1、数学试题(理工农医类)(福建卷)第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013福建,理1)已知复数z的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于(). A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:由z=1+2i,得z=1-2i,故复数z对应的点(1,-2)在第四象限.2.(2013福建,理2)已知集合A=1,a,B=1,2,3,则“a=3”是“AB”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:若a=3,则
2、A=1,3B,故a=3是AB的充分条件;而若AB,则a不一定为3,当a=2时,也有AB.故a=3不是AB的必要条件.故选A.3.(2013福建,理3)双曲线x24-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于().A.25B.45C.255D.455答案:C解析:双曲线x24-y2=1的顶点为(2,0),渐近线方程为y=12x,即x-2y=0和x+2y=0.故其顶点到渐近线的距离d=|2|1+4=25=255.4.(2013福建,理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100加以统计,得到如图所
3、示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为().A.588B.480C.450D.120答案:B解析:由频率分布直方图知4060分的频率为(0.005+0.015)10=0.2,故估计不少于60分的学生人数为600(1-0.2)=480.5.(2013福建,理5)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为().A.14B.13C.12D.10答案:B解析:a=0时,方程变为2x+b=0,则b为-1,0,1,2都有解;a0时,若方程ax2+2x+b=0有实数解,则=22-4ab0,即a
4、b1.当a=-1时,b可取-1,0,1,2.当a=1时,b可取-1,0,1.当a=2时,b可取-1,0,故满足条件的有序对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.6.(2013福建,理6)阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是().A.计算数列2n-1的前10项和B.计算数列2n-1的前9项和C.计算数列2n-1的前10项和D.计算数列2n-1的前9项和答案:A解析:当k=10时,执行程序框图如下:S=0,i=1;S=1,i=2;S=1+2,i=3;S=1+2+22,i=4;S=1+2+22+28,i=10;S=1+2+22+29,i=11.7.(2013福建,理7)在四边
5、形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为().A.5B.25C.5D.10答案:C解析:ACBD=1(-4)+22=0,ACBD.又|AC|=1+22=5,|BD|=(-4)2+22=16+4=25,S四边形ABCD=12|AC|BD|=5.8.(2013福建,理8)设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是().A.xR,f(x)f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案:D解析:选项A,由极大值的定义知错误;对于选项B,函数f(x)与f(-x)的图象
6、关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点,故不正确;对于C选项,函数f(x)与-f(x)图象关于x轴对称,x0应是-f(x)的极小值点,故不正确;而对于选项D,函数f(x)与-f(-x)的图象关于原点成中心对称,故正确.9.(2013福建,理9)已知等比数列an的公比为q,记bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m(m,nN*),则以下结论一定正确的是().A.数列bn为等差数列,公差为qmB.数列bn为等比数列,公比为q2mC.数列cn为等比数列,公比为qm2D.数列cn为等比数列,公比为qmm答案:C
7、解析:an是等比数列,amn+mam(n-1)+m=qmn+m-m(n-1)-m=qm,cn+1cn=amn+1amn+2amn+mam(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m=(qm)m=qm2.10.(2013福建,理10)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(1)T=f(x)|xS;(2)对任意x1,x2S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是().A.A=N*,B=NB.A=x|-1x3,B=x|x=-8或0x10C.A=x|0x1,B=RD.A=Z,B=Q答案:D解析:由题意
8、(1)可知,S为函数y=f(x)的定义域,T为函数y=f(x)的值域.由(2)可知,函数y=f(x)在定义域内单调递增,对于A,可构造函数y=x-1,xN*,yN,满足条件;对于B,构造函数y=-8,x=-1,52(x+1),-10”发生的概率为.答案:23解析:由3a-10得a13,由几何概型知P=1-131=23.12.(2013福建,理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.答案:12解析:由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体,球的直径2r=22+22+22=12,所以
9、r=3,故该球的表面积为S球=4r2=43=12.13.(2013福建,理13)如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为.答案:3解析:ADAC,DAC=2.sinBAC=223,sinBAD+2=223,cosBAD=223.由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=(32)2+32-2323223=3.BD=3.14.(2013福建,理14)椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于
10、.答案:3-1解析:由直线y=3(x+c)知其倾斜角为60,由题意知MF1F2=60,则MF2F1=30,F1MF2=90.故|MF1|=c,|MF2|=3c.又|MF1|+|MF2|=2a,(3+1)c=2a,即e=23+1=3-1.15.(2013福建,理15)当xR,|x|E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X3”的事件为A,则事件A包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两两互斥的事件,因为P(X=0)=1-231-25=15,P(X=2
11、)=231-25=25,P(X=3)=1-2325=215,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=1115,即这2人的累计得分X3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:X1024P194949X2036P9251225425所以E(X1)=019+249+449=83,E(X2)=0925+31225+6425=125.因为E(X1)E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.17.(2013福建,理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)=x-aln x
12、(aR).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1-ax.(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f(x)=1-2x(x0),因而f(1)=1,f(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f(x)=1-ax=x-ax,x0知:当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f(x)=0,解得x=a.又当x(0,a)时,f(x)0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且
13、极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.18.(2013福建,理18)(本小题满分13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9.连结OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9).(1)求证:点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若OCM与OCN的面积比为41,求直
14、线l的方程.解法一:(1)依题意,过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=i10x.设Pi的坐标为(x,y),由x=i,y=i10x,得y=110x2,即x2=10y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由y=kx+10,x2=10y,得x2-10kx-100=0,此时=100k2+4000,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=10k,x1x2=-100,因为SO
15、CM=4SOCN,所以|x1|=4|x2|.又x1x20).(1)求证:CD平面ADD1A1;(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67,求k的值;(3)现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱.规定:若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的解析式.(直接写出答案,不必说明理由).解:(1)取CD的中点E,连结BE.ABDE,AB=DE=3k,四边形ABED为平行四边形,BEAD且BE=AD=4k.在BCE中,BE=4k,
16、CE=3k,BC=5k,BE2+CE2=BC2,BEC=90,即BECD,又BEAD,CDAD.AA1平面ABCD,CD平面ABCD,AA1CD.又AA1AD=A,CD平面ADD1A1.(2)以D为原点,DA,DC,DD1的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1),所以AC=(-4k,6k,0),AB1=(0,3k,1),AA1=(0,0,1).设平面AB1C的法向量n=(x,y,z),则由ACn=0,AB1n=0,得-4kx+6ky=0,3ky+z=0.取y=2,得n=(3,2,-6k).设
17、AA1与平面AB1C所成角为,则sin =|cos|=AA1n|AA1|n|=6k36k2+13=67,解得k=1,故所求k的值为1.(3)共有4种不同的方案.f(k)=72k2+26k,0518.20.(2013福建,理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=sin(x+)(0,00,得=2T=2.又曲线y=f(x)的一个对称中心为4,0,(0,),故f4=sin24+=0,得=2,所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cos x的图象向右平移2个单位长度后得到函数g(x)=cosx-2的图象,所以
18、g(x)=sin x.(2)当x6,4时,12sin x22,0cos 2xcos 2xsin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在6,4内是否有解.设G(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x6,4,则G(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x6,4,所以G(x)0,G(x)在6,4内单调递增.又G6=-140,且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在6,4内存在唯一零点x0,即存在唯一的x06,4满足题意.(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=
19、asin x+cos 2x=0.当sin x=0,即x=k(kZ)时,cos 2x=1,从而x=k(kZ)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a=-cos2xsinx,xk(kZ).现研究x(0,)(,2)时方程a=-cos2xsinx的解的情况.令h(x)=-cos2xsinx,x(0,)(,2),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),x(0,)(,2)的交点情况.h(x)=cosx(2sin2x+1)sin2x,令h(x)=0,得x=2或x=32.当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x0,222,323232,2h(x)+0-0+h(x)1-
20、1当x0且x趋近于0时,h(x)趋向于-,当x且x趋近于时,h(x)趋向于+,当x1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内无交点,在(,2)内有2个交点;当a-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内无交点;当-1a0,p(-1)=-a-1,p(1)=a-1.当a1时,函数p(t)有一个零点t1(-1,0)(另一个零点t21,舍去),F(x)在(0,2上有两个零点x1,x2,且x1,x2(,2);当a-1时,函数p(t)有一个零点t1(0,1)(另一个零点t2-1,舍去),F(x)在(0,2上有两个零点x1,x2,且x1,x2(0,);当-1a1时,函数p(
21、t)有一个零点t1(-1,0),另一个零点t2(0,1),F(x)在(0,)和(,2)分别有两个零点.由正弦函数的周期性,可知当a1时,函数F(x)在(0,n)内总有偶数个零点,从而不存在正整数n满足题意.当a=1时,函数p(t)有一个零点t1(-1,0),另一个零点t2=1;当a=-1时,函数p(t)有一个零点t1=-1,另一个零点t2(0,1),从而当a=1或a=-1时,函数F(x)在(0,2有3个零点.由正弦函数的周期性,2 013=3671,所以依题意得n=6712=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n)内
22、恰有2 013个零点.21.(2013福建,理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修42:矩阵与变换已知直线l:ax+y=1在矩阵A=1201对应的变换作用下变为直线l:x+by=1.求实数a,b的值;若点P(x0,y0)在直线l上,且Ax0y0=x0y0,求点P的坐标.(2)(本小题满分7分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点
23、A的极坐标为2,4,直线l的极坐标方程为cos-4=a,且点A在直线l上.求a的值及直线l的直角坐标方程;圆C的参数方程为x=1+cos,y=sin(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.(3)(本小题满分7分)选修45:不等式选讲设不等式|x-2|a(aN*)的解集为A,且32A,12A.求a的值;求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.(1)选修42:矩阵与变换解:设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x,y).由xy=1201xy=x+2yy,得x=x+2y,y=y.又点M(x,y)在l上,所以x+by=1,即x+(b+2)y=1,依题意得
24、a=1,b+2=1,解得a=1,b=-1.由Ax0y0=x0y0,得x0=x0+2y0,y0=y0,解得y0=0.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.故点P的坐标为(1,0).(2)选修44:坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.解:由点A2,4在直线cos-4=a上,可得a=2.所以直线l的方程可化为cos +sin =2,从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d=12=221,所以直线l与圆C相交.(3)选修45:不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.解:因为32A,且12A,所以32-2a,且12-2a,解得12a32.又因为aN*,所以a=1.因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)0,即-1x2时取到等号.所以f(x)的最小值为3.
