常用的巧算和速算方法1.doc

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1、常用的巧算和速算方法【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大数学家高斯(德国)小时候就做过的“百数求和”题,可以计算为所以,123499100=1011002=5050。又如,计算“3+5+7+97+99=?”,可以计算为所以,3+5797+99=(993)492= 2499。这种算法的思路,见于书籍中最早的是我国古代的张丘建算经。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题:“今有女子不善织,日减功,迟。初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。问织几何?”题目的意思是:有位妇女不善于织布,她每天织的布都比上一天减少一些,并且减少的数量都相等。她第一天织了5 尺

2、布,最后一天织了1 尺,一共织了30 天。问她一共织了多少布?张丘建在算经上给出的解法是:“并初末日织尺数,半之,余以乘织讫日数,即得。”“答曰:二匹一丈”。这一解法,用现代的算式表达,就是1 匹=4 丈,1 丈=10 尺,90 尺=9 丈=2 匹1 丈。(答略)张丘建这一解法的思路,据推测为:如果把这妇女从第一天直到第30 天所织的布都加起来,算式就是51在这一算式中,每一个往后加的加数,都会比它前一个紧挨着它的加数,要递减一个相同的数,而这一递减的数不会是个整数。若把这个式子反过来,则算式便是1+5此时,每一个往后的加数,就都会比它前一个紧挨着它的加数,要递增一个相同的数。同样,这一递增的

3、相同的数,也不是一个整数。假若把上面这两个式子相加,并在相加时,利用“对应的数相加和会相等”这一特点,那么,就会出现下面的式子:所以,加得的结果是630=180(尺)但这妇女用30 天织的布没有180 尺,而只有180 尺布的一半。所以,这妇女30 天织的布是1802=90(尺)可见,这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。【分组计算】一些看似很难计算的题目,采用“分组计算”的方法,往往可以使它很快地解答出来。例如求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和。这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”,而不是“10 亿个自然数之和”。什么是“数字之和”?例如,求1 到12 这12 个自然数的数字之

4、和,算式是12345+6+78+9+10+1+1+1+12=5l。显然,10 亿个自然数的数字之和,如果一个一个地相加,那是极麻烦,也极费时间(很多年都难于算出结果)的。怎么办呢?我们不妨在这10 亿个自然数的前面添上一个“0”,改变数字的个数,但不会改变计算的结果。然后,将它们两两分组:0 和999,999,999;1 和999,999,998;2 和999,999,997;3 和999,999,996;4 和999,999,995;5 和999,999, 994; 依次类推,可知除最后一个数,1,000,000,000 以外,其他的自然数与添上的0 共10 亿个数,共可以分为5 亿组,各组

5、数字之和都是81,如0+9+9+9+999999=811+9+9999+9+9+98=81最后的一个数1,000,000,000 不成对,它的数字之和是1。所以,此题的计算结果是(81500,000,000)1=40,500,000,0001=40,500,000,001【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法,也是一种速算、巧算技巧。遇到有些题数目多,关系复杂时,我们可以从数目较小的特殊情况入手,研究题目特点,找出一般规律,再推出题目的结果。例如:(1) 计算下面方阵中所有的数的和。这是个“100100”的大方阵,数目很多,关系较为复杂。不妨先化大为小,再由小推大。先观察“55”的方阵,如

6、下图(图4.1)所示。容易看到,对角线上五个“5”之和为25。这时,如果将对角线下面的部分(右下部分)用剪刀剪开,如图4.2 那样拼接,那么将会发现,这五个斜行,每行数之和都是25。所以,“55”方阵的所有数之和为255=125,即53=125。于是,很容易推出大的数阵“100100”的方阵所有数之和为1003=1,000,000。(2)把自然数中的偶数,像图4.3 那样排成五列。最左边的叫第一列,按从左到右的顺序,其他叫第二、第三第五列。那么2002 出现在哪一列:因为从2 到2002,共有偶数20022=1001(个)。从前到后,是每8 个偶数为一组,每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、

7、五列,后四个偶数分别在第四、三、二、一列(偶数都是按由小到大的顺序)。所以,由10018=1251,可知这1001 个偶数可以分为125 组,还余1 个。故2002 应排在第二列。【凑整巧算】用“凑整方法”巧算,常常能使计算变得比较简便、快速。例如(1)99.9+11.1=(9010)+(9+1)(0.9+0.1)=111(2)9979986=(9+1)(973)(9982)=101001000=1110(3)125125125125120125125125=155125125125(120+5)125125+125-5=1258-5=1000-5=995【巧妙试商】除数是两位数的除法,可以采

8、用一些巧妙试商方法,提高计算速度。(1)用“商五法”试商。当除数(两位数)的10 倍的一半,与被除数相等(或相近)时,可以直接试商“5”。如7014=5,12525=5。当除数一次不能除尽被除数的时候,有些可以用“无除半商五”。“无除”指被除数前两位不够除,“半商五”指若被除数的前两位恰好等于(或接近)除数的一半时,则可直接商“ 5”。例如124824=52,238545=53(2)同头无除商八、九。“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指被除数前两位不够除。这时,商定在被除数高位数起的第三位上面,再直接商8 或商9。574258=99,417648=87。(3)用“商九法”试商

9、。当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数,且前三位数字临时组成的数与除数之和,大于或等于除数的10 倍时,可以一次定商为“9”。一般地说,假如被除数为m,除数为n,只有当9nm10n 时,n 除m 的商才是9。同样地,10nmn11n。这就是我们上述做法的根据。例如450849=92,648072=90。(4)用差数试商。当除数是11、12、1318 和19,被除数前两位又不够除的时候,可以用“差数试商法”,即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。若差数是1 或2,则初商为9;差数是3 或4,则初商为8;差数是5 或6,则初商为7;差数是7 或8,则初商是6;差数是9 时,则初

10、商为5。若不准确,只要调小1 就行了。例如147618=82(18 与14 差4,初商为8,经试除,商8正确);127817=75(17 与12 的差为5,初商为7,经试除,商7 正确)。为了便于记忆,我们可将它编成下面的口诀:差一差二商个九,差三差四八当头;差五差六初商七,差七差八先商六;差数是九五上阵,试商快速无忧愁。【恒等变形】恒等变形是一种重要的思想和方法,也是一种重要的解题技巧。它利用我们学过的知识,去进行有目的的数学变形,常常能使题目很快地获得解答。例如(1)183268=(1832-32)(68+32)=1800100=1900(2)359.7-9.9=(359.7+0.1)-(

11、9.9+O.1)=359.8-10=349.8【拆数加减】在分数加减法运算中,把一个分数拆成两个分数相减或相加,使隐含的数量关系明朗化,并抵消其中的一些分数,往往可大大地简化运算。(1) 拆成两个分数相减。例如又如(2) 拆成两个分数相加。例如又如【同分子分数加减】同分子分数的加减法,有以下的计算规律:分子相同,分母互质的两个分数相加(减)时,它们的结果是用原分母的积作分母,用原分母的和(或差)乘以这相同的分子所得的积作分子。分子相同,分母不是互质数的两个分数相加减,也可按上述规律计算,只是最后需要注意把得数约简为既约(最简)分数。例如(注意:分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。)由上

12、面的规律还可以推出,当分子都是1,分母是连续的两个自然数时,关系,我们也可以简化运算过程。例如【先借后还】“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。例如做这道题,按先通分后相加的一般办法,势必影响解题速度。现在从“凑整”着眼,采用“先借后还”的办法,很快就将题目解答出来了。【个数折半】下面的几种情况下,可以运用“个数折半”的方法,巧妙地计算出题目的得数。(1)分母相同的所有真分数相加。求分母相同的所有真分数的和,可采用“个数折半法”,即用这些分数的个数除以2,就能得出结果。这一方法,也可以叙述为分母相同的所有真分数相加,只要用最后一个分数的分子除以2,就能得出结果。(2)分母为偶数,分子

13、为奇数的所有同分母的真分数相加,也可用“个数折半法”求得数。比方(3)分母相同的所有既约真分数(最简真分数)相加,同样可用“个数折半法”求得数。比方【带分数减法】带分数减法的巧算,可用下面的两个方法。(1) 减数凑整。例如(2) 交换位置。例如在这两种方法中,第(1)种“凑整”法,也可以运用到带分数的加法中去。例如【带分数乘法】有些特殊的带分数相乘,可以采用一些特殊的巧算方法。(1)相乘的两个带分数整数部分相同,分数部分的和是1,则乘积也是个带分数,它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1 的数,分数部分是两个因数的分数部分的乘积。例如(2)相乘的两个带分数整数部分相差1,分数部分和为1,

14、则积也是个带分数,它用较大数的整数部分的平方,减去分数部分的平方,所得的差就是这两个带分数的乘积。例如(注:这是根据“(ab)(a-b)=a2-b2”推出来的。)(3)相乘的两个带分数,整数部分都是1,分子也都是1,分母相差1,则乘积也是个带分数。这个带分数的整数部分是1,分子是2,分母与较大因数的分母相同。例如读者自己去试一试,此处略)。【两分数相除】有些分数相除,可以采用以下的巧算方法:(1)分子、分母分别相除。在个别情况下,分数除法可沿用整数除法的做法:用分子相除的商作分子,用分母相除的商作分母。不过,这只有在被除数的分子、分母,分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下,计算才比较简便。

15、例如(2)分母相除,一次得商。在两个带分数相除的算式中,当被除数和除数的整数与分母调换了位置,而它们的分子又相同时,根据分数除法法则,只要用原除数的分母除以被除数的分母,所得的数就是它们的商。例如(注:用除法法则可以推出这种方法,此处略。)小数的速算与巧算凑整【知识精要】凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。用的时候主要看末位。但是小数计算中“小数点”一定要对齐。【例题精讲】凑整法例1、 计算5.6+2.38+4.4+0.62。【分析】5.6 与4.4 刚好凑成10,2.38 与0.62 刚好凑成3,这样先凑整运算起来会更加简便。【解答】原式=(5.6+4.4)+(2.38+0.62)=

16、10+3=13【评注】凑整,特别是“凑十”、“凑百”等,是加减法速算的重要方法。例2、计算:1.999+19.99+199.9+1999。【分析】因为小数计算起来容易出错。刚好1999 接近整千数2000,其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。再把多加的那部分减去。【解答】 1.999+19.99+199.9+1999=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.111=2220.889【评注】所谓的凑整,就是两个或三个数结合相加,刚好凑成整十整百,我们也可以引申为读整法,譬如此题。“1.999”刚好与“2”相差0.001,因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。但是,一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。“多减的”要“加上”!_10

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