1、第3节 圆与圆的方程,最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.,知 识 梳 理,1.圆的定义和圆的方程,定点,定长,D2E24F0,2.点与圆的位置关系,平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系： (1)|MC|rM在_，即(x0a)2(y0b)2r2M在_； (2)|MC|rM在_ ，即(x0a)2(y0b)2r2M在_； (3)|MC|rM在_ ，即(x0a)2(y0b)2r2M在_.,圆外,圆上,圆内,微点提醒,1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2y2r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x
2、x1)(xx2)(yy1)(yy2)0.,圆外,圆上,圆内,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.( ) (3)方程x2y24mx2y5m0表示圆.( ) (4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.( ),解析 (2)当a0时，x2y2a2表示点(0，0)；当a0时，表示半径为|a|的圆.,答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修2P82练习1改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是( ),答案 D,3.(必修2P82练习2
3、改编)过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是( ) A.(x3)2(y1)24 B.(x3)2(y1)24 C.(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24 解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线xy20上，所以b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1，b1.所以r2.所以方程为(x1)2(y1)24. 答案 C,4.(2018汉中调研)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是( ) A.(1，1) B.(0，1) C.(，1)(1，) D.a1 解析 因为点(
4、1，1)在圆的内部， 所以(1a)2(1a)24，所以1a1. 答案 A,5.(2019荆州模拟)若圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则k的值是( ) A.2 B.2 C.1 D.1 解析 由题意知直线ykx3过圆心(1，1)， 即1k3，解得k2. 答案 B,6.(2016浙江卷)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.,解析 由已知方程表示圆，则a2a2， 解得a2或a1. 当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a1时，原方程为x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆
5、. 答案 (2，4) 5,考点一 圆的方程,【例1】 (1)(一题多解)(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_.,(2)法一 所求圆的圆心在直线xy0上，设所求圆的圆心为(a，a).,圆C的方程为(x1)2(y1)22.,由于所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2. 又圆心在直线xy0上，ab0.,故圆C的方程为(x1)2(y1)22.,法三 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，,即(DE)22(D2E24F)，D2E22DE8F0.,故所求圆的方程为x2y22x2y0， 即(x1)2(y1)22. 答案 (1)x2y22x0 (2)
6、(x1)2(y1)22,规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.,(2)(2018九江模拟)已知圆M与直线xy0及xy40都相切，且圆心在直线yx2上，则圆M的标准方程为_.,又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0，1)，从而n4. 故圆C的标准方程为x2(y1)24.,(2)圆M的圆心在yx2上， 设圆心为(
7、a，2a)， 圆M与直线xy0及xy40都相切， 圆心到直线xy0的距离等于圆心到直线xy40的距离，,圆M的标准方程为x2(y2)22. 答案 (1)x2(y1)24 (2)x2(y2)22,考点二 与圆有关的最值问题 多维探究 角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题 【例21】 已知实数x，y满足方程x2y24x10.,(2)求yx的最大值和最小值； (3)求x2y2的最大值和最小值.,(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).,规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以
8、及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：,(2)形如maxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.,角度2 利用对称性求最值 【例22】 已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为( ),答案 A,规律方法 求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的
9、两线段之和，一般要通过对称性解决.,(2)已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_.,设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，,连接AC交圆C于Q，由对称性可知,考点三 与圆有关的轨迹问题 【例3】 已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.,解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y). 因为P点在圆x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24. 故线段A
10、P中点的轨迹方程为(x1)2y21(x2).,(2)设PQ的中点为N(x，y). 在RtPBQ中，|PN|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.,规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.,【训练3】 已知过原点的动直线l与
11、圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标； (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.,解 (1)由x2y26x50得(x3)2y24， 所以圆C1的圆心坐标为(3，0). (2)设M(x，y)， 因为点M为线段AB的中点， 所以C1MAB，所以kC1MkAB1，,又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立， 消去y得：(1k2)x26x50.,思维升华 1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算. 易错防范 1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. 2.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.,
