1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准
2、使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。参考公式:锥体的体积公式V=13Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013广东,文1)设集合S=x|x2+2x=0,xR,T=x|x2-2x=0,xR,则ST=(). A.0B.0,2C.-2,0D.-2,0,2答案:A解析:S=-2,0,T=0,2,ST=0.2.(
3、2013广东,文2)函数y=lg(x+1)x-1的定义域是().A.(-1,+)B.-1,+)C.(-1,1)(1,+)D.-1,1)(1,+)答案:C解析:要使函数有意义,则x+10,x-10,解得x-1且x1,故函数的定义域为(-1,1)(1,+).3.(2013广东,文3)若i(x+yi)=3+4i,x,yR,则复数x+yi的模是().A.2B.3C.4D.5答案:D解析:i(x+yi)=-y+xi=3+4i,x=4,y=-3.x+yi=4-3i.|x+yi|=42+(-3)2=5.4.(2013广东,文4)已知sin52+=15,那么cos =().A.-25B.-15C.15D.25
4、答案:C解析:sin52+=sin2+2+=sin2+=cos =15,cos =15.5.(2013广东,文5)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是().A.1B.2C.4D.7答案:C解析:i=1,s=1,i3,s=1+0=1,i=2;i3,s=1+1=2,i=3;i3,s=2+2=4,i=4;i3,s=4.6.(2013广东,文6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是().A.16B.13C.23D.1答案:B解析:由俯视图知底面为直角三角形,又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1,且三棱锥的高为2,故V三棱锥=1312112=13.7.(2013广东,文7
5、)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第象限的直线方程是().A.x+y-2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+2=0答案:A解析:由于所求切线垂直于直线y=x+1,可设所求切线方程为x+y+m=0.由圆心到切线的距离等于半径得|m|2=1,解得m=2.又由于与圆相切于第象限,则m=-2.8.(2013广东,文8)设l为直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是().A.若l,l,则B.若l,l,则C.若l,l,则D.若,l,则l答案:B解析:如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,对于A,设l为AA1,平面B1BCC1,平面DCC1D1为,.A1A平面B1BCC
6、1,A1A平面DCC1D1,而平面B1BCC1平面DCC1D1=C1C;对于C,设l为A1A,平面ABCD为,平面DCC1D1为.A1A平面ABCD,A1A平面DCC1D1,而平面ABCD平面DCC1D1=DC;对于D,设平面A1ABB1为,平面ABCD为,直线D1C1为l,平面A1ABB1平面ABCD,D1C1平面A1ABB1,而D1C1平面ABCD.故A,C,D都是错误的.而对于B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知B正确.9.(2013广东,文9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是().A.x23+y24=1B.x24+y23=1C.x24+y22
7、=1D.x24+y23=1答案:D解析:由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知,c=1.又离心率等于12,则ca=12,得a=2.由b2=a2-c2=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.10.(2013广东,文10)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解,有如下四个命题:给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;给定向量b和c,总存在实数和,使a=b+c;给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使a=b+c;给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+c.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是().A.1B.2C.3D.4答案:B解析:对
8、于,由向量加法的三角形法则知正确;对于,由平面向量基本定理知正确;对于,以a的终点作长度为的圆,这个圆必须和向量b有交点,这个不一定能满足,故不正确;对于,利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必须|b|+|c|=+|a|,故不正确.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(1113题)11.(2013广东,文11)设数列an是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=.答案:15解析:由数列an首项为1,公比q=-2,则an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+
9、|a4|=1+2+4+8=15.12.(2013广东,文12)若曲线y=ax2-ln x在(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.答案:12解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0,由y=2ax-1x及导数的几何意义得y|x=1=2a-1=0,解得a=12.13.(2013广东,文13)已知变量x,y满足约束条件x-y+30,-1x1,y1,则z=x+y的最大值是.答案:5解析:由线性约束条件画出可行域如下图,平移直线l0,当l过点A(1,4),即当x=1,y=4时,zmax=5.(二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)14.(2013广东,文14)(坐标系与参数方程
10、选做题)已知曲线C的极坐标方程为=2cos .以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.答案:x=1+cos,y=sin(为参数)解析:由曲线C的极坐标方程=2cos 知以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C是以(1,0)为圆心,半径为1的圆,其方程为(x-1)2+y2=1,故参数方程为x=1+cos,y=sin(为参数).15.(2013广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,BEAC,垂足为E,则ED=.答案:212解析:在RtABC中,AB=3,BC=3,tanBAC=BCAB=3,则BAC=60,AE=
11、12AB=32.在AED中,EAD=30,AD=3,ED2=AE2+AD2-2AEADcosEAD=322+32-2323cos 30=34+9-232332=214.ED=212.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(2013广东,文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cosx-12,xR.(1)求f3的值;(2)若cos =35,32,2,求f-6.解:(1)f3=2cos3-12=2cos4=1.(2)cos =35,32,2,sin =-1-cos2=-45,f-6=2cos-4=2coscos4+sinsin4=-15.17
12、.(2013广东,文17)(本小题满分12分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:分组(重量)80,85)85,90)90,95)95,100)频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在90,95)的频率;(2)用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在80,85)的有几个?(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在80,85)和95,100)中各有1个的概率.解:(1)苹果的重量在90,95)的频率为2050=0.4;(2)重量在80,85)的有455+15=1个;(3)设这4个苹果中80,85
13、)分段的为1,95,100)分段的为2,3,4,从中任取两个,可能的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种.任取2个,重量在80,85)和95,100)中各有1个记为事件A,则事件A包含有(1,2),(1,3),(1,4),共3种,所以P(A)=36=12.18.(2013广东,文18)(本小题满分14分)如图(1),在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,其中BC=22.图(1)图(2)(1)证明:DE平面BCF;(2
14、)证明:CF平面ABF;(3)当AD=23时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.(1)证明:在等边三角形ABC中,AD=AE,ADDB=AEEC.又ADDB=AEEC,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,DEBC.DE平面BCF,BC平面BCF,DE平面BCF.(2)证明:在等边三角形ABC中,F是BC的中点,BC=1,AFCF,BF=CF=12.在三棱锥A-BCF中,BC=22,BC2=BF2+CF2.CFBF.BFAF=F,CF平面ABF.(3)解:由(1)可知GECF,结合(2)可得GE平面DFG.VF-DEG=VE-DFG=1312DGFGGE=131213133213=3324.
15、19.(2013广东,文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sn=an+12-4n-1,nN*,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:a2=4a1+5;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1a2+1a2a3+1anan+10,a2=4a1+5.(2)解:当n2时,4Sn-1=an2-4(n-1)-1,4Sn=an+12-4n-1,由-,得4an=4Sn-4Sn-1=an+12-an2-4,an+12=an2+4an+4=(an+2)2.an0,an+1=an+2,当n2时,an是公差d=2的等差数列.a2,a5,a14构成
16、等比数列,a52=a2a14,(a2+6)2=a2(a2+24),解得a2=3.由(1)可知,4a1=a22-5=4,a1=1.a2-a1=3-1=2,an是首项a1=1,公差d=2的等差数列.数列an的通项公式为an=2n-1.(3)证明:1a1a2+1a2a3+1anan+1=113+135+157+1(2n-1)(2n+1)=121-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1=121-12n+10)到直线l:x-y-2=0的距离为322.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点
17、时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.解:(1)依题意d=|0-c-2|2=322,解得c=1(负根舍去).抛物线C的方程为x2=4y.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2).由x2=4y,即y=14x2,得y=12x.抛物线C在点A处的切线PA的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x12x+y1-12x12.y1=14x12,y=x12x-y1.点P(x0,y0)在切线PA上,y0=x12x0-y1.同理,y0=x22x0-y2.综合,得,点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程y0=x2x0-y.经过A(x1,y1),B(x2
18、,y2)两点的直线是唯一的,直线AB的方程为y0=x2x0-y,即x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线的定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,|AF|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1+y2+y1y2+1.联立x2=4y,x0x-2y-2y0=0,消去x得y2+(2y0-x02)y+y02=0,y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02.点P(x0,y0)在直线l上,x0-y0-2=0.|AF|BF|=x02-2y0+y02+1=y02-2y0+(y0+2)2+1=2y02+2y0+5=2y0+122+92.当y0=-12时,|AF|BF|取得最小值为92.21.(2013
19、广东,文21)(本小题满分14分)设函数f(x)=x3-kx2+x(kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k0时,求函数f(x)在k,-k上的最小值m和最大值M.解:f(x)=3x2-2kx+1,(1)当k=1时,f(x)=3x2-2x+1,=4-12=-80,即f(x)的单调递增区间为R.(2)(方法一)当k0时,f(x)=3x2-2kx+1,其开口向上,对称轴x=k3,且过(0,1).当=4k2-12=4(k+3)(k-3)0,即-3k0,即k-3时,令f(x)=3x2-2kx+1=0,解得:x1=k+k2-33,x2=k-k2-33,注意到kx2x1k,从而kx2x
20、10,f(x)的最小值m=f(k)=k.f(x2)-f(-k)=x23-kx22+x2-(-k3-kk2-k)=(x2+k)(x2-k)2+k2+10,f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.综上所述,当k0时,f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k.(方法2)当k0时,对xk,-k,都有f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k)0,故f(x)f(k).f(x)-f(-k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)(x-k)2+k2+10.故f(x)f(-k).f(k)=k0,f(x)max=f(-k)=-2k3-k,f(x)min=f(k)=k.
