1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2014北京,理1)已知集合A=x|x2-2x=0,B=0,1,2,则AB=().A.0B.0,1C.0,2D.0,1,2答案:C解析:解x2-2x=0,得x=0,x=2,故A=0,2,所以AB=0,2,故选C.2.(2014北京,理2)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是().A.y=x+1B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)答案:A解析:A项,y=x+1为(-1,+)上的增函
2、数,故在(0,+)上递增;B项,y=(x-1)2在(-,1)上递减,在(1,+)上递增;C项,y=2-x=12x为R上的减函数;D项,y=log0.5(x+1)为(-1,+)上的减函数.故选A.3.(2014北京,理3)曲线x=-1+cos,y=2+sin(为参数)的对称中心().A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上答案:B解析:由已知得cos=x+1,sin=y-2,消参得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x上.故选B.4.(2014北京,理4)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出
3、的S值为().A.7B.42C.210D.840答案:C解析:开始:m=7,n=3.计算:k=7,S=1.第一次循环,此时m-n+1=7-3+1=5,显然k5不成立,所以S=17=7,k=7-1=6.第二次循环,65不成立,所以S=76=42,k=6-1=5.第三次循环,55不成立,所以S=425=210,k=5-1=4.显然41”是“an为递增数列”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:等比数列an为递增数列的充要条件为a10,q1或a10,0q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6.(2014北京,理6)若
4、x,y满足x+y-20,kx-y+20,y0,且z=y-x的最小值为-4,则k的值为().A.2B.-2C.12D.-12答案:D解析:如图,作出x+y-20,y0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=2-00-4=-12.故选D.7.(2014北京,理7)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分别是三
5、棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则().A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3S2D.S3=S2且S3S1答案:D解析:三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图(1),正投影为RtA1B1C1,其面积S1=1222=2.三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,2).显然B2,C2重合,如图(2),正投影为A2B2D2,其面积S2=1222
6、=2.三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,2),由图(3)可知,正投影为A3D3C3,其面积S3=1222=2.综上,S2=S3,S3S1.故选D.图(1)图(2)图(3)8.(2014北京,理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有().A.2人B.3人C.4人D
7、.5人答案:B解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2014北京,理9)复数1+i1-i2=.答案:-1解析:1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,所以1+i1-i2=i2=-1.10.(2014北京,理10)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=.答案:5解析:|b|=22+12=5,由a
8、+b=0,得b=-a,故|b|=|-a|=|a|,所以|=|b|a|=51=5.11.(2014北京,理11)设双曲线C经过点(2,2),且与y24-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.答案:x23-y212=1y=2x解析:双曲线y24-x2=1的渐近线方程为y=2x.设与双曲线y24-x2=1有共同渐近线的方程为y24-x2=,又(2,2)在双曲线上,故224-22=,解得=-3.故所求双曲线方程为y24-x2=-3,即x23-y212=1.所求双曲线的渐近线方程为y=2x.12.(2014北京,理12)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,即a80;而a7
9、+a10=a8+a90,故a90,0).若f(x)在区间6,2上具有单调性,且f2=f23=-f6,则f(x)的最小正周期为.答案:解析:由f(x)在区间6,2上具有单调性,且f2=-f6知,f(x)有对称中心3,0,由f2=f23知f(x)有对称轴x=122+23=712.记f(x)的最小正周期为T,则12T2-6,即T23.故712-3=4=T4,解得T=.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题13分)(2014北京,理15)如图,在ABC中,B=3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=17.(1)求sinBAD;(2)求BD,
10、AC的长.分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得BAD=ADC-B,然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在ABD中,根据正弦定理,结合(1)即可求得BD,然后在ABC中,直接利用余弦定理求AC即可.解:(1)在ADC中,因为cosADC=17,所以sinADC=437.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcos B-cosADCsin B=43712-1732=3314.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=ABsinBADsinADB=83314437=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-28512=49.所以AC=7.
11、16.(本小题13分)(2014北京,理16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.(只需写出结论
12、)分析:(1)先根据统计表格求出投篮命中率,确定投篮命中率超过0.6的场数,然后除以总场数10即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率,然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件,即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX与x的大小关系.解:(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在
13、随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”,则C=ABAB,A,B独立.根据投篮统计数据,P(A)=35,P(B)=25.P(C)=P(AB)+P(AB)=3535+2525=1325.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX=x.17.(本小题14分)(2014北京,理17)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点
14、G,H.(1)求证:ABFG;(2)若PA底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.分析:(1)首先利用AMED得到AB平面PDE,然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,然后求出直线BC的方向向量和平面ABF的法向量,利用这两个向量的夹角表示所求,再根据H在PC上,设出H的坐标,然后利用平面ABF的法向量与AH垂直确定参数取值,进而求出H点的坐标,最后利用坐标公式求得线段长度.(1)证明:在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以ABDE.又因为AB平面PDE,所以AB平面PDE
15、.因为AB平面ABF,且平面ABF平面PDE=FG,所以ABFG.(2)解:因为PA底面ABCDE,所以PAAB,PAAE.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAF=0,即x=0,y+z=0.令z=1,则y=-1.所以n=(0,-1,1).设直线BC与平面ABF所成角为,则sin =|cos|=nBC|n|BC|=12.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为6.设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上,所以可设PH=P
16、C(01),即(u,v,w-2)=(2,1,-2),所以u=2,v=,w=2-2.因为n是平面ABF的法向量,所以nAH=0,即(0,-1,1)(2,2-2)=0,解得=23,所以点H的坐标为43,23,23.所以PH=432+232+-432=2.18.(本小题13分)(2014北京,理18)已知函数f(x)=xcos x-sin x,x0,2.(1)求证:f(x)0;(2)若asinxx0,将不等式转化为整式不等式,进而转化为g(x)=sin x-cxx0,2与0的大小关系,注意对参数c的取值要分c0,c1和0c1三种情况进行分类讨论,然后利用边界值求出a的最大值与b的最小值.(1)证明:
17、由f(x)=xcos x-sin x得f(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.因为在区间0,2上f(x)=-xsin x0时,“sinxxa”等价于“sin x-ax0”;“sinxxb”等价于“sin x-bx0对任意x0,2恒成立.当c1时,因为对任意x0,2,g(x)=cos x-c0,所以g(x)在区间0,2上单调递减.从而g(x)g(0)=0对任意x0,2恒成立.当0cg(0)=0.进一步,“g(x)0对任意x0,2恒成立”当且仅当g2=1-2c0,即00对任意x0,2恒成立;当且仅当c1时,g(x)0对任意x0,2恒成立.所以,若asinxxb对任意x0,2
18、恒成立,则a的最大值为2,b的最小值为1.19.(本小题14分)(2014北京,理19)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出a,c,即可求得离心率e;(2)分别设出A,B两点的坐标,先利用OAOB求出两点坐标之间的关系,然后根据A,B两点横坐标是否相等分类,分别求出原点O到直线AB的距离,将其与圆的半径2进行比较,即可判断直线与圆的位置关系.解:(1)由题意,椭圆C的标准方程为x24+y22=1.所以a2=4
19、,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=2.故椭圆C的离心率e=ca=22.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为OAOB,所以OAOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程,得t=2,故直线AB的方程为x=2,圆心O到直线AB的距离d=2,此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=|2x0-ty0|(y0-2)
20、2+(x0-t)2.又x02+2y02=4,t=-2y0x0,故d=2x0+2y02x0x02+y02+4y02x02+4=4+x02x0x04+8x02+162x02=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.20.(本小题13分)(2014北京,理20)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+maxTk-1(P),a1+a2+ak(2kn),其中maxTk-1(P),a1+a2+ak表示Tk-1(P)和a1+a2+ak两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a
21、,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P)的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)分析:(1)直接根据定义式即可求出T1(P)和T2(P)的值;(2)先根据定义式分别写出T2(P)和T2(P),然后根据a,b,c,d中最小数的不同比较对应两个代数式的大小,即可求得T2(P)和T2(P)的大小关系;(
22、3)先比较已知数据大小,然后根据定义式写出使T5(P)最小的数对序列,依次求出T1(P),T2(P),T3(P),T4(P),T5(P)即可.解:(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+maxT1(P),2+4=1+max7,6=8.(2)T2(P)=maxa+b+d,a+c+d,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b.当m=a时,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b=c+d+b.因为a+b+dc+b+d,且a+c+dc+b+d,所以T2(P)T2(P).当m=d时,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b=c+a+b.因为a+b+dc+a+b,且a+c+dc+a+b,所以T2(P)T2(P).所以无论m=a还是m=d,T2(P)T2(P)都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.
