1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数学(理科)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014大纲全国,理1)设z=10i3+i,则z的共轭复数为().A.-1+3iB.-1-3iC.1+3iD.1-3i答案:D解析:z=10i3+i=10i(3-i)(3+i)(3-i)=30i+1032+12=1+3i,z=1-3i,选D.2.(2014大纲全国,理2)设集合M=x|x2-3x-40,N=x|0x5,则MN=().A.(0,4B.0,4)C.-1,0)D.(-1,0答案:B解析:M=x|x2-3x-40=x|-
2、1x4,N=x|0x5,MN=x|0xbcB.bcaC.cbaD.cab答案:C解析:a=sin 33,b=cos 55=sin 35,c=tan 35=sin35cos35,sin35cos35sin 35sin 33.cba,选C.4.(2014大纲全国,理4)若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,则|b|=().A.2B.2C.1D.22答案:B解析:(a+b)a,|a|=1,(a+b)a=0,|a|2+ab=0,ab=-1.又(2a+b)b,(2a+b)b=0.2ab+|b|2=0.|b|2=2.|b|=2,选B.5.(2014大纲全国,理5)有6名男医生、5名女
3、医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有().A.60种B.70种C.75种D.150种答案:C解析:从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,故共有C62C51=65215=75种选法,选C.6.(2014大纲全国,理6)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF1B的周长为43,则C的方程为().A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1答案:A解析:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,c
4、a=33.又过F2的直线l交椭圆于A,B两点,AF1B的周长为43,4a=43,a=3.b=2,椭圆方程为x23+y22=1,选A.7.(2014大纲全国,理7)曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于().A.2eB.eC.2D.1答案:C解析:y=xex-1,y=ex-1+xex-1,k=y|x=1=e0+e0=2,选C.8.(2014大纲全国,理8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为().A.814B.16C.9D.274答案:A解析:由图知,R2=(4-R)2+2,R2=16-8R+R2+2,R=94,S表=4R2=48116=814
5、,选A.9.(2014大纲全国,理9)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=().A.14B.13C.24D.23答案:A解析:双曲线的离心率为2,ca=2,abc=132.又|AF1|-|AF2|=2a,|F1A|=2|F2A|,|AF1|=4a,|AF2|=2a,|F1F2|=2c=4a,cosAF2F1=|AF2|2+|F1F2|2-|AF1|22|AF2|F1F2|=4a2+16a2-16a222a4a=4a216a2=14,选A.10.(2014大纲全国,理10)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前
6、8项和等于().A.6B.5C.4D.3答案:C解析:a4=2,a5=5,a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=10,lg a1+lg a2+lg a8=lg a1a2a8=lg(a1a8)4=lg(a4a5)4=4lg a4a5=4lg 10=4,选C.11.(2014大纲全国,理11)已知二面角-l-为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为().A.14B.24C.34D.12答案:B解析:如图,在平面内过C作CEAB,则ECD为异面直线AB与CD所成的角或其补角,不妨取CE=1,过E作EO于O.在平面内过O作OHCD于H,连EH,
7、则EHCD.因为ABCE,ABl,所以CEl.又因为EO平面,所以COl.故ECO为二面角-l-的平面角,所以ECO=60.而ACD=135,COl,所以OCH=45.在RtECO中,CO=CEcosECO=1cos 60=12.在RtCOH中,CH=COcosOCH=12sin 45=24.在RtECH中,cosECH=CHCE=241=24.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为24.故选B.12.(2014大纲全国,理12)函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是().A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(
8、-x)答案:D解析:因为函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像关于直线x+y=0对称,而函数图像与其反函数的图像关于直线y=x对称,所以这两个函数的反函数图像也关于直线x+y=0对称.设函数y=f(x)的反函数图像上任一点P(x,y),则其关于直线x+y=0的对称点Q(-y,-x)在函数y=g(x)的反函数的图像上,又Q(-y,-x)关于直线y=x的对称点M(-x,-y)在函数y=g(x)的图像上.所以,-y=g(-x),即y=-g(-x).故函数y=f(x)的反函数为y=-g(-x).故选D.第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014大纲全国,理13)xy-yx8的
9、展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)答案:70解析:设xy-yx8的第r+1项中含有x2y2,则Tr+1=C8rxy8-r-yxr=C8r(-1)rx8-r-r2yr-8-r2,因此8-r-r2=2,r-8-r2=2,即r=4.故x2y2的系数为C84(-1)4=87654321=70.14.(2014大纲全国,理14)设x,y满足约束条件x-y0,x+2y3,x-2y1,则z=x+4y的最大值为.答案:5解析:画出x,y的可行域如图阴影区域.由z=x+4y,得y=-14x+z4.先画出直线y=-14x,再平移直线y=-14x,当经过点B(1,1)时,z=x+4y取得最大值为5.15.(2
10、014大纲全国,理15)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.答案:43解析:如图所示,设l1与圆O:x2+y2=2相切于点B,l2与圆O:x2+y2=2相切于点C,则OB=2,OA=10,AB=22.tan =OBAB=222=12.tanBAC=tan 2=2tan1-tan2=2121-14=43.16.(2014大纲全国,理16)若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间6,2是减函数,则a的取值范围是.答案:(-,2解析:f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x.令t=sin x,
11、x6,2,t12,1,g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+112t1,由题意知-a2(-2)12,a2,a的取值范围为(-,2.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2014大纲全国,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acos C=2ccos A,tan A=13,求B.分析:通过3acos C=2ccos A,借助于正弦定理把a,c转化成关于A,C的三角函数值,由已知tan A=13,从而求出tan C,再利用公式tan B=-tan(A+C)求出B.解:由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos
12、A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=13,所以cos C=2sin C,tan C=12.所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=tanA+tanCtanAtanC-1=-1,即B=135.18.(本小题满分12分)(2014大纲全国,理18)等差数列an的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且SnS4.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Tn.分析:(1)通过条件分析,a2为整数,且SnS4,得到a50,a40,把a4,a5用公差d和a1表示,得到公差的取值范围,从而确定公差,进而求出an的通项公式.
13、(2)将(1)的结果代入bn=1anan+1,整理变形后利用裂项求前n项和Tn.解:(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列an的公差d为整数,又SnS4,故a40,a50,于是10+3d0,10+4d0.解得-103d-52.因此d=-3.数列an的通项公式为an=13-3n.(2)bn=1(13-3n)(10-3n)=13110-3n-113-3n.于是Tn=b1+b2+bn=1317-110+14-17+110-3n-113-3n=13110-3n-110=n10(10-3n).19.(本小题满分12分)(2014大纲全国,理19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC
14、内的射影D在AC上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2.(1)证明:AC1A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3,求二面角A1-AB-C的大小.分析:(方法一)(逻辑推理)(1)由AC=CC1=2,知侧面AA1C1C为菱形,借助于三垂线定理即可证得AC1A1B.(2)先作出二面角A1-AB-C的平面角A1FD,通过线面垂直关系得A1DF为直角三角形.把A1FD放入RtA1FD中通过解直角三角形的有关知识求出A1FD.(方法二)(坐标法)(1)以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长建立空间直角坐标系.设A1(a,0,c),a2,写出AC1,BA1的坐标表
15、示,利用AC1BA1=0证明AC1A1B.(2)先根据已知条件求出a,c,再求出面ABA1的法向量n和面ABC的法向量p,利用公式cos=np|n|p|求解.解法一:(1)证明:因为A1D平面ABC,A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC,所以BC平面AA1C1C.连结A1C.因为侧面AA1C1C为菱形,故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2)BC平面AA1C1C,BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1,E为垂足,则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1,因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,A1E=
16、3.因为A1C为ACC1的平分线,故A1D=A1E=3.作DFAB,F为垂足,连结A1F.由三垂线定理得A1FAB,故A1FD为二面角A1-AB-C的平面角.由AD=AA12-A1D2=1得D为AC中点,DF=12ACBCAB=55,tanA1FD=A1DDF=15.所以二面角A1-AB-C的大小为arctan 15.解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内.(1)证明:设A1(a,0,c),由题设有a2,A(2,0,0),B(0,1,0),则AB=(-2,1,0),AC=(-
17、2,0,0),AA1=(a-2,0,c),AC1=AC+AA1=(a-4,0,c),BA1=(a,-1,c).由|AA1|=2得(a-2)2+c2=2,即a2-4a+c2=0.于是AC1BA1=a2-4a+c2=0,所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m=(x,y,z),则mCB,mBB1,即mCB=0,mBB1=0.因CB=(0,1,0),BB1=AA1=(a-2,0,c),故y=0,且(a-2)x+cz=0.令x=c,则z=2-a,m=(c,0,2-a),点A到平面BCC1B1的距离为|CA|cos|=|CAm|m|=2cc2+(2-a)2=c.又依题设,A到平面BCC1B1
18、的距离为3,所以c=3.代入解得a=3(舍去)或a=1.于是AA1=(-1,0,3).设平面ABA1的法向量n=(p,q,r),则nAA1,nAB,即nAA1=0,nAB=0,-p+3r=0,且-2p+q=0.令p=3,则q=23,r=1,n=(3,23,1).又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量,故cos=np|n|p|=14.所以二面角A1-AB-C的大小为arccos14.20.(本小题满分12分)(2014大纲全国,理20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
19、(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.分析:(1)设出事件的字母表示,用所设字母表示所求事件,利用事件的相互独立性求出所求问题的概率.(2)明确随机变量的取值:X=0,1,2,3,4.把随机变量转化为相应的事件,利用事件的相互独立性求出每个随机变量取相应值的概率,较复杂的概率可用分布列的性质去求.利用数学期望公式求得X的数学期望.解:记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1BC+A2B+A2BC.P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai
20、)=C2i0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2BC)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2BC)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为P(X=0)=P(BA0C)=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(BA0C+BA0C+BA1C)=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.
21、4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,数学期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.21.(本小题满分12分)(2014大纲全国,理21)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=54|PQ|.(1
22、)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.分析:(1)设出Q点坐标,利用|QF|=54|PQ|列出关于p的方程,借助于p的几何意义及抛物线的性质确定p.(2)通过题设分析判断直线l与x轴不垂直.因直线l过F(1,0),可设l的方程为x=my+1(m0).直线l与抛物线方程联立,利用韦达定理得到y1+y2,y1y2关于m的表达式,借助弦长公式得|AB|=m2+1|y1-y2|(其中A(x1,y1),B(x2,y2),同理可得|MN|=1+1m2|y3-y4|(其中M(x3,y3),N(x4,y4).
23、由题目中的A,M,B,N四点在同一圆上得到关于m的方程,进而求出m,得到直线l的方程.解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p.由题设得p2+8p=548p,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-1my+
24、2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.22.
25、(本小题满分12分)(2014大纲全国,理22)函数f(x)=ln(x+1)-axx+a(a1).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:2n+2an3n+2.思路分析:(1)通过观察f(x)及要求的结论,先求出f(x)的定义域,借助于导数这一工具讨论f(x)的单调性.由于0与a2-2a的大小关系不确定,因而要分类讨论.再借助于导函数讨论f(x)的单调性.(2)借助第(1)问的结论,利用赋值法得到2xx+2ln(x+1)3xx+3.由于问题是关于n的证明问题,想到利用数学归纳法证明,注意当n=k+1时,要利用n=k的结论及2xx+2ln(x+1)3xx+
26、3.(1)解:f(x)的定义域为(-1,+),f(x)=xx-(a2-2a)(x+1)(x+a)2.当1a0,f(x)在(-1,a2-2a)是增函数;若x(a2-2a,0),则f(x)0,f(x)在(0,+)是增函数.当a=2时,f(x)0,f(x)=0成立当且仅当x=0,f(x)在(-1,+)是增函数;当a2时,若x(-1,0),则f(x)0,f(x)在(-1,0)是增函数;若x(0,a2-2a),则f(x)0,f(x)在(a2-2a,+)是增函数.(2)证明:由(1)知,当a=2时,f(x)在(-1,+)是增函数.当x(0,+)时,f(x)f(0)=0,即ln(x+1)2xx+2(x0).又由(1)知,当a=3时,f(x)在0,3)是减函数.当x(0,3)时,f(x)f(0)=0,即ln(x+1)3xx+3(0x3).下面用数学归纳法证明2n+2an3n+2.当n=1时,由已知23a1=1,故结论成立;设当n=k时结论成立,即2k+2ln2k+2+122k+22k+2+2=2k+3,ak+1=ln(ak+1)ln3k+2+133k+23k+2+3=3k+3,即当n=k+1时有2k+3ak+13k+3,结论成立.根据,知对任何nN*结论都成立.
