1、学习通数学的奥秘：本质与思维习题（含答案）第1章问题：弦理论认为宇宙是（）维的。答案：11问题：（）年，海王星被发现。答案：1846年问题：（）解决了相对论和量子力学之间的矛盾。答案：弦理论问题：在素质教育中，数学是最重要的载体。（）答案：正确问题：我们称天王星是“笔尖上发现的行星”。（）答案：错误第2章问题：（）是孪生数对。答案：（17，19）问题：美国总统（）喜欢通过学习几何学来训练自己的推理和表达能力。答案：林肯问题：（）写了几何原本杂论。答案：徐光启问题：紧贴赤道围着地球做一个环形的箍，若将这个箍加长一米，则小老鼠不可以从箍和地面的间隙中通过。（）答案：错误第3章问题：七桥问题解决的同
2、时，开创的数学分支是（）。答案：图论与拓扑学问题：汉字（）可以一笔不重复的写出。答案：日问题：偶数和正整数哪个数量更多？（）答案：一样多问题：学习数学的最重要的目的是锻炼自己的数学抽象能力。（）答案：正确问题：穷竭法的思想来源于欧多克索斯。（）答案：正确第4章问题：（）用穷竭法证明了圆的面积与圆的直径的平方成正比。答案：欧多克索斯问题：阿基米德首先得到的成果是（）。答案：抛物线弓形的面积问题：从中国古代割圆术中可以看出（）思想的萌芽。答案：极限问题：欧多克索斯解决了圆的面积求法的问题。（）答案：错误第5章问题：17世纪，由于（）的大力发展刺激了微分学的发展。答案：天文学和力学问题：一个点和一个
3、（）决定了曲线的切线。答案：斜率问题：非均匀运动的速度和曲线切线的斜率都属于微分学问题。（）答案：正确问题：圆的面积和曲线切线的斜率以及非均匀运动的速度等问题都可归结为和式的极限。（）答案：错误第6章问题：康托尔创立的（）理论是实数以至整个微积分理论体系的基础。答案：集合论问题：下列具有完备性的数集是（）。答案：实数集问题：下列表明有理数集不完备的例子是？（）答案：问题：极限是微积分的基本思想。（）答案：正确第7章问题：微积分的创立阶段的时间是在（）。答案：17世纪初问题：（）开创了分析算术化运动。答案：魏尔斯特拉斯问题：积分学的雏形阶段的代表人物包括（）。答案：欧多克索斯#阿基米德#刘徽问题
4、：欧拉被认为是近代微积分学的奠基者。（）答案：错误问题：费马为微积分的严格化做出了卓越的贡献。（）答案：错误第8章问题：当今世界上最常用的数系是（）。答案：十进制问题：现代通常用（）来记巨大或巨小的数。答案：科学记数法问题：（）是自然数的本质属性。答案：相继性第9章问题：希尔伯特旅馆的故事告诉我们（）。答案：自然数与奇数一样多问题：下列集合与自然数集对等的是（）。答案：奇数集#偶数集#有理数集问题：下列集合与区间0，1不对等的是（）。答案：奇数集#偶数集#有理数集问题：在无穷的世界中，一个集合的真子集和集合本身对等。（）答案：正确问题：希尔伯特旅馆的故事诠释了无穷和有限的区别。（）答案：正确第
5、10章问题：康托尔的实数的定义反应了实数（）的性质。答案：完备性问题：数学家（）建立了实数系统一基础。答案：戴德金问题：如下关于有理数，无理数，实数的之间的关系说法不正确的是？（）答案：有理数，无理数都与实数对等#有理数与实数对等，无理数与实数不对等#有理数，无理数都与实数不对等问题：第一次数学危机是来源于毕达哥拉斯发现了勾股定理。（）答案：错误问题：实数可分为两种：代数数和超越数。（）答案：正确第11章问题：设A是平面上以有理点为中心有理数为半径的圆的全体集合，则该集合是（）。答案：可数集问题：下列关于集合的势的说法正确的是（）。答案：不存在势最大的集合问题：下列选项中，（）集合具有连续统。
6、答案：实数全体#无理数全体#闭区间上连续函数全体问题：可数个有限集的并集还是是可数集。（）答案：正确问题：可数集的子集还是可数集。（）答案：错误第12章问题：下列数列发散的是（）。答案：问题：下列数列收敛的的是（）。答案：问题：下列数列不是无穷小数列的是（）。答案：问题：函数极限是描述自变量变化情形下函数的变化趋势。（）答案：正确问题：数列极限是一直存在的。（）答案：错误第13章问题：下列关于 的定义不正确的是？（）答案：对任意给定的正数 ，总存在正整数 ，问题：对任意给定的 ，总存在正整数 ，当 时，恒有 是数列 收敛于 的什么条件？（）答案：充分必要条件问题：改变或增加数列 的有限项，影不
7、影响数列 的收敛性？（）答案：不影响问题：收敛数列的极限是不会发生变化的。（）答案：正确问题：收敛的数列一定是有界数列。（）答案：正确第14章问题：阿基米德生活的时代是（）。答案：公元前287-前212问题：谁首先计算出了抛物线所围弓形区域的面积？（）答案：阿基米德问题：阿基米德是怎样把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的？（）答案：先用平衡法求解面积，再用穷竭法加以证明问题：函数?(x)在x趋于0的情况下以A为极限，则A唯一。（）答案：正确问题：若?(x)在0某邻域内均有?(x)0（或?(x)0），且函数?(x)当x趋于0时极限为A，那么A0（或A0）。答案：正确问题：阿基米德应用
8、穷竭法得到弓形区域的面积。（）答案：正确问题：阿基米德利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积。（）答案：正确第15章问题：定义在区间0，1上的黎曼函数在无理点是否连续？（）答案：连续问题：下列关于函数连续不正确的是（）。答案：若 ,则 一定在点 点连续问题：函数 ， ，则 是该函数的（）？答案：可去间断点问题：函数的连续性描述属于函数的整体性质。（）答案：错误问题：函数在点不连续，则在点有定义，存在，=。（）答案：错误第16章问题：下列在闭区间 上的连续函数，一定能够在 上取到零值的是？（）答案：问题：方程 在 上是否有实根？答案：至少有1个问题：关于闭区间上连续函数，下面说法正确
9、的是？（）答案：在该区间上可以取得最大值#在该区间上可以取得最小值#在该区间上有界问题：有限个连续函数的和还是连续函数。（）答案：正确问题：连续函数的复合函数依旧为连续函数。（）答案：正确第17章问题：函数 在区间_上连续？答案：问题：方程 在 有无实根，下列说法正确的是？（）答案：至少1个问题：下列结论错误的是（）。答案：若函数?(x)在区间a,b上不连续，则该函数在a,b上无界#若函数?(x)在区间a,b上有定义，且在(a,b)内连续，则?(x)在a,b上有界#若函数?(x)在区间a,b上连续，且?(a)?(b)0，则必存在一点(a,b)，使得?()=0问题：若y=?(x+x)-?(x)，
10、则当x0时必有y0。答案：错误问题：均在处不连续，但在处不可能连续。（）答案：错误第18章问题：当（）时，变量 为无穷小量。答案：问题：设 ，则当 时（）。答案：是与 同阶但不等价的无穷小量问题：若 均为 的可微函数，求 的微分。（）答案：问题：无穷小是指一个过程，而不是一个具体的数。（）答案：正确问题：无穷小是一个常数，非常小 。（）答案：错误第19章问题：设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ，则 （）。答案：问题：已知 ，则 =（）。答案：0.1问题：设 为奇函数， 存在且为-2，则 =（）。答案：-10问题：导数反映了函数随自变量变化的快慢程度。（）答案：正确问题：导数在几何上表示在点
11、处割线的斜率。（）答案：错误第20章问题：一个圆柱体，半径是柱高的两倍，随后圆柱半径以2厘米/秒的速度减小，同时柱高以4厘米/秒的速度增高，直至柱高变为圆柱半径的两倍，在此期间圆柱的体积变化为（）。答案：先增后减问题：设 ， ，则 （）。答案：问题：求函数 （ ）的导数。（）答案：问题：任何常函数的导数都是0。（）答案：正确问题：函数在点处可导的充分必要条件在该点处左，右导数存在且不相等。（）答案：错误第21章问题：下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）.答案：问题：不求出函数 的导数，说明方程 有（）个实根。答案：3问题：方程 正根的情况，下面说法正确的是（）。答案：只有一个正根问题：
12、罗尔中值定理告诉我们：可导函数在区间内取得极值点处的切线斜率为零。（）答案：正确问题：函数 满足罗尔中值定理。答案：错误第22章问题：（）。答案：问题：设 ，下列不等式正确的是（）。答案：问题：对任意 ，不等式 成立吗？（）答案：成立问题：拉格朗日中值定理是罗尔定理的延伸，罗尔定理是拉格朗日中值定理在函数两端值相等时的特例。（）答案：正确问题：设函数 在 可导，取定 ，在区间 上用拉格朗日中值定理，有 ，使得 ，这里的 是 的函数。（）答案：错误第23章问题：求极限 。（）答案：问题：求极限 =（）。答案：1问题：求极限 =（）。答案：0问题：洛必达法则可知：若极限?(x)/g(x)不存在，则
13、极限?(x)/g(x)也不存在。()答案：错误问题：不是所有型0/0,/未定式都可以用洛必达法则来求极限。()答案：正确问题：一切型未定式都可以用洛必达法则来求极限。（）答案：错误问题：由洛必达法则知若极限 不存在，则极限 也不存在。（）答案：错误第24章问题：函数?(x)=sinx-x在零点的个数是（）。答案：1问题：函数?(x)=x-arctanx的单调性是（）。答案：在(-，)内单调递增问题：若在区间 上 ，则 或 的大小顺序为（）。答案：问题：若可导函数?(x)在区间I上单调，则其导函数?(x)也单调。（）答案：错误问题：如果函数在的某邻域内都有，则在该邻域内单调递减。（）答案：错误第
14、25章问题：求函数 的极值。（）答案：为极大值问题：求函数 的极值。（）答案：为极大值, 为极小值问题：为何值时，函数 在 处取得极值？（）答案：问题：函数?(x)在区间a,b上的最大值点必定也是极大值点。（）答案：错误问题：如果函数 在区间I上有连续的导函数，则在区间I内有这样的 ，使得 是极值的同时 又是拐点。（）答案：错误第26章问题：作半径为r的球的外切正圆锥，圆锥的高为（）时，能使圆锥的体积最小。答案：4r问题：函数 的最值情况为（）。答案：没有最值问题：求函数 的最大值，最小值。（）答案：最大值 ，最小值问题：驻点一定都是极值点。（）答案：错误问题：最值点一定就是极值点。（）答案：
15、错误第27章问题：函数 的凹凸区间为（）。答案：凸区间 ，凹区间 及问题：函数 的凹凸性为（）。答案：在 凸问题：函数 的凹凸性为（）。答案：在 凹，在 凸, 拐点问题：若可导函数?(x)在区间I的范围内是凸的，则?(x)在I的范围内单调增加（减少）。（）答案：正确问题：如果可导函数?(x)的导函数?(x)在I的范围内单调增加，则?(x)在I的范围内是凸（凹）。（）答案：正确第28章问题：函数y=lnx的凸性是（）。答案：凹函数问题：下列关于 ， （ ）的说法正确的是（）。答案：问题：设 与 是任意两个正数， ，那么关于 ， 的大小关系是（）。答案：问题：若曲线在拐点处有切线，则曲线在拐点附近
16、的弧段分别位于这条切线的两侧。（）答案：正确问题：若函数?(x)在区间I的范围上是凸的，则-?(x)在区间I内是凹（凸）。（）答案：正确第29章问题：设函数 ，其图像为（）。答案：问题：设 ，则（）.答案：是 的极小值点，且 是曲线 的拐点问题：设函数?(x)=|x(1-x)|，下列说法中不正确的是（）。答案：x=0是?(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点#x=0不是?(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点#x=0不是?(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点问题：函数的关键几何特征包括：函数的周期性，奇偶性，单调性，连续性，凹凸性等。（）答案：正
17、确问题：研究函数时，描绘函数图像来形象了解函数的主要特征，是数学研究的常用手法。（）答案：正确第30章问题：函数 在 处的 阶带拉格朗日余项的泰勒公式为（）。答案：问题：函数 在 处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式（）。答案：问题：求函数 的麦克劳林公式。（）答案：问题：泰勒公式是拉格朗日中值公式的延伸。（）答案：正确问题：函数在一点的泰勒多项式是该函数在附近的近似表达式，比起函数的一次近似，高阶泰勒多项式有更差的近似精度。()答案：错误第31章问题：在x0时，?(x)=sinx-x(1+x)是（）阶无穷小。答案：2问题：函数 在 处的三阶麦克劳林公式为（）。答案：问题：求函数 的麦克劳林公式？
18、（）答案：问题：当 时， 是几阶无穷小？（）答案：3问题：麦克劳林公式是泰勒公式在x=0展开时的特例。（）答案：正确问题：若?(x)在x=0的邻域内有n阶连续的导数，并且可以表达为n阶多项式带余项的形式，则该表达式唯一。（）答案：正确问题：泰勒公式是麦克劳林公式在时的特殊情形。（）答案：错误问题：如果在的邻域内有阶连续的导数并且可以表达为，那么该表达式不唯一。（）答案：错误第32章问题：求 的近似值，精确到 。（）答案：0.173647问题：求函数极限 。（）答案：问题：多项式 在 上有几个零点？（）答案：0问题：通常来说，若应用导数研究函数性质只涉及一阶导数，则考虑使用中值定理，若问题涉及高
19、阶导数时，则考虑泰勒展式。（）答案：正确问题：泰勒公式给出的在局部用多项式逼近函数的表达式，是计算的重要工具。（）答案：正确第33章问题：求不定积分 ？（）答案：问题：求不定积分 ？()答案：问题：求不定积分 ？（）答案：问题：一个函数若在区间内存在原函数，则该函数一定是连续函数。（）答案：错误问题：定义在区间内的连续函数存在原函数。（）答案：正确第34章问题：求不定积分 ？（）答案：问题：求不定积分 ？（）答案：问题：求不定积分 ？（）答案：问题：函数的和的不定积分也等于各个函数不定积分的和。（）答案：正确问题：求解不定积分常用的三种基本方法依次为：第一换元法，第二换元法，分部积分法。（）答
20、案：正确第35章问题：求解微分方程 ?（）答案：问题：求解微分方程 的通解？（）答案：问题：求微分方程 的形如 的解？（）答案：，问题：海王星是人们通过牛顿运动定理和万有引力定理推导出常微分方程研究天王星的运行轨道异常后才发现的。（）答案：正确问题：微分方程的通解囊括了微分方程的所有解。（）答案：错误第36章问题：（）是阿基米德生活的年代区间。答案：公元前287-前212问题：（）首先计算出了抛物线所围弓形区域的面积。答案：阿基米德问题：阿基米德是如何把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的？（）答案：先用平衡法求解面积，再用穷竭法加以证明问题：阿基米德使用穷竭法得到弓形区域的面积。（
21、）答案：正确问题：阿基米德使用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积。（）答案：正确第37章问题：微分思想与积分思想两种思想（）出现得更早。答案：积分问题：微积分主要是由（）创立的。答案：牛顿和莱布尼兹问题：现代微积分通行符号的首创者是（）。答案：莱布尼兹问题：微积分创立的初期牛顿和莱布尼兹都没能解释无穷小量和零的区别。（）答案：正确问题：微积分于十七世纪才初见端倪。（）答案：正确第38章问题：如果在 上， ，则 与 的大小（）。答案：问题：不论 的相对位置如何，比较 与 的大小？（）答案：=问题：对任意常数 ,比较 与 的大小?()答案：=问题：定义黎曼积分中的0，表示对区间a,b的
22、划分越来越细的过程。随着0，一定有小区间的个数n。反之n并不能保证0。（）答案：正确问题：区间a,b上的连续函数与只有有限个间断点的有界函数一定可积。（）答案：正确第39章问题：函数 x在区间0,1上的定积分是（）。答案：1/2问题：利用定积分计算极限 =？答案：问题：求定积分 =？（）答案：问题：设 ，则 =？（）答案：问题：牛顿-莱布尼兹公式不但为计算定积分提供了一个有效的方法，并且在理论上也把定积分与不定积分联系了起来。（）答案：正确问题：莱布尼兹公式告诉我们：如果函数f(x)在a,b上连续，还存在原函数，那么f在区间a,b上一定可积。（）答案：正确问题：积分答案：错误问题：积分答案：正
23、确第40章问题：求由抛物线 和 所围成平面图形的面积？答案：问题：求曲线 与 以及直线 和 所围成图形的面积？答案：问题：求椭圆 所围成图形的面积？答案：问题：求一曲边形的面积实际上是求一个函数的不定积分。（）答案：错误问题：初等数学一般只考虑直边形的面积。（）答案：正确第41章问题：一长为28m,质量为20kg的均匀链条被悬挂于一建筑物的顶部，问需要做（）功能把这一链条全部拉上建筑物的顶部。答案：2744(J)问题：一水平横放的半径为R的圆桶，内盛半桶密度为的液体,求桶的一个端面所受的侧压力?答案：问题：设有一长度为l，线密度为的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M.式计算该
24、棒对质点的引力？答案：问题：微元分析法的思想即以直代曲和舍弃高阶无穷小量方法，即用“不变代变”思想。（）答案：正确问题：微元分析法是处理面积，体积，功等具有可加性问题的重要思想方法。（）答案：正确第42章问题：求椭圆绕轴旋转所得旋转体的体积？答案：问题：以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积?答案：问题：求由内摆线(星形线) 绕x轴旋转所成的旋转体的体积?答案：问题：用一元函数的定积分能够计算旋转体的体积。（）答案：正确问题：设由连续曲线及直线所围成的曲边形绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为。答案：错误第43章问题：心形线=(1+cos)的周长是（）。答案：8问题：求星形线 的全
25、长？（）答案：问题：求阿基米德螺线 上从 到 一段的弧长？（）答案：问题：如果曲线为，则弧长大于。（）答案：错误问题：若曲线为，则弧长大于。（）答案：错误第44章问题：求反常积分 =？答案：问题：求无穷积分 =？（）答案：问题：求积分 =？答案：-1问题：当?(x)在有界区间I上存在多个瑕点时，?(x)在I上的反常积分可以按常见的方式处理。如，可设?(x)是区间a,b上的连续函数，点a,b都是瑕点，则可以任意取定c(a,b)，如果在区间a,c和c,b上的反常积分同时收敛，那么在区间a,b上的反常积分也收敛。答案：正确问题：算式 。答案：错误问题：当在有界区间上存在多个瑕点时，在上的反常积分可以
26、按常见的方式处理：例如，设是区间上的连续函数，点都是瑕点，那么可以任意取定，如果反常积分同时收敛，则反常积分发散。（）答案：错误第45章问题：如果你去登山，上午6点从山脚出发，一路上走走停停，直到中午12点才到山顶。然后你决定住宿一晚。第二天上午8点开始下山，2个小时之后到了山脚。问：是否存在某一时刻，使得你昨天和今天在同一高度。（）答案：有问题：慢慢搅动的咖啡，当它再次静止时，是否咖啡中有一点在搅拌前后位置相同？（）答案：有问题：如果你正在一个圆形的公园里游玩，手里的公园地图掉在了地上，此时你能否在地图上找到一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置？（）答案：有问题：设为维单
27、位闭球，是连续映射，则不存在一点，使得。答案：错误问题：设为的有界闭区间,是从射到内的连续映射，则不存在一点，使得。答案：错误第46章问题：下列（）体现了压缩映射的思想。答案：合影拍照问题：定义在区间0，1上的连续函数空间是（）维的。答案：无穷维问题：函数 在实数域上的不动点是什么？（）答案：-2问题：任意维赋范线性空间中的有界无穷集合一定有收敛子列。（）答案：错误问题：有限维赋范线性空间中的有界无穷集合一定有收敛子列。（）答案：正确第47章问题：电影“a beautiful mind”中男主人公的原型是一位经济学家，同时又是一位大数学家，他是（）。答案：J.F. Nash问题：美籍法裔经济学
28、家G.Debreu由于（）贡献而获得了1983年的诺贝尔经济学奖。答案：运用不动点理论进一步发展了一般均衡理论问题：Debreu在解决一般均衡理论过程中所用到的Debreu-Gale-Nikaido定理与Brouwer定理的关系是（）。答案：等价问题：至今为止，共有50位经济学家获得了诺贝尔经济学奖。（）答案：错误问题：1968年，为庆祝瑞典建行300年，它以诺贝尔的名义颁发经济学奖。（）答案：正确第48章问题：求幂级数 的收敛区间？（）答案：问题：求幂级数 的和函数？答案：问题：设幂级数 在 处收敛，则此级数在 处？答案：绝对收敛问题：幂级数和它逐项求导后的级数以及逐项积分后的级数具有相同的
29、收敛半径，但未必具有相同的收敛区间。（）答案：正确问题：设幂级数 和 的收敛半径分别为 ,则和级数 = + 的收敛半径 .答案：错误第49章问题：下列著作（）可视为调和分析的发端。答案：热的解析理论问题：函数 在 上连续，那么它的Fourier级数用复形式表达就是 ,问其中Fourier系数 的表达式是？答案：问题：式子 （其中 ）的值是什么？答案：0问题：Fourier的工作使得对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。（）答案：正确问题：1822年Fourier发表了热的解析理论。（）答案：正确第50章问题：不完全性定理是由（）建立的。答案：哥德尔问题：关于数学危机，下列说法正确的是？（）答
30、案：第一次数学危机是无理数的发现，芝诺提出了著名的悖论，把无限性，连续性概念所遭遇的困难，通过悖论揭示出来。#第二次数学危机是微积分刚刚诞生，人们发现牛顿，莱布尼兹在微积分中的不严格之处，尤其关于无穷小量是否是0的问题引起争论。#第三次数学危机是在1902罗素提出了罗素悖论，引起了数学上的又一次争论，动摇了集合论的基础。问题：下列选项中，（）是产生悖论的根源。答案：构成悖论的命题或者语句中隐藏着利用恶性循环定义的概念#如利用康托尔朴素的集合论的概括原则构成集合#无限概念的参与问题：康托尔最大基数悖论与罗素悖论的共同特征是：自指性。（）答案：正确问题：希尔伯特认为一些悖论是由于自然语言表达语义内容造成的。为了克服悖论之苦，他希望可以发现一个形式系统，在其中每一个数学真理都可翻译成一个定理，反之，每一个定理都可翻译成一个数学真理。这样的系统称完全的。（）答案：正确第51章
