1、绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷,文)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2019全国,文1)设z=3-i1+2i,则|z|=() A.2B.3C.2D.1解析z=3-i1+2i,z=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=15-75i,|z|=152+-752=2.故选C.答案C2.(2019全国,文2)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,则BUA=()A.1,6B.1,7C.6,7D.1,6,7解析由已知得UA=1,6,7,BUA=6,7
2、.故选C.答案C3.(2019全国,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca解析因为a=log20.220=1,又00.20.30.201,即c(0,1),所以ac1,f()=-1+20,排除B,C.故选D.答案D6.(2019全国,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生解析由已知得将1 000名新生分为100个组,
3、每组10名学生,用系统抽样46号学生被抽到,则第一组应为6号学生,所以每组抽取的学生号构成等差数列an,所以an=10n-4,nN*,若10n-4=8,则n=1.2,不合题意;若10n-4=200,则n=20.4,不合题意;若10n-4=616,则n=62,符合题意;若10n-4=815,则n=81.9,不合题意.故选C.答案C7.(2019全国,文7)tan 255=()A.-2-3B.-2+3C.2-3D.2+3解析tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(45+30)=tan45+tan301-tan45tan30=1+331-33=2+3.答案D8.(2019全国,
4、文8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56解析因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.设a与b的夹角为,则cos =ab|a|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为3,故选B.答案B9.(2019全国,文9)右图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入()A.A=12+AB.A=2+1AC.A=11+2AD.A=1+12A解析执行第1次,A=12,k=12,是,第一次应该计算A=12+12=12+A,k=k+1=2;执行第2次,k=22,是,第二次应该计算A=12+12+12=
5、12+A,k=k+1=3;执行第3次,k=32,否,输出,故循环体为A=12+A,故选A.答案A10.(2019全国,文10)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50D.1cos50解析由已知可得-ba=tan 130=-tan 50,则e=ca=1+ba2=1+tan250=1+sin250cos250=sin250+cos250cos250=1cos50.故选D.答案D11.(2019全国,文11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin
6、 C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3解析由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b2+c2-a22bc,c2-4c22bc=-14,-3c2b=-14,bc=324=6,故选A.答案A12.(2019全国,文12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1解析如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF
7、2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.|AF1|=a,|AF2|=a.点A为(0,-b).kAF2=b1=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12.又kAF2=|BP|F2P|=|BP|12=b,|BP|=12b.点B32,12b.把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x23+y22=1.答
8、案B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2019全国,文13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.解析由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,k=y|x=0=3.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.答案y=3x14.(2019全国,文14)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=.解析设等比数列an的公比为q.S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34,即q2+q+14=0.解得q=-12.故S4=a1(1-q4)1-q=1-1241+12=58.答案581
9、5.(2019全国,文15)函数f(x)=sin2x+32-3cos x的最小值为.解析f(x)=sin2x+32-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2cosx+342+178.-1cos x1,当cos x=1时,f(x)min=-4.故函数f(x)的最小值是-4.答案-416.(2019全国,文16)已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO平面ABC.连接CO,OD,知CDPD,CDPO,PDPO=P,CD平面PDO,OD平面
10、PDO,CDOD.PD=PE=3,PC=2,sinPCE=sinPCD=32,PCB=PCA=60.POCO,CO为ACB平分线,OCD=45,OD=CD=1,OC=2.又PC=2,PO=4-2=2.答案2三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)(2019全国,文17)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女
11、顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K2=100(4020-3010)2505070304.762.由于4.7623.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评
12、价有差异.18.(12分)(2019全国,文18)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.解(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.由a10知d0;当x2,时,g(x)0,g()=-2,故g(x)在(0,)存在唯一零点.所以f(x)在(0,)存在唯一零点.(2)解由题设知f()a,f()=0,可得a0.由(1)知,f(x)在
13、(0,)只有一个零点,设为x0,且当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,)单调递减.又f(0)=0,f()=0,所以,当x0,时,f(x)0.又当a0,x0,时,ax0,故f(x)ax.因此,a的取值范围是(-,0.21.(12分)(2019全国,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.解(1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x
14、+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为M与直线x+2=0相切,所以M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又MOAO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MOAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP
15、|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.(10分)(2019全国,文22)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos +3sin +11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.解(1)因为-11-t21+t21,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2
16、+y24=1(x-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为x=cos,y=2sin(为参数,-).C上的点到l的距离为|2cos+23sin+11|7=4cos-3+117.当=-23时,4cos-3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.23.(10分)(2019全国,文23)选修45:不等式选讲已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.证明(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.所以1a+1b+1ca2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2ab)(2bc)(2ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.
