1、2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西文科数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,文1)设集合M=x|x2=x,N=x|lg x0,则MN=()A.0,1B.(0,1C.0,1)D.(-,1答案:A解析:M=0,1,N=x|00)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案:B解析:由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0).4.(2015陕西,文4)设f(x)=1-x,x0,2x,x0,则f(f(-2)=()A.
2、-1B.14C.12D.32答案:C解析:f(f(-2)=f14=1-14=12.5.(2015陕西,文5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3B.4C.2+4D.3+4答案:D解析:由三视图知,该几何体为半圆柱,故其表面积为S侧+S上底+S下底=(+2)2+=3+4.6.(2015陕西,文6)“sin =cos ”是“cos 2=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:cos 2=cos2-sin2=(cos +sin )(cos -sin ),cos 2=0cos =-sin 或cos =sin ,故选A.7
3、.(2015陕西,文7)根据右边框图,当输入x为6时,输出的y=()A.1B.2C.5D.10答案:D解析:由程序框图可得流程如下:x=6x=3x=0x=-3y=(-3)2+1=10.8.(2015陕西,文8)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案:B解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误.9.(2015陕西,文9)设f(x)=x-sin x,则f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数答案:B解析:当
4、x=0时,f(x)=0,f(x)存在零点.f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),且f(x)=1-cos x0,f(x)既是奇函数又是增函数.10.(2015陕西,文10)设f(x)=ln x,0ab,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是()A.q=rpC.p=rq答案:C解析:f(x)=ln x,p=f(ab)=lnab=12(ln a+ln b)=r.又0aab.又y=ln x为递增函数,lna+b2lnab,即qr,综上p=rq.11.(2015陕西,文11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生
5、产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲、乙两产品分别为x吨、y吨,由题意知,x,y需满足约束条件3x+2y12,x+2y8,x0,y0,每天可获得利润z=3x+4y.由约束条件画出可行域,如图所示,l0:y=-34x,平移l0得点C,使z取得最大值.由3x+2y=12,x+2y=8,得C(2,3),故zmax=6+12=18(万元).12.(2015陕西,文12)设复数z=(x
6、-1)+yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为()A.34+12B.12+1C.14-12D.12-1答案:C解析:|z|=(x-1)2+y21,(x-1)2+y21,其几何意义表示为以(1,0)为圆心,1为半径的圆面,如图所示,而yx所表示的区域如图中阴影部分,故P=4-12=14-12.二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,文13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.答案:5解析:由等差数列的性质,得a1+an2=1 010,故a1=2 020-an=5.14.(201
7、5陕西,文14)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为.答案:8解析:由题中图象知,ymin=2=-3+k,k=5.函数解析式为y=3sin6x+5,故ymax=8.15.(2015陕西,文15)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.答案:y=-1e解析:令y=(x+1)ex=0,得x=-1,则切点为-1,-1e.函数在极值点处的导数为0,即切线斜率为0,则切线方程为y=-1e.16.(2015陕西,文16)观察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-14+15-16=14+1
8、5+16据此规律,第n个等式可为.答案:1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n解析:经观察知,第n个等式的左侧是数列(-1)n-11n的前2n项和,而右侧是数列1n的第n+1项到第2n项的和,故为1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,文17)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解:(1)因为m
9、n,所以asin B-3bcos A=0.由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0.又sin B0,从而tan A=3.由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sin B=217.又由ab,知AB,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos3+cos Bsin3=32114.所以ABC的面积为12absin C=332.18.(本小题满分12分)(2015陕西,文18)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=12AD=a,E是AD
10、的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图图(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为362,求a的值.(1)证明:在题图中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,BAD=2,所以BEAC.即在题图中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图知,A1O=22AB=22a,平行四
11、边形BCDE的面积S=BCAB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=13SA1O=13a222a=26a3,由26a3=362,得a=6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,文19)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解:(1)在容量
12、为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78.20.(本小题满分12分)(2015陕西,文20)如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点A(0,-1),且离心率为22.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和
13、为2.解:(1)由题设知ca=22,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=2.所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k2),代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1x2=2k(k-2)1+2k2.从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k)1x1+1x2=2k+(2-k)x1+x2x1x2=2k+(2-k)4k(k-1
14、)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2.21.(本小题满分12分)(2015陕西,文21)设fn(x)=x+x2+xn-1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);(2)证明:fn(x)在0,23内有且仅有一个零点(记为an),且0an-121323n.(1)解法一:由题设fn(x)=1+2x+nxn-1.所以fn(2)=1+22+(n-1)2n-2+n2n-1,则2fn(2)=2+222+(n-1)2n-1+n2n.-得,-fn(2)=1+2+22+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=(1-n)2n-1.所以fn(2)=(n-1)2n+1.解法二:当x1时,fn(x)=x-xn+11-
15、x-1,则fn(x)=(1-(n+1)xn)(1-x)+(x-xn+1)(1-x)2,可得fn(2)=-(1-(n+1)2n)+2-2n+1(1-2)2=(n-1)2n+1.(2)证明:因为f(0)=-10,所以fn(x)在0,23内至少存在一个零点.又fn(x)=1+2x+nxx-10,所以fn(x)在0,23内单调递增,因此fn(x)在0,23内有且仅有一个零点an.由于fn(x)=x-xn+11-x-1,所以0=fn(an)=an-ann+11-an-1.由此可得an=12+12ann+112,故12an23.所以0an-12=12ann+11223n+1=1323n.考生注意:请在22
16、、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,文22)选修41:几何证明选讲如图,AB切O于点B,直线AO交O于D,E两点,BCDE,垂足为C.(1)证明:CBD=DBA;(2)若AD=3DC,BC=2,求O的直径.(1)证明:因为DE为O直径,则BED+EDB=90.又BCDE,所以CBD+EDB=90.从而CBD=BED.又AB切O于点B,得DBA=BED,所以CBD=DBA.(2)解:由(1)知BD平分CBA,则BABC=ADCD=3,又BC=2,从而AB=32.所以AC=
17、AB2-BC2=4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=ADAE,即AE=AB2AD=6,故DE=AE-AD=3,即O直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,文23)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=23sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解:(1)由=23sin ,得2=23sin ,从而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.(2)设P3+12t,32t,又C(0,3),则|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,文24)选修45:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|b,得-b-axb-a,则-b-a=2,b-a=4,解得a=-3,b=1.(2)-3t+12+t=34-t+t(3)2+12(4-t)2+(t)2=24-t+t=4,当且仅当4-t3=t1,即t=1时等号成立.故(-3t+12+t)max=4.
