1、江苏省启东市2020届高三下学期期初考试数学试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知全集U1，0，1，2，3，集合A1，0，1，则UA 2复数3+ii（i是虚数单位）的虚部为 3某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 4如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 5函数ylog2（4+3xx2）的定义域为 6劳动最光荣某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，
2、则恰好选中2名男生的概率为 7已知抛物线y28x的焦点恰好是双曲线x2a-y22=1(a0)的右焦点，则该双曲线的离心率为 8已知等差数列an的前n项和为Sn，若S36，S68，则S9 9已知是第二象限角，且sin=55，tan（+）2，则tan 10在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点在圆x2+y21上，若直线x+y-6=0上存在点C，使ABC是边长为1的等边三角形，则点C的横坐标是 11设m为实数，若函数f（x）x2mx2在区间（，2）上是减函数，对任意的x1，x21，m2+1，总有|f（x1）f（x2）|4，则m的取值范围为 12如图，在ABC中，ABAC2，AD=DC，DE=2EB
3、，AE的延长线交BC边于点F，若AFBC=-45，则AEAC= 13若实数x，y满足：0xy，则yy-x-2x2x+y的最小值为 14若函数f(x)=|lnx-a|-x，x0，x2+ax+1，x0恰有3个不同的零点，则a的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD平面BCC1B1，ADDB求证：（1）BC平面ADD1A1；（2）平面BCC1B1平面BDD1B116（14分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinBbsin2A（1）求角A
4、；（2）若a5，ABC的面积为23，求ABC的周长17（14分）如图1，已知正方形铁片ABCD边长为2a米，四边中点分别为E，F，G，H，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD（两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD的四边折起，使E，F，G，H四点重合，记为P点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO底面ABCD，O为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD的边长为2x米（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S；（2）请写出正四棱锥的体积V关于x的函数，并求V的最大值18（16分）已知椭圆C1：x29+y23=1，椭
5、圆C2：x2a2+y2b2=1(ab0)经过椭圆C1的左焦点F和上下顶点A，B设斜率为k的直线l与椭圆C2相切，且与椭圆C1交于P，Q两点（1）求椭圆C2的方程；（2）若OPOQ=4，求k的值；求PQ弦长最大时k的值19（16分）已知函数f(x)=2exx2+mx+2，其中0m22，e为自然对数的底数（1）当m0时，求f（x）在x0处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）f（x2）0，证明：f（x1）f（x2）120（16分）已知数列an和an2n都是等差数列，a11数列bn满足i=1n aibn+1-i=2n+1-n-2（1）求an的通
6、项公式；（2）证明：bn是等比数列；（3）是否存在首项为1，公比为q的等比数列cn，使得对任意nN*，n2，都有an1cnbn成立？若存在，求出q的取值范围；若不存在，请说明理由【附加题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-2：矩阵与变换21（10分）已知矩阵M=0ab0的一个特征值2，其对应的一个特征向量是=11求矩阵M的另一个特征值以及它的逆矩阵选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+32t，y=12t（t为参数），以坐标原点为极点
7、，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4cos0若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长选修4-5：不等式选讲23已知x1，x2，x3（0，+），且满足x1+x2+x33x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x13解答题（共2小题，满分20分）24（10分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的
8、概率分布和数学期望25（10分）对于给定正整数n，设（1x）na0+a1x+a2x2+anxn，记Sn=k=0n 1ak（1）计算S1，S2，S3，S4的值；（2）求Sn参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1【详解详析】U1，0，1，2，3，A1，0，1，UA2，3故答案为：2，32【详解详析】3+ii=(3+i)(-i)-i21-3i，复数3+ii（i是虚数单位）的虚部为3故答案为：33【详解详析】某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为
9、30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为：309001100+1000+900=9故答案为：94【详解详析】模拟程序的运行，可得S1，i0满足条件i7，执行循环体，S1，i2满足条件i7，执行循环体，S5，i4满足条件i7，执行循环体，S13，i6满足条件i7，执行循环体，S25，i8此时，不满足条件i7，退出循环，输出S的值为25故答案为：255【详解详析】由4+3xx20，得（x+1）（x4）0，即1x4函数ylog2（4+3xx2）的定义域为（1，4）故答案为：（1，4）6【详解详析】某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，基本事件总数n=C52
10、=10，恰好选中2名男生包含的基本事件个数m=C32=3，恰好选中2名男生的概率p=mn=310故答案为：3107【详解详析】抛物线y28x的焦点恰好是双曲线x2a-y22=1(a0)的右焦点，可得c2，则2=a+2，解得a2，所以该双曲线的离心率为：e=22=2故答案为：28【详解详析】由题意可得：2（86）6+S9（8），解得S936故答案为：369【详解详析】是第二象限角，且sin=55，cos=-1-sin2=-255，tan=-12，tan（+）=tan+tan1-tantan=-12+tan1-(-12)tan=-2；tan=-34故答案为：-3410【详解详析】圆x2+y21的圆
11、心为（0，0），半径为1，ABC是边长为1的等边三角形，可得四边形OACB为菱形，即有|OC|=3，由点C在直线x+y-6=0上，可设C（m，6-m），可得m2+(6-m)2=3，解得m=62，故答案为：6211【详解详析】函数f（x）x2mx2的对称轴是x=12m，则其单调减区间为（，12m，因为f（x）在区间（，2）上是减函数，所以212m，即m4则|m2-1|（12m+1）-12m|1，因此任意的x1，x21，12m+1，总有|f（x1）f（x2）|4，只需|f（12m）f（1）|4即可，即|（14m2-12m22）（1m2）|=14m2m+14，解得2m6，又m4，因此m4，6故答案为
12、：4，612【详解详析】作DGAF交BC于G；DE=2EB，FE=13DG；BF=12FG； AD=DC，DG=12AF；FGGC； 联立可得EF=16AF；AE=56AF；BF=15BC；AFBC=-45（AB+15BC）BCAB+15（AC-AB）（AB-AC）（45AB+15AC）（AB-AC）=45AB2-35ABAC-15AC2 =4522-35ABAC-1522，ABAC=83；则AEAC=56AFAC（45AB+15AC）AC=45ABAC+15AC2 =4583+1522=4415；故答案为：441513【详解详析】由0xy，则yy-x-2x2x+y=11-xy-22+yx，设
13、t=xy，则t（0，1），所以f（t）=11-t-22+1t=11-t-2t2t+1=11-t+12t+1-1，则f（t）=1(1-t)2-2(2t+1)2，令f（t）0，解得t=322-2，所以f（t）的最小值为11-322+2+132-4+1-1=6+329+32+39-1=223，即yy-x-2x2x+y的最小值是223故答案为：22314【详解详析】1）当0xea时，f（x）xlnx+a，f（x）递减，f（ea）ea0，x0时，f（x）+，f（x）在（0，ea有1个零点；2）当xea时，f（x）x+lnxa，f(x)=1-xx，ea1，即a0时，f（x）在（ea，+）上递减，f（x）f
14、（ea）ea0，即f（x）在（ea，+）没有零点；ea1，即a0时，f（x）在（ea，1）上递增，在（1，+）上递减，f（ea）ea0，f（1）a1，1a0时，f（x）在（ea，+）没有零点；当a1时，f（x）在（ea，+）有1个零点；当a1时，f（x）在（ea，+）有2个不同的零点3）当x0时，f（x）x2+ax+1，当a2时，f（x）在（，0上没有零点；当a2时，f（x）在（，0有1个零点；当a2时，f（x）在（，0有2个不同的零点综上，当a（，1）（2，+）时f（x）恰有三个不同的零点故答案为：（，1）（2，+）二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
15、字说明、证明过程或演算步骤15【解答】证明：（1）AD平面BCC1B1，AD在平面ABCD内，平面BCC1B1平面ABCDBC，ADBC，又BC不在平面平面ADD1A1内，AD在平面ADD1A1内，BC平面ADD1A1；（2）由（1）知，ADBC，因为ADDB，所以BCDB，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，BC在平面ABCD内，DD1BC，又DD1在平面BDD1B1内，DB在平面BDD1B1内，DD1DBD，BC平面BDD1B1，又BC在平面BCC1B1内，平面BCC1B1平面BDD1B116【详解详析】（1）asinBbsin2AsinAsinBsinB2sinAc
16、osA，A、B（0，），sinA0，sinB0，2cosA1，cosA=12，又A（0，），A=3；（2）A=3，SABC=12bcsinA=23，bc8，cosA=b2+c2-a22bc=12，（b+c）22bca2bcb+c7，ABC的周长为：5+71217【详解详析】（1）若正四棱锥的棱长都相等，则2x+23x2a，解得x=a1+3=3-12a所围成的正四棱锥的全面积S434（2x）2+（2x）24（3+1）x24（3+1）(3-12a)2=（23-2）a2（2）2PE+2x2a，解得PEax（0xa）OP=(a-x)2-x2=a2-2ax（0xa2）正四棱锥的体积V关于x的函数为：V=
17、13(2x)2a2-2axV2=169ax4（a2x），令f（x）x4（a2x），令f（x）4x3（a2x）2x40，解得x=2a5可得x=2a5时函数f（x）取得最大值即可得V取得最大值=43(2a5)2a2-2a2a5=165a337518【详解详析】（1）题意可知C2经过（0，3），（-6，0），所以椭圆C2的方程x26+y23=1；（2）当斜率不存在时，直线PQ方程为x=6，或x=-6，当x=6，则P(6，1)，Q(6，-1)，则OPOQ=5，显然不成立，同理当x=-6，不成立，当直线PQ的斜率存在，且不为0，设直线PQ的方程ykx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组y
18、=kx+mx26+y23=1，整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m260，116k2m24（1+2k2）（2m26）0，即m23（2k2+1），联立y=kx+mx29+y23=1，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m290，则x1+x2=-6km1+3k2，x1x2=3m2-91+3k2，由y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2-9k21+3k2，由OPOQ=x1x2+y1y2=4m2-9k2-91+3k2=4，整理得4m221k2+13，联立，解得k2=13，k的值33；由可知，|PQ|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=23(1+k2)(9k2+3-m2)(1+
19、3k2)2=6k2(1+k2)(1+3k2)2=6122k2(1+k2)(1+3k2)2612(2k2+1+k22)2(1+3k2)2=322，当且仅当2k21+k2，k21，即k1，所以|PQ|最大时k的值119【详解详析】当0m22时，x2+mx+20对xR恒成立，函数f（x）的定义域为R，且f(x)=2exx2+(m-2)x+2-m(x2+mx+2)2；（1）当m0时，f(0)=1，f(x)=2ex(x2-2x+2)(x2+2)2，则f（0）1，函数f（x）在x0处的切线方程为xy+10；（2）令f（x）0，得x2+（m2）x+2m0（*），当（m2）24（2m）（m+2）（m2）0，即
20、2m2时，又0m22，即0m2时，f（x）0，f（x）在R上递增；当0时，解得m2或m2，又0m22，即2m22，由方程（*）解得x1=2-m-m2-42，x2=2-m+m2-42，当x（，x1）（x2，+）时，f（x）0，f（x）在（，x1），（x2，+）单增；当x（x1，x2）时，f（x）0，f（x）在（x1，x2）单减；（3）证明：由（2）知，2m22，且x1+x2x1x22m，f(x1)f(x2)=2ex1x12+mx1+22ex2x22+mx2+2，xi2=(2-m)xi+m-2，i=1，2，f(x1)f(x2)=4ex1+x24x1x2+2m(x1+x2)+m2=4e2-m8-m2
21、=4e2em(8-m2)，令g(x)=4e2ex(8-x2)，2x22，则g(x)=4e2(x2+2x-8)ex(8-x2)2=4e2(x+4)(x-2)ex(8-x2)20，函数g（x）在(2，22)上单调递增，g（x）g（2）1，即证得f（x1）f（x2）120【解答】（1）解：因为an，an2n是等差数列，则2a222=a121+a323，则有2(1+d)22=1+(1+2d)23，所以3+6d+3d23+1+4d+4d2，解得d1，所以an1+（n1）1n（2）证明：因为i=1n aibn+1-i=2n+1-n-2，所以i=1n ibn+1-i=2n+1-n-2，所以bn+2bn-1+
22、3bn-2+nb1=2n+1-n-2，当nn1时，有bn-1+2bn-2+3bn-3+(n-1)b1=2n-(n-1)-2，两式相减，得bn+bn-1+bn-2+b1=2n-1，所以bn=2n-2n-1=2n-1，所以bn为等比数列，得证（3）解：由题意，知cn=qn-1，假设存在n1qn12n1，要有qn12n1，等价于(q2)n-11n-1，等价于q21（因为q0不等式恒成立故不用分类讨论），解得q2，要有n1qn1，构造函数f（x）qxx，则f（x）qxlnq1，当0q1时，f（x）0，则f（x）为减函数，因为x1，所以f（x）f（1）q10，与题要求不符，所以q1；f（x）qxlnq1
23、0，解得qx=1lnq，显然qe1/e时，f（x）0，此qxx，综上，e1/eq2【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-2：矩阵与变换21【详解详析】（1）因为特征值2对应的一个特征向量是=11，所以当2时，由（EM）0得，a-b-11=0，即+a=0-b-=0，所以ab2而矩阵M的特征多项式为f（）|EM|=1001-0ab0=-a-b=2-ab=0，所以2，即矩阵M的另一个特征值为2，矩阵M=0220（2）设矩阵M的逆矩阵为mnpq，则0220mnpq=2p2q2m2n=100
24、1，解得m0，n=12，p=12，q0，所以矩阵M的逆矩阵为M-1=012120综上，矩阵M的另一个特征值为2，逆矩阵为M-1=012120选修4-4：极坐标与参数方程22【详解详析】曲线C的极坐标方程为4cos0转化为：x2+y24x0，直线l的参数方程为x=1+32t，y=12t（t为参数）代入x2+y24x0，可得t2-3t-3=0t1+t2=3t1t2=-3|AB|=(t1+t2)2-4t1t2=15选修4-5：不等式选讲23【解答】证明：x1+x2+x33x1x2x3，1x2x3+1x1x3+1x1x2=3，x1x2+x2x3+x3x1=13(x1x2+x2x3+x3x1)(1x1x
25、2+1x2x3+1x3x1)13(1+1+1)2=3，当且仅当“x1x2x31”时取等号，故x1x2+x2x3+x3x13，即得证解答题（共2小题，满分20分）24【解答】角：（1）某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数为：m=C41C11C22+C42C21C21=28（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X0）=C42C22C52C42=660，P（X1）=
26、C41C11C22+C42C21C21C52C42=2860，P（X2）=C41C11C21C21+C42C22C52C42=2260，P（X3）=C41C11C22C52C42=460，X的概率分布为： X 0 1 2 3 P 660 2860 2260 460X的数学期望E（X）=0660+12860+22260+3460=7525【详解详析】（1）（1x）n展开后第r+1项为：Tr+1=Cnr（x）r=Cnr(-1)rxr，所以ak=Cnk（1）k，kN，S1=1a0+1a1=110，S2=1a0+1a1+1a2=1-12+1=32，S3=1a0+1a1+1a2+1a3=1-13+13-10S41-14+16-14+1=53（2）由组合数的性质可得：nk=nn-kn2k1（kN*），Sn0n2k（kN*），Sn2+(-1)n21nn216
