1、第2节 两条直线的位置关系,最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.,知 识 梳 理,1.两条直线平行与垂直的判定,(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2_.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2_. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2_，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线_.,k1k2,平行,k1k21,垂直,2.两直线相交,相
2、交方程组有_，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组_； 重合方程组有_.,唯一解,无解,无数个解,3.距离公式,微点提醒,1.两直线平行的充要条件 直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行的充要条件是A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10). 2.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于
3、1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l1，l2有可能重合. (2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不存在. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修2P78练习2T2改编)两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为( ),答案 D,3.(必修2P79A3改编)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.,答案 1,4.(2019郑州调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m( ) A.2 B.3
4、 C.2或3 D.2或3,答案 C,5.(2018昆明诊断)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为( ),答案 C,6.(2019吉安期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是( ) A.6x4y30 B.3x2y30 C.2x3y20 D.2x3y10,答案 A,考点一 两直线的平行与垂直,【例1】 (1)(2019河北五校联考)直线l1：mx2y10，l2：x(m1)y10，则“m2”是“l1l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知三条直线2x3y10，4x3y50，mxy10不能构成三角形
5、，则实数m的取值集合为( ),解析 (1)由l1l2得m(m1)1(2)，得m2或m1，经验证，当m1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m2”是“l1l2”的充要条件.,答案 (1)C (2)D,规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.,【训练1】 (一题多解)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210. (1)当l1l2时，求a的值； (2)当l1l2时，求a
6、的值.,解 (1)法一 当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2； 当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；,综上可知，a1.,(2)法一 当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不符合；,法二 l1l2，A1A2B1B20，,考点二 两直线的交点与距离问题 【例2】 (1)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程为_. (2)(2019广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_.,答案 (1)5x3y10 (2)0，10 (3)2或6,规律
7、方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. 2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.,【训练2】 (1)(2019贵阳监测)已知曲线yax(a0且a1)恒过点A(m，n)，则点A到直线xy30的距离为_. (2)(一题多解)直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_.,(2)法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x
8、1)，即kxyk20.,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.,当l过AB中点时，AB的中点为(1，4). 直线l的方程为x1. 故所求直线l的方程为x3y50或x1.,考点三 对称问题 多维探究 角度1 对称问题的求解,【例31】 若点(a，b)关于直线y2x的对称点在x轴上，则a，b满足的条件为( ) A.4a3b0 B.3a4b0 C.2a3b0 D.3a2b0,答案 A,角度2 对称问题的应用 【例32】 (一题多解)光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程.,反射点M的坐标为(1，2). 又取直线x2y50上一点P(5，
9、0)， 设P关于直线l的对称点P(x0，y0)，,根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.,代入方程x2y50中，化简得29x2y330， 所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.,规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直. 2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题. 3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上.,【训练3】 已知三角
10、形的一个顶点A(4，1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：xy10和l2：x10，则BC边所在直线的方程为_.,解析 A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线所在直线.点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上.,所以A1(0，3).同理设A2(x2，y2)，易求得A2(2，1). 所以BC边所在直线方程为2xy30. 答案 2xy30,思维升华 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注
11、意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. 易错防范 1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.,数学抽象活用直线系方程,1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一. 2.直线系方程的常见类型 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2)平行于已知直
12、线AxByC0的直线系方程是：AxBy0(是参数且C)； (3)垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)； (4)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括l2).,类型1 相交直线系方程 【例1】 (一题多解)已知两条直线l1：x2y40和l2：xy20的交点为P，求过点P且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.,法二 设所求l的直线为：4x3yc0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c6，所以直线l的方程为4x3y60. 法三 设所求直线l的方程为：x2y4(
13、xy2)0，即(1)x(2)y420，因为直线l与l3垂直，所以3(1)4(2)0，所以11，所以直线l的方程为4x3y60.,类型2 平行直线系方程 【例2】 求过点A(1，4)且与直线2x3y50平行的直线方程.,解 设所求直线方程为2x3yc0(c5)，由题意知，213(4)c0，所以c10，故所求直线方程为2x3y100.,【例3】 已知直线l1与直线l2：x3y60平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.,【例4】 (一题多解)已知直线方程3x4y70，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.,类型3 垂直直线系方程 【例5】 求经过A(2
14、，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.,解 因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yc0， 又直线过点A(2，1)， 所以有221c0，解得c0， 即所求直线方程为x2y0.,类型4 直线系方程的应用 【例6】 已知三角形三边所在的直线方程分别为：2xy40，xy70，2x7y140，求边2x7y140上的高所在的直线方程.,解 设所求高所在的直线方程为2xy4(xy7)0， 即(2)x(1)y(47)0，,所以所求高所在的直线方程为7x2y190.,【例7】 求过直线2x7y40与7x21y10的交点，且和A(3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.,解 设所求直线方程为2x7y4(7x21y1)0， 即(27)x(721)y(4)0， 由点A(3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得,所以所求的直线方程为21x28y130或x1.,
