1、绝密 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页,24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置
2、用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 设集合A=x|x2-4x+30,则AB=(A)(-3,-32)(B)(-3,32)(C)(1,32)(D)(32,3)(2) 设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=(A)1(B)2(C)3(D)2(3) 已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=(A)100(B)99(C)98(D)97(4) 某公司的班车在7:
3、30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)13(B)12(C)23(D)34(5) 已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A)(-1,3)(B)(-1,3)(C)(0,3)(D)(0,3)(6) 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283,则它的表面积是(A)17(B)18(C)20(D)28(7) 函数y=2x2-e|x|在-2,2的图像大致为(8) 若ab1,0c1,则(A)
4、acbc(B)abcbac(C)alogbcblogac(D)logac0,|2),x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在(18,536)单调,则的最大值为(A)11(B)9(C)7(D)5第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)(24)题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。(13) 设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.(14) (2x+x)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)(15) 设等比数列an满足a1+a3=1
5、0,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.(16) 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(
6、)求C;()若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.(18) (本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.()证明:平面ABEF平面EFDC;()求二面角E-BC-A的余弦值.(19) (本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年
7、使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.()求X的分布列;()若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;()以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?(20) (本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.()证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;()设点E的轨迹为曲线C
8、1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.(21) (本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.()求a的取值范围;()设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x20).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos.()说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;()直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.(24) (本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.()在
9、答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像;()求不等式|f(x)|1的解集.试卷全解全析全国乙卷理科(1)D由x2-4x+30,解得1x0,解得x32,所以B=32,+.所以AB=32,3,故选D.(2)B(定义、性质)因为(1+i)x=1+yi,x,yR,所以x=1,y=x=1.所以|x+yi|=|1+i|=2,故选B.(3)C(方法一)设等差数列an的公差为d,则由题意得,9a1+982d=27,a1+9d=8,解得a1=-1,d=1,故a100=a1+99d=-1+99=98.(方法二)因为S9=(a1+a9)92=27,a1+a9=2a5,所以a5=3.又因为a10=8,所以d=a
10、10-a510-5=1.故a100=a10+(100-10)1=98.(4)B这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为:7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=2040=12,故选B.(5)A(定义、公式)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)0,解得-1n3,故选A.(6)A由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体,则7843R3=283,解得R=2,所以它的表面积为784R2+34R2=14+3=17.(7)D特
11、殊值验证法,取x=2,则y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B;当0x2,所以A错;因为32=1823=12,所以B错;因为log312=-log32-1=log212,所以D错;因为3log212=-30),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=42,所以可设A(m,22).又因为|DE|=25,所以R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.(11)A(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB
12、1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n所成的角的正弦值为32.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为32.(12)B由题意得-4+=k1,k1Z,4+=k2+2,k2Z,解得=
13、k1+k22+4,=2(k2-k1)+1,k1,k2Z.|2,=4或=-4.f(x)在18,536上单调,536-18T2,T6,即26,12.0,012.若=4,则k1+k2=0,=4k2+1,=1,5,9.若=9,则f(x)=sin9x+4在18,536上单调递减,符合题意.若=-4,则k1+k2=-1,=4k2+3,=3,7,11.若=11,则f(x)=sin11x-4在18,344上递增,在344,536上递减,不符合题意.综上,的最大值为9.(13)-2|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.(14)10二项式的通项公式Tr+1=C5r(2x
14、)5-rxr2=C5r25-rx5-r2,令5-r2=3,解得r=4,故x3的系数为C5425-4=10.(15)64由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得a1+a3q(a1+a3)=105,解得q=12,a1=8,所以a1a2an=8n121+2+(n-1)=2-12n2+7n2,抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为n=-722-12=3.5,又nN*,所以当n=3或4时,a1a2an取最大值为2-1232+732=26=64.(16)216 000设生产产品A x件,生产产品B y件,由题意得1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,
15、x,yN,即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,x,yN.目标函数z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-73x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由5x+3y=600,10x+3y=900,解得x=60,y=100,所以zmax=2 10060+900100=216 000.(17)解 ()由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,即2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=12,
16、所以C=3.()由已知,12absin C=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以ABC的周长为5+7.(18)解 ()由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.()过D作DGEF,垂足为G,由()知DG平面ABEF.以G为坐标原点,GF的方向为x轴正方向,|GF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由()知DFE为二面角D-AF-E的平面角,故DFE=60,则|DF|=2,|DG|=3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0)
17、,E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知,ABEF,所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,所以CEF为二面角C-BE-F的平面角,CEF=60.从而可得C(-2,0,3).所以EC=(1,0,3),EB=(0,4,0),AC=(-3,-4,3),AB=(-4,0,0),设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则nEC=0,nEB=0,即x+3z=0,4y=0.所以可取n=(3,0,-3).设m是平面ABCD的法向量,则mAC=0,mAB=0,同理可取m=(0,3,4),则cos=nm|n|m|=-21919.故二
18、面角E-BC-A的余弦值为-21919.(19)解 ()由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.24
19、0.20.080.04()由()知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.()记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.当n=20时,EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(20)解 ()因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=
20、|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:x24+y23=1(y0).()当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),由y=k(x-1),x24+y23=1得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,所以|MN|=1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.过点B(1,0)且
21、与l垂直的直线m:y=-1k(x-1),A到m的距离为2k2+1,所以|PQ|=242-2k2+12=44k2+3k2+1.故四边形MPNQ的面积S=12|MN|PQ|=121+14k2+3.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,83).(21)解 ()f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0,所以f
22、(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b0且ba2(b-2)+a(b-1)2=ab2-32b0,故f(x)存在两个零点.()设a0,因此f(x)在(1,+)单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a1,故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0.因此f(x)在(1,ln(-2a)单调递减,在(ln(-2a),+)单调递增.又当x1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+).()不妨设x1x2,由()知,x1(-,1),x2(1,+),2-x2(-,1),f(x)在(-,1)单调递减,所以x1
23、+x2f(2-x2),即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0.从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.(22)解 ()设E是AB的中点,连结OE.因为OA=OB,AOB=120,所以OEAB,AOE=60.在RtAOE中,OE=12AO,即O到直线AB的距离等于O半径,所以直线AB与O相切.()因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O在线段AB的垂直平分线上,所以OOAB.同理可证,OOCD.所以ABCD.(23)解 ()消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2
24、=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.()曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组2-2sin+1-a2=0,=4cos.若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.(24)解 ()f(x)=x-4,x-1,3x-2,-132,y=f(x)的图像如图所示.()由f(x)的表达式及图像,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,故f(x)1的解集为x|1x3;f(x)-1的解集为xx5.所以|f(x)|1的解集为xx13或1x5.
