1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,文1)已知全集U=R,A=x|x0,B=x|x1,则集合U(AB)=().A.x|x0B.x|x1C.x|0x1D.x|0x1答案:D解析:AB=x|x0或x1,U(AB)=x|0xbcB.acbC.cbaD.cab答案:D解析:0a=2-1320=1,b=log213log1212=1,cab.故选D.4.(2014辽宁,文4)已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是().A.若m,n,则mnB.若m,
2、n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n答案:B解析:对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面内,故C不正确.对D:n还可能在内,故D不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,文5)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若ab=0,bc=0,则ac=0;命题q:若ab,bc,则ac.则下列命题中真命题是().A.pqB.pqC.(p)(q)D.p(q)答案:A解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故pq为真命题.故选A.6.
3、(2014辽宁,文6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是().A.2B.4C.6D.8答案:B解析:所求概率为S半圆S长方形=121221=4,故选B.7.(2014辽宁,文7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.8-4B.8-2C.8-D.8-2答案:C解析:由几何体的三视图可知,原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的14圆柱,故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱,即V=23-12122=8-.故选C.8.(2014辽宁,文8)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线
4、上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为().A.-43B.-1C.-34D.-12答案:C解析:由已知,得准线方程为x=-2,F的坐标为(2,0).又A(-2,3),直线AF的斜率为k=3-0-2-2=-34.故选C.9.(2014辽宁,文9)设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列,则().A.d0B.d0D.a1d0答案:D解析:2a1an为递减数列,2a1an+12a1an=2a1an+1-a1an=2a1(an+1-an)=2a1d1.a1d0.故选D.10.(2014辽宁,文10)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=cos x,x0,12,2x-1,x12,+,则不
5、等式f(x-1)12的解集为().A.14,2343,74B.-34,-1314,23C.13,3443,74D.-34,-1313,34答案:A解析:令t=x-1.当t0,12时,t0,2,由f(t)12,即cos t12,得3t2,解得13t12.当t12,+时,由f(t)12,即2t-112,解得12t34.综上,t0,+)时,f(t)12的解集为13,34.f(x)为偶函数,f(|x|)=f(x).故tR时,由f(t)12可得13|t|34,即-34t-13或13t34.由f(x-1)12得-34x-1-13或13x-134,解得14x23或43x74.故选A.11.(2014辽宁,文
6、11)将函数y=3sin2x+3的图象向右平移2个单位长度,所得图象对应的函数().A.在区间12,712上单调递减B.在区间12,712上单调递增C.在区间-6,3上单调递减D.在区间-6,3上单调递增答案:B解析:由题意知,平移后的函数f(x)=3sin2x-2+3=3sin2x-+3=-3sin2x+3.令2k-22x+32k+2,kZ,解得f(x)的递减区间为k-512,k+12,kZ.令2k+22x+32k+32(kZ),解得f(x)的递增区间为k+12,k+712,kZ.从而可判断选项B正确.12.(2014辽宁,文12)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数
7、a的取值范围是().A.-5,-3B.-6,-98C.-6,-2D.-4,-3答案:C解析:当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,即当x-2,1时,不等式ax3x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,aR.(2)当0x1时,由(*)得ax2-4x-3x3=1x-4x2-3x3恒成立.设f(x)=1x-4x2-3x3,则f(x)=-1x2+8x3+9x4=-x2+8x+9x4=-(x-9)(x+1)x4.当0x1时,x-90,f(x)0,f(x)在(0,1上单调递增.当0x1时,可知af(x)max=f(1)=-6.(3)当-2x0时,由(*)得a1x-4x2-3x3.令f
8、(x)=0,得x=-1或x=9(舍).当-2x-1时,f(x)0,当-1x0,f(x)在-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.x-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.可知af(x)min=-2.综上所述,当x-2,1时,实数a的取值范围为-6a-2.故选C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014辽宁,文13)执行下面的程序框图,若输入n=3,则输出T=.答案:20解析:由程序框图可知,当i=03时,i=1,S=1,T=1;
9、当i=13时,i=2,S=3,T=4;当i=23时,i=3,S=6,T=10;当i=33时,i=4,S=10,T=20;可知i=43,退出循环.故输入n=3时,输出T=20.14.(2014辽宁,文14)已知x,y满足约束条件2x+y-20,x-2y+40,3x-y-30,则目标函数z=3x+4y的最大值为.答案:18解析:画出x,y满足约束条件的可行域如图阴影部分.由3x-y-3=0,x-2y+4=0得x=2,y=3,A点坐标为(2,3).作直线l0:3x+4y=0,可知当平移l0到l(l过点A)时,目标函数有最大值,此时zmax=32+43=18.15.(2014辽宁,文15)已知椭圆C:
10、x29+y24=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案:12解析:如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.同理可得可知|BN|=2|PF2|.|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|).根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,|AN|+|BN|=12.16.(2014辽宁,文16)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,1a+2b+4c的最小值为.答案:-1解析:要求|2a+b|的最大值,只需求(2a+b)2的最大值.4a2-2a
11、b+b2-c=0,4a2+b2=c+2ab,(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab+4ab=c+6abc+32a+b22,即(2a+b)24c,当且仅当2a=b时,取得等号,即(2a+b)2取到最大值,即2a=b时,|2a+b|取到最大值.把2a=b代入4a2-2ab+b2-c=0,可得c=4a2.1a+2b+4c=1a+22a+44a2=2a+1a2=1a+12-1.当1a=-1时,1a+2b+4c取到最小值-1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,文17)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知BAB
12、C=2,cos B=13,b=3,求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.分析:(1)由数量积定义及余弦定理,可列出a,c的方程组,解方程组即可求出a,c的值.(2)由已知及正弦定理可分别求出B,C角的正、余弦值,再利用两角差的余弦公式可求出cos(B-C)的值.解:(1)由BABC=2得cacos B=2.又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因为ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=1-132=2
13、23,由正弦定理,得sin C=cbsin B=23223=429.因为a=bc,所以C为锐角,因此cos C=1-sin2C=1-4292=79.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1379+223429=2327.18.(本小题满分12分)(2014辽宁,文18)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5
14、名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2.P(2k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635分析:(1)由表中数据及2公式可求出2值,再与3.841比较即可.(2)可用列举法写出基本事件总数及“3人中至多有1人喜欢甜品”的基本事件数.再由古典概型的概率公式计算即可.解:(1)将22列联表中的数据代入公式计算,得2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100(6010-2010)270308020=100214.762.由于4.76
15、23.841,所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异.(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间=(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3).其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A=(a1,b1,b2),(a1,b2,b
16、3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3).事件A是由7个基本事件组成,因而P(A)=710.19.(本小题满分12分)(2014辽宁,文19)如图,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=13Sh,其中S为底面面积,h为高.分析:(1)由三角形全等证出AC=DC,再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直,最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论.(2)由面面垂
17、直得线面垂直,从而确定出点到平面的距离,即三棱锥G-BCD的高,由等体积法可求三棱锥D-BCG的体积.(1)证明:由已知得ABCDBC,因此AC=DC.又G为AD中点,所以CGAD;同理BGAD;因此AD面BGC.又EFAD,所以EF面BCG.(2)解:在平面ABC内,作AOCB,交CB延长线于O.由平面ABC平面BCD,知AO面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC距离h是AO长度的一半.在AOB中,AO=ABsin 60=3,所以VD-BCG=VG-BCD=13SDBCh=1312BDBCsin 12032=12.20.(本小题满分12分)(2014辽宁,文20)圆x2+y2=4的切线
18、与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+3交于A,B两点.若PAB的面积为2,求C的标准方程.分析:(1)设出切点P的坐标,用此坐标表示三角形的面积.又由切点P在圆上,利用基本不等式求最值的方法,可求出点P的坐标.(2)设出椭圆C的标准方程,由点P在椭圆C上,及直线l与C相交于A,B两点且SPAB=2,可求出a,b的值.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00),则切线斜率为-x0y0,切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的
19、正半轴与切线围成的三角形面积为S=124x04y0=8x0y0,由x02+y02=42x0y0知当且仅当x0=y0=2时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(2,2).(2)设C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知2a2+2b2=1,并由x2a2+y2b2=1,y=x+3,得b2x2+43x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此x1+x2=-43b2,x1x2=6-2b2b2,由y1=x1+3,y2=x2+3,得|AB|=2|x1-x2|=248-24b2+8b4b2.由点P到直线l的距离为32及SPAB=123
20、2|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6.从而所求C的方程为x26+y23=1.21.(本小题满分12分)(2014辽宁,文21)已知函数f(x)=(x-cos x)-2sin x-2,g(x)=(x-)1-sinx1+sinx+2x-1,证明:(1)存在唯一x00,2,使f(x0)=0;(2)存在唯一x12,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1.分析:(1)利用求导数方法判断函数f(x)在0,2上的单调性,再利用函数零点的存在性定理进行判断,证出结论.(2)先化简函数g(x)在2,上的解析式,再用求导法判断函数单
21、调性,结合函数零点的存在性定理,即可证明.证明:(1)当x0,2时,f(x)=+sin x-2cos x0,所以f(x)在0,2上为增函数,又f(0)=-20,所以存在唯一x00,2,使f(x0)=0.(2)当x2,时,化简得g(x)=(-x)cosx1+sinx+2x-1.令t=-x,记u(t)=g(-t)=-tcost1+sint-2t+1,t0,2,则u(t)=f(t)(1+sint).由(1)得,当t(0,x0)时,u(t)0.在x0,2上u(t)为增函数,由u2=0知,当tx0,2时,u(t)0,所以u(t)在x0,2上无零点.在(0,x0)上u(t)为减函数,由u(0)=1及u(x
22、0)0知存在唯一t0(0,x0),使u(t0)=0.于是存在唯一t00,2,使u(t0)=0.设x1=-t02,则g(x1)=g(-t0)=u(t0)=0,因此存在唯一的x12,使g(x1)=0,由于x1=-t0,t0.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2014辽宁,理22)选修41:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD
23、,求证:AB=ED.分析:(1)证明AB是直径,即证明BDA=90.由PFA=90,从而寻求BDA=PFA就可证明.(2)要证AB=DE,即证DE为直径,连DC,即证DCE=90,从而只需证明ABDC即可.证明:(1)因为PD=PG,所以PDG=PGD.由于PD为切线,故PDA=DBA.又由于PGD=EGA,故DBA=EGA,所以DBA+BAD=EGA+BAD,从而BDA=PFA.由于AFEP,所以PFA=90.于是BDA=90.故AB是直径.(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故BDA=ACB=90.在RtBDA与RtACB中,AB=BA,AC=BD,从而RtBDARtACB.于是DAB=
24、CBA.又因为DCB=DAB,所以DCB=CBA,故DCAB.由于ABEP,所以DCEP,DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.23.(本小题满分10分)(2014辽宁,理23)选修44:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.分析:(1)利用相关点法先求出直角坐标方程,再写出参数方程.(2)先联立方程求出P1,P2两点的坐标,进而求出P1P2的中点坐
25、标,得到与l垂直的直线方程,再化为极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得x=x1,y=2y1.由x12+y12=1,得x2+y22=1,即曲线C的方程为x2+y24=1.故C的参数方程为x=costy=2sint(t为参数).(2)由x2+y24=1,2x+y-2=0,解得x=1,y=0,或x=0,y=2.不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为12,1,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12x-12,化为极坐标方程,并整理得2cos -4sin =-3,即=34sin-2cos.24.(本小题满分
26、10分)(2014辽宁,理24)选修45:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M;(2)当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)214.分析:(1)分类讨论去绝对值符号即可.(2)在xMN的条件下,先化简x2f(x)+xf(x)2,再配方求其最大值即可.解:(1)f(x)=3x-3,x1,+),1-x,x(-,1),当x1时,由f(x)=3x-31得x43,故1x43;当x1时,由f(x)=1-x1得x0,故0x1.所以f(x)1的解集为M=x0x43.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+14,得16x-1424,解得-14x34.因此N=x-14x34.故MN=x0x34.当xMN时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+xf(x)2=xf(x)x+f(x)=xf(x)=x(1-x)=14-x-12214.
