1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津)文科数学1.(2017天津,文1)设集合A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4,则(AB)C=()A.2B.1,2,4C.1,2,4,6D.1,2,3,4,6解析A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4,AB=1,2,4,6,(AB)C=1,2,4.故选B.答案B2.(2017天津,文2)设xR,则“2-x0”是“|x-1|1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析x=-3满足2-x0,但不满足|x-1|1,“2-x0”不是“|x-1|1”的充分条件.若|x-1|1,则-1x-11,即0
2、x2,可得2-x0,即“2-x0”是“|x-1|1”的必要条件,故“2-x0”是“|x-1|1”的必要而不充分条件.故选B.答案B3.(2017天津,文3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15解析从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10种不同情况,记“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”为事件A,则事件A包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4个基本事件,则P(
3、A)=410=25.故选C.答案C4.(2017天津,文4)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为19,则输出N的值为()A.0B.1C.2D.3解析运行程序.当输入N的值为19,则N的值依次为18,6,2.20,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1解析双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,c=2,ba=tan6
4、0,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.所以双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.答案D6.(2017天津,文6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,若a=-flog215,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.calog24.1log24=2,20.8log24.120.8.又f(x)在R上是增函数,f(log25)f(log24.1)f(20.8),即abc.故选C.答案C7.(2017天津,文7)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|2,118-58142,所以231.所以排除C,D.当=23时,f58=
5、2sin5823+=2sin512+=2,所以sin512+=1.所以512+=2+2k,即=12+2k(kZ).因为|,所以=12.故选A.答案A8.(2017天津,文8)已知函数f(x)=|x|+2,x1,x+2x,x1.设aR,若关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是()A.-2,2B.-23,2C.-2,23D.-23,23解析由f(x)=|x|+2,x0在R上恒成立,关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立,关于x的不等式-f(x)x2+af(x)在R上恒成立,即关于x的不等式-x2-f(x)af(x)-x2在R上恒成立.令p(x)=-x2-f(x),则p(x
6、)=x2-2,x0,-32x-2,0x1,-32x-2x,x1.当x0时,p(x)-2,当0x1时,-72p(x)-2,当x1时,p(x)-23,当且仅当x=233时取等号.综上所述,p(x)max=-2.令t(x)=f(x)-x2,则t(x)=-32x+2,x0,x2+2,0x1,x2+2x,x1.当x2,当0x1时,2t(x)0),则C(-1,b),A(0,b).FAC=120,kAF=tan 120=-3,直线AF的方程为y=-3x+3.点A在直线AF上,b=3.则圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=1.答案(x+1)2+(y-3)2=113.(2017天津,文13)若a,bR,ab0
7、,则a4+4b4+1ab的最小值为.解析a,bR,且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24时取等号.答案414.(2017天津,文14)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60,AB=3,AC=2,ADAE=-4.ABAC=3212=3,23AC+13AB(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23AB
8、AC=-4,234-139+3-233=-4,即113-5=-4,解得=311.答案31115.(2017天津,文15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=5(a2-b2-c2).(1)求cos A的值;(2)求sin(2B-A)的值.解(1)由asin A=4bsin B,及asinA=bsinB,得a=2b.由ac=5(a2-b2-c2),及余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=-55acac=-55.(2)由(1),可得sin A=255,代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA4b=55.由(1)知,A
9、为钝角,所以cos B=1-sin2B=255.于是sin 2B=2sin Bcos B=45,cos 2B=1-2sin2B=35,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=45-55-35255=-255.16.(2017天津,文16)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的
10、次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为70x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,即7x+6y60,x+y6,x-2y0,x0,y0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125,随z变化的一族平行直线.z25为
11、直线在y轴上的截距,当z25取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距z25最大,即z最大.解方程组7x+6y=60,x-2y=0,得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.图217.(2017天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)解如图,由已知ADBC,故DAP或其
12、补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC,所以ADPD.在RtPDA中,由已知,得AP=AD2+PD2=5,故cosDAP=ADAP=55.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)证明因为AD平面PDC,直线PD平面PDC,所以ADPD.又因为BCAD,所以PDBC.又PDPB,所以PD平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=
13、2.又ADDC,故BCDC,在RtDCF中,可得DF=CD2+CF2=25,在RtDPF中,可得sinDFP=PDDF=55.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.18.(2017天津,文18)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2
14、n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述两式相减,得-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1=12(1-2n)1-2-4-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,数列a2
15、nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.19.(2017天津,文19)设a,bR,|a|1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;若关于x的不等式g(x)ex在区间x0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范围.(1)解由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令f(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|1,得a0,可得f(
16、x)1.又因为f(x0)=1,f(x0)=0.故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|1,故a+1b0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为b22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.求直线FP的斜率;求椭圆的方程.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜
17、率为1m.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.由得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去)或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=3c234=9c8,所以FQN的面积为12|FQ|QN|=27c232,同理FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.
