1、2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南文科数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖南,文1)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:D解析:由已知得z=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i2=-1-i.2.(2015湖南,文2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差
2、编为135号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间139,151上的运动员恰好是第2,3,4,5组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.3.(2015湖南,文3)设xR,则“x1”是“x31”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:由x1能推得x31,充分性成立.由x31得(x-1)(x2+x+1)0,x2+x+10恒成立,x1,“x1”是“x31”的充要条件.
3、故选C.4.(2015湖南,文4)若变量x,y满足约束条件x+y1,y-x1,x1,则z=2x-y的最小值为()A.-1B.0C.1D.2答案:A解析:画出满足约束条件的平面区域如图.作直线y=2x,平移直线y=2x,当x=0,y=1,即直线过点A(0,1)时,z取得最小值,此时zmin=20-1=-1.故选A.5.(2015湖南,文5)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.67B.37C.89D.49答案:B解析:由题意得,输出的S为数列1(2n-1)(2n+1)的前3项和,而1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,即Sn=121-12n+1=n2n+1
4、.故当输入n=3时,S=S3=37,故选B.6.(2015湖南,文6)若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53答案:D解析:双曲线的渐近线方程为y=bax,且过点(3,-4),-4=-ba3,ba=43.离心率e=1+ba2=1+432=53,故选D.7.(2015湖南,文7)若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.4答案:C解析:由已知1a+2b=ab,可知a,b同号,且均大于0.由ab=1a+2b22ab,得ab22.即当且仅当1a=2b,即b=2a时等号成立,故选C.8.(
5、2015湖南,文8)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案:A解析:要使函数有意义,应满足1+x0,1-x0,解得-1x0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r=.答案:2解析:如图所示,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|=532+(-4)2=1,故圆的半径r=1cos60=2.14.(2015湖南,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.答案:(0
6、,2)解析:函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=2x-2,x1,2-2x,x1的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0a0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则=.答案:2解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin x与y=2cos x的图象.A,B为符合条件的两交点.则A4,2,B-34,-2,由|AB|=23,得2+(22)2=23,解得=2,即=2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分
7、)(2015湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是A1,a1,A1,a2,A1,b1,A1,b2,A2,a1,A2,a2,A2,b1,A2,b2,B,a1,B,a2,B,b1,B,b2.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可
8、能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为A1,a1,A1,a2,A2,a1,A2,a2,共4种,所以中奖的概率为412=13,不中奖的概率为1-13=2313.故这种说法不正确.17.(本小题满分12分)(2015湖南,文17)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A.(1)证明:sin B=cos A;(2)若sin C-sin Acos B=34,且B为钝角,求A,B,C.解:(1)由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A.(2)因为sin C-sin Acos B=sin180-(A+B)-
9、sin Acos B=sin(A+B)-sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=cos Asin B,所以cos Asin B=34.由(1)sin B=cos A,因此sin2B=34.又B为钝角,所以sin B=32,故B=120.由cos A=sin B=32知A=30.从而C=180-(A+B)=30.综上所述,A=30,B=120,C=30.18.(本小题满分12分)(2015湖南,文18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.(1)证明:平面AEF平面B1BCC1;(2)若直线A
10、1C与平面A1ABB1所成的角为45,求三棱锥F-AEC的体积.解:(1)证明:如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AEBB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AEBC.因此,AE平面B1BCC1.而AE平面AEF,所以,平面AEF平面B1BCC1.(2)设AB的中点为D,连结A1D,CD.因为ABC是正三角形,所以CDAB.又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CDAA1.因此CD平面A1ABB1,于是CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.由题设,CA1D=45,所以A1D=CD=32AB=3.在RtAA1D中,AA1=A1D2-AD2=3-1=2,所
11、以FC=12AA1=22.故三棱锥F-AEC的体积V=13SAECFC=133222=612.19.(本小题满分13分)(2015湖南,文19)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,nN*.(1)证明:an+2=3an;(2)求Sn.解:(1)由条件,对任意nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,因而对任意nN*,n2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故对一切nN*,an+2=3an
12、.(2)由(1)知,an0,所以an+2an=3,于是数列a2n-1是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列a2n是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=23n-1.于是S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)=3(3n-1)2,从而S2n-1=S2n-a2n=3(3n-1)2-23n-1=32(53n-2-1).综上所述,Sn=32(53n-22-1),当n是奇数,32(3n2-1),当n是偶数.20.(本小题满分13分)(2015湖南,文20)已知抛物线
13、C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:y2a2+x2b2=1(ab0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向.(1)求C2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.解:(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.又C1与C2的公共弦的长为26,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为6,32,所以94a2+6b2=1.联立,得a2=9,b2=8,故C2的方程为y29+x28=1.(2)如图,设A(x
14、1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=kx+1,x28+y29=1得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-16k9+8k2,x3x4=-649+8k2.将,代入,得16(k2+
15、1)=162k2(9+8k2)2+46498k2,即16(k2+1)=1629(k2+1)(9+8k2)2,所以(9+8k2)2=169,解得k=64,即直线l的斜率为64.21.(本小题满分13分)(2015湖南,文21)已知a0,函数f(x)=aexcos x(x0,+).记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点.(1)证明:数列f(xn)是等比数列;(2)若对一切nN*,xn|f(xn)|恒成立,求a的取值范围.解:(1)f(x)=aexcos x-aexsin x=2aexcosx+4.令f(x)=0,由x0,得x+4=m-2,即x=m-34,mN*.而对于cosx+4,当kZ时,若2k-2x+42k+2,即2k-34x0;若2k+2x+42k+32,即2k+4x2k+54,则cosx+40).设g(t)=ett(t0),则g(t)=et(t-1)t2.令g(t)=0得t=1.当0t1时,g(t)1时,g(t)0,所以g(t)在区间(1,+)上单调递增.因为x1(0,1),且当n2时,xn(1,+),xnxn+1,所以g(xn)min=ming(x1),g(x2)=ming4,g54=g4=4e4,因此,xnf(xn)恒成立,当且仅当2a4e4.解得a24e-4,故a的取值范围是24e-4,+.
