1、2016年普通高等学校招生全国统一考试天津理科数学1.(2016天津,理1)已知集合A=1,2,3,4,B=y|y=3x-2,xA,则AB=() A.1B.4C.1,3D.1,4答案D由题意知集合B=1,4,7,10,则AB=1,4.故选D.2.(2016天津,理2)设变量x,y满足约束条件x-y+20,2x+3y-60,3x+2y-90,则目标函数z=2x+5y的最小值为()A.-4B.6C.10D.17答案B如图,作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC及其内部,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将z=2x+5y变形为y=-25x+z5,可
2、知当y=-25x+z5经过点B时,z取最小值6.故选B.3.(2016天津,理3)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A由余弦定理得13=9+AC2+3ACAC=1.故选A.4.(2016天津,理4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A.2B.4C.6D.8答案B依次循环:S=8,n=2;S=2,n=3;S=4,n=4,满足条件,结束循环,输出S=4.故选B.5.(2016天津,理5)设an是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要
3、而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C由题意,得a2n-1+a2n0a1(q2n-2+q2n-1)0q2(n-1)(q+1)0q(-,-1),因此,q0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x24-3y24=1B.x24-4y23=1C.x24-y24=1D.x24-y212=1答案D根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有x2+y2=4y=b2xx=4b2+4,y=4b2+4b2,则xy=16b2+4b2=b2b2=12.故
4、所求双曲线的方程为x24-y212=1,故选D.7.(2016天津,理7)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()A.-58B.18C.14D.118答案B设BA=a,BC=b,则DE=12AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-54a+34b.故AFBC=-54ab+34b2=-58+34=18,应选B.8.(2016天津,理8)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个
5、不相等的实数解,则a的取值范围是()A.0,23B.23,34C.13,2334D.13,2334答案C由函数f(x)在R上单调递减,可得0a1,3-4a20,3af(0)=1,解得13a34.当x0时,由f(x)=0得x0=1a-1.又a13,1a-12,即x0(0,2.如图,作出y=|loga(x+1)+1|(x0)的图象,由图知当x0时,方程|f(x)|=2-x只有一解.当x0时,解得a1.又a13,34,a13,34.方程有一负根x0和一零根,则有x00=3a-2=0,解得a=23.此时x0+0=2-4a=-230,符合题意.方程有一正根x1和一负根x2,则有x1x2=3a-20,解得
6、af(-2),则a的取值范围是.答案12,32解析由题意知函数f(x)在区间(0,+)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)f(-2)可化为f(2|a-1|)f(2),则2|a-1|2,|a-1|12,解得12a0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C72p,0,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为32,则p的值为.答案6解析由题意知抛物线的普通方程为y2=2px,焦点为Fp2,0,|CF|=72p-p2=3p,又|CF|=2|AF|,则|AF|=32p.由抛物线的定义得|AB|=32p,所以xA=p,则yA=2p.由C
7、FAB,得EFEA=CFAB,即EFEA=CFAF=2,所以SCEF=2SCEA=62,SACF=SAEC+SCFE=92.所以123p2p=92,解得p=6.又知p0,所以p=6.15.(2016天津,理15)已知函数f(x)=4tan xsin2-xcosx-3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-4,4上的单调性.解(1)f(x)的定义域为xx2+k,kZ.f(x)=4tan xcos xcosx-3-3=4sin xcosx-3-3=4sin x12cosx+32sinx-3=2sin xcos x+23sin2x-3=sin 2x+3(1-cos 2x
8、)-3=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3,所以,f(x)的最小正周期T=22=.(2)令z=2x-3,函数y=2sin z的单调递增区间是-2+2k,2+2k,kZ.由-2+2k2x-32+2k,得-12+kx512+k,kZ.设A=-4,4,B=x-12+kx512+k,kZ,易知AB=-12,4.所以,当x-4,4时,f(x)在区间-12,4上单调递增,在区间-4,-12上单调递减.16.(2016天津,理16)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出
9、的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)由已知,有P(A)=C31C41+C32C102=13.所以,事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=C32+C32+C42C102=415,P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715,P(X=2)=C31C41C102=415.所以,随机变量X的分布列为X012P415715415随机变量X的数学期望E(X)=0415+1715+2415=1.17.(2016天津,理17)如图,正方形ABCD
10、的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=23HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.解依题意,OF平面ABCD,如图,以O为原点,分别以AD,BA,OF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)证明:依题意,AD=(2,0,0),AF=(1,-1,2).设n
11、1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,则n1AD=0,n1AF=0,即2x=0,x-y+2z=0.不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),又EG=(0,1,-2),可得EGn1=0,又因为直线EG平面ADF,所以EG平面ADF.(2)易证,OA=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,EF=(1,1,0),CF=(-1,1,2).设n2=(x,y,z)为平面CEF的法向量,则n2EF=0,n2CF=0,即x+y=0,-x+y+2z=0.不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos=OAn2|OA|n2|=-63,于是sin=33.所以,二面角O-EF-C的正弦值为33.(
12、3)由AH=23HF,得AH=25AF.因为AF=(1,-1,2),所以AH=25AF=25,-25,45,进而有H-35,35,45,从而BH=25,85,45,因此cos=BHn2|BH|n2|=-721.所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721.18.(2016天津,理18)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=bm+12-bn2,nN*,求证:数列cn是等差数列;(2)设a1=d,Tn=k=12n(-1)kbk2,nN*,求证:k=1n1Tk12d2.证明(1)由题意得bn2=anan+1,有cn=bn+12-
13、bn2=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列.(2)Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+(-b2n-12+b2n2)=2d(a2+a4+a2n)=2dn(a2+a2n)2=2d2n(n+1).所以k=1n1Tk=12d2k=1n1k(k+1)=12d2k=1n1k-1k+1=12d21-1n+13)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,
14、与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围.解(1)设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.由(1)知,F(
15、1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BFHF,得BFFH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在MAO中,MOAMAO|MA|MO|,即(xM-2)2+yM2xM2+yM2,化简得xM1,即20k2+912(k2+1)1,解得k-64,或k64.所以,直线l的斜率的取值范围为-,-6464,+.20.(2016
16、天津,理20)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求证:x1+2x0=3;(3)设a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间0,2上的最大值不小于14.(1)解由f(x)=(x-1)3-ax-b,可得f(x)=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:当a0时,有f(x)=3(x-1)2-a0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,令f(x)=0,解得x=1+3a3,或x=1-3a3.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,1-3
17、a31-3a31-3a3,1+3a31+3a31+3a3,+f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为1-3a3,1+3a3,单调递增区间为-,1-3a3,1+3a3,+.(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a0,且x01.由题意,得f(x0)=3(x0-1)2-a=0,即(x0-1)2=a3,进而f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=-2a3x0-a3-b.又f(3-2x0)=(2-2x0)3-a(3-2x0)-b=8a3(1-x0)+2ax0-3a-b=-2a3x0-a3-b=f(x0),且3-2x0x0,由题意及(1)知,存在
18、唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=3-2x0.所以x1+2x0=3.(3)证明设g(x)在区间0,2上的最大值为M,maxx,y表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:当a3时,1-3a3021+3a3,由(1)知,f(x)在区间0,2上单调递减,所以f(x)在区间0,2上的取值范围为f(2),f(0),因此M=max|f(2)|,|f(0)|=max|1-2a-b|,|-1-b|=max|a-1+(a+b)|,|a-1-(a+b)|=a-1+(a+b),a+b0,a-1-(a+b),a+b0.所以M=a-1+|a+b|2.当34a3时,1-23a301-3a3
19、1+3a321+23a3,由(1)和(2)知f(0)f1-23a3=f1+3a3,f(2)f1+23a3=f1-3a3,所以f(x)在区间0,2上的取值范围为f1+3a3,f1-3a3,因此M=maxf1+3a3,f1-3a3=max-2a93a-a-b,2a93a-a-b=max2a93a+(a+b),2a93a-(a+b)=2a93a+|a+b|2934334=14.(3)当0a34时,01-23a31+23a32,由(1)和(2)知f(0)f1+23a3=f1-3a3,所以f(x)在区间0,2上的取值范围为f(0),f(2),因此M=max|f(0)|,|f(2)|=max|-1-b|,|1-2a-b|=max|1-a+(a+b)|,|1-a-(a+b)|=1-a+|a+b|14.综上所述,当a0时,g(x)在区间0,2上的最大值不小于14.
