程为y=xa,即yxa=0.又a0,1a=3,a=33.11.(2015北京,理11)在极坐标系中,点2,3到直线(cos +3sin )=6的距离为.答案:1解析:x=cos ,y=sin ,点2,3的直角坐标为2cos 3,2sin 3,即(1,3).(cos +3sin )=6,cos +3sin =6,x+3y-6=0.点(1,3)到直线x+3y-6=0的距离d=|1+33-6|2=1.12.(2015
5、北京,理12)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.答案:1解析:在ABC中,由正弦定理知,sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2cos Aac=2cos A46=43cos A,再根据余弦定理,得cos A=36+25-16265=34,所以sin2AsinC=4334=1.13.(2015北京,理13)在ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=,y=.答案:12-16解析:如图,MN=MC+CN=13AC-12BC=13AC-12(AC-AB)=12AB-16AC,x=12,y=-16.14.(2015北京,理14)设
6、函数f(x)=2x-a,x1,4(x-a)(x-2a),x1.若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案:-112,12,+)解析:当a=1时,f(x)=2x-1,x1,4(x-1)(x-2),x1,当x1时,2x-1(-1,1);当x1时,4(x-1)(x-2)-1,+).故f(x)的最小值为-1.若函数f(x)=2x-a的图象在x0,并且当x=1时,f(1)=2-a0,所以0a2.同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x1时与x轴有一个交点,所以a1,2a1.故12a1.若函数f(x)=2x-a的图象在x1时与x轴没有交点,则函数f(x)
7、=4(x-a)(x-2a)的图象在x1时与x轴有两个不同的交点,当a0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x1上与x轴也无交点,不满足题意.当21-a0,即a2时,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2=2a都满足题意.综上,a的取值范围为12,12,+).三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题13分)(2015北京,理15)已知函数f(x)=2sin x2cos x2-2sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,0上的最小值.
8、解:(1)因为f(x)=22sin x-22(1-cos x)=sin x+4-22,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0,所以-34x+44.当x+4=-2,即x=-34时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间-,0上的最小值为f-34=-1-22.16.(本小题13分)(2015北京,理16)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于1
9、4天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解:设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bi为“乙是B组的第i个人”,i=1,2,7.由题意可知P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,7.(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5A6A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A
10、7B2A7B3A6B6A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049.(3)a=11或a=18.17.(本小题14分)(2015北京,理17)如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O为EF的中点.(1)求证:AOBE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.解:(1)因为AEF是等边三角
11、形,O为EF的中点,所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB,AO平面AEF,所以AO平面EFCB,所以AOBE.(2)取BC中点G,连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形,所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以OAOG.如图建立空间直角坐标系O -xyz,则E(a,0,0),A(0,0,3a),B(2,3(2-a),0),EA=(-a,0,3a),BE=(a-2,3(a-2),0).设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),则nEA=0,nBE=0,即-ax+3az=0,(a-2)x+3(a-2)y=0.令z=1,则x=3,y=-1.于是n=(3,-1,1).平面
12、AEF的法向量为p=(0,1,0).所以cos =np|n|p|=-55.由题知二面角F-AE-B为钝角,所以它的余弦值为-55.(3)因为BE平面AOC,所以BEOC,即BEOC=0.因为BE=(a-2,3(a-2),0),OC=(-2,3(2-a),0),所以BEOC=-2(a-2)-3(a-2)2.由BEOC=0及0a2x+x33;(3)设实数k使得f(x)kx+x33对x(0,1)恒成立,求k的最大值.解:(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f(x)=11+x+11-x,f(0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x.
13、(2)令g(x)=f(x)-2x+x33,则g(x)=f(x)-2(1+x2)=2x41-x2.因为g(x)0(0xg(0)=0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)2x+x33.(3)由(2)知,当k2时,f(x)kx+x33对x(0,1)恒成立.当k2时,令h(x)=f(x)-kx+x33,则h(x)=f(x)-k(1+x2)=kx4-(k-2)1-x2.所以当0x4k-2k时,h(x)0,因此h(x)在区间0,4k-2k上单调递减.当0x4k-2k时,h(x)h(0)=0,即f(x)2时,f(x)kx+x33并非对x(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.19.(本小题14分)
14、(2015北京,理19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQM=ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由题意得b=1,ca=22,a2=b2+c2.解得a2=2.故椭圆C的方程为x22+y2=1.设M(xM,0).因为m0,所以-1n18(n=1,2,).记集合M=an|nN*.(1)若a1=6,写出集合M的所有元素;(2)若集
15、合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(3)求集合M的元素个数的最大值.解:(1)6,12,24.(2)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.由an+1=2an,an18,2an-36,an18可归纳证明对任意nk,an是3的倍数.如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.如果k1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,a1都是3的倍数,从而对任意n1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.(3)由a136,an=2an-1,an-118,2an-1-36,an-118可归纳证明an36(n=2,3,).因为a1是正整数,a2=2a1,a118,2a1-36,a118,所以a2是2的倍数.从而当n3时,an是4的倍数.如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数.因此当n3时,an12,24,36.这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数.因此当n3时,an4,8,16,20,28,32.这时M的元素个数不超过8.当a1=1时,M=1,2,4,8,16,20,28,32有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.
