1、第七章电流与电路一、电流强度一、电流强度tqIdd 大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。方向：正电荷运动的方向方向：正电荷运动的方向有方向的标量。有方向的标量。单位：安培（单位：安培（A A）。）。7-1 电流密度电流密度 安培基准安培基准二、二、电流密度电流密度 jenv电流密度矢量电流密度矢量电流密度的大小等于该点电流电流密度的大小等于该点电流随截面积的变化率随截面积的变化率/dIdQjdSdSdtenvdtdSdSenvdtj电流发光电流发光neSdj电流强度与电流密度的关系为电流强度与电流密度的关系为dSIjS 电流强度就是电流密电流强度就是
2、电流密度穿过某截面的通量。度穿过某截面的通量。几种典型的电流分布几种典型的电流分布粗细均匀的粗细均匀的金属导体金属导体粗细不均匀粗细不均匀的金属导线的金属导线半球形接地电半球形接地电极附近的电流极附近的电流电流密度电流密度 几种典型的电流分布几种典型的电流分布电阻法勘探矿电阻法勘探矿藏时的电流藏时的电流同轴电缆中同轴电缆中的漏电流的漏电流电流密度电流密度 例题例题8-一铜质导线的截面积为一铜质导线的截面积为3 10-6m2，-其中通有其中通有电流电流10A。设铜线内自由电子数密度为。设铜线内自由电子数密度为8.481028m-3试估算导线中自由电子平均漂移速率的数量级。试估算导线中自由电子平均
3、漂移速率的数量级。解：解：自由电子的定向漂移速度为自由电子的定向漂移速度为 neSIv sm/)103()106.1()1048.8(1061928 sm/1046.24 虽然自由电子的平均漂移速度远小于热运动的虽然自由电子的平均漂移速度远小于热运动的平均速度平均速度(数量级数量级105m/s），但是电键一接通，以光），但是电键一接通，以光速（速（3108m/s）传播的电场就迅速地在导线中建立）传播的电场就迅速地在导线中建立起来，驱使所有的自由电子作定向漂移，因此导线起来，驱使所有的自由电子作定向漂移，因此导线中的电流几乎同时产生。中的电流几乎同时产生。电源的电动势电源的电动势 在导体内形成恒
4、定电流必须在导体内建立一个恒在导体内形成恒定电流必须在导体内建立一个恒定电场，保持两点间电势差不变。定电场，保持两点间电势差不变。把从把从B经导线到达经导线到达A的的电子重新送回电子重新送回B，就可以维，就可以维持持A、B间电势差不变。间电势差不变。完成这一过程不能依靠完成这一过程不能依靠静电力，必须有一种提供非静电力，必须有一种提供非静电力的装置，即电源。静电力的装置，即电源。电源不断消耗其它形式的能量克服静电力做功。电源不断消耗其它形式的能量克服静电力做功。AB AB内电路：内电路：电源内部正负两电源内部正负两极之间的电路。极之间的电路。外电路：外电路：电源外部正负两电源外部正负两极之间的
5、电路。极之间的电路。内外电路形成闭合电路时，正电荷由正极流出，内外电路形成闭合电路时，正电荷由正极流出，经外电路流入负极，又从负极经内电路流到正极，经外电路流入负极，又从负极经内电路流到正极，形成恒定电流，保持了电流线的闭合性。形成恒定电流，保持了电流线的闭合性。电源的电动势电源的电动势电源电动势电源电动势dwdq 电源的电动势等于把单位正电荷从负极经内电电源的电动势等于把单位正电荷从负极经内电路移动到正极时所做的功，单位为伏特。路移动到正极时所做的功，单位为伏特。电源的电动势的电源的电动势的方向方向规定：自负极经内电路指规定：自负极经内电路指向正极。向正极。电源迫使正电荷电源迫使正电荷dq从
6、负极经电源内部移动到正从负极经电源内部移动到正极所做的功为极所做的功为dw，电源的，电源的电动势电动势为为导体内恒定电场的建立导体内恒定电场的建立 电源的电动势电源的电动势恒定电场也服从场强环流定律恒定电场也服从场强环流定律0d LslE非静电力仅存在于电源内部，可以用非静电场强非静电力仅存在于电源内部，可以用非静电场强 表示。表示。kE由电源电动势定义得由电源电动势定义得lEABkd 电源外部无非静电力，则电源外部无非静电力，则lEkd 电源的电动势电源的电动势7-2 电路的基本定律电路的基本定律 一一.欧姆（欧姆（G.S.Ohm)G.S.Ohm)定律定律 jnev 根据：根据：1dUdUd
7、IjdSdSRdljE 上式称为欧姆定律的微分形式，上式称为欧姆定律的微分形式，叫做电导率。叫做电导率。设自由电子的平均漂移速为设自由电子的平均漂移速为 ，导体内某点处单位体积内的自由电导体内某点处单位体积内的自由电子数为子数为n，则电流密度，则电流密度 v欧欧 姆姆电导电导1SGRl电导的单位：西门子（电导的单位：西门子（S）电导率电导率1电导率的单位：电导率的单位：S/m欧姆（欧姆（G.S.Ohm)G.S.Ohm)定律定律 电阻基准电阻基准闭合电路的欧姆定律闭合电路的欧姆定律:IR二二.一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 电流与电动势方向相同时，取正号，反之取负电流与电动势方向相
8、同时，取正号，反之取负号。上式称为号。上式称为一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律。ABCRiR,IABCRiR,I电源放电电源放电电源充电电源充电();ABiVVIRIR()ABiVVIRIR 一段含多个电源的电路的欧姆定律一段含多个电源的电路的欧姆定律ABVVIR正负号选取规则：正负号选取规则：任意选取线积分路径方向，写出初末两端点的任意选取线积分路径方向，写出初末两端点的电势差；电流的方向与积分路径方向相同，电流取电势差；电流的方向与积分路径方向相同，电流取正号，反之为负；电动势指向与积分路径同向，电正号，反之为负；电动势指向与积分路径同向，电动势取负号，反之为正。动势取负号，反
9、之为正。一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 任意两点间的电势差等于两点间所有电源电动势任意两点间的电势差等于两点间所有电源电动势的代数和加上所有电阻上电势降落的代数和的代数和加上所有电阻上电势降落的代数和ABC2R22,iR1I1R3R2I3I11,iR33,iR例题例题8-2 在图所示的电路中，已在图所示的电路中，已知电池知电池A电动势电动势 A=24V，内电阻，内电阻RiA=2，电池，电池B电动势电动势 B=12V，内电阻内电阻RiB=1，外电阻，外电阻R=3。试计算试计算 IRB3421IIA（1）电路中的电流；）电路中的电流；（2）电池）电池A的端电压的端电压U12；（3）电
10、池）电池B的端电压的端电压U34；（4）电阻）电阻R所产生的热功率。所产生的热功率。一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 AARRRIiBiABA21231224 （2）设所选定的积分路径自）设所选定的积分路径自1经过电池经过电池A 而到而到2，应，应用一段含源电路的欧姆定律得用一段含源电路的欧姆定律得电流的指向如图中箭头所示的方向。电流的指向如图中箭头所示的方向。解：解：（1）应用闭合电路的欧姆定律得）应用闭合电路的欧姆定律得1212222420UVVIRV IRB3421IIA一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 计算结果表示计算结果表示1处的电势处的电势V1高高于于2处的
11、电势处的电势V2。现在再从现在再从1342这一积分路径来这一积分路径来计算计算1、2之间的电势差。得之间的电势差。得12122311220UVVIRV 所得结果与前相同。所得结果与前相同。IRB3421IIA一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 3434211214UVVIRV（3）设所选定的积分顺序）设所选定的积分顺序方向自方向自3经过电池经过电池B 而到而到4，仍应用一段含源电路的欧姆仍应用一段含源电路的欧姆定律得定律得IRB3421IIA一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 （4）电阻）电阻R上的热功率上的热功率 P7=I 2R=4 3W=12W。三三.基尔霍夫基尔霍夫(
12、G.R.Kirchhoff)定律定律复杂电路：复杂电路：不能化解为等效的电不能化解为等效的电阻串、并联电路的组合，含有较阻串、并联电路的组合，含有较复杂的分支和节点的电路。复杂的分支和节点的电路。复杂电路的基本方程：复杂电路的基本方程：基尔霍夫定律。基尔霍夫定律。ABC2R22,iR1I1R3R2I3I11,iR33,iR33,iR44,iR4RD基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)(G.R.Kirchhoff)定律定律基尔霍夫基尔霍夫1、基尔霍夫第一定律、基尔霍夫第一定律ABC2R22,iR1I1R3R2I3I11,iR33,iR44,iR4RD节点：节点：三条或三条以上通电导线的
13、会合点。三条或三条以上通电导线的会合点。基尔霍夫第一定律：基尔霍夫第一定律：在任一节点处，流向节点的电在任一节点处，流向节点的电流和流出节点的电流的代数和等于零。流和流出节点的电流的代数和等于零。0I基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)(G.R.Kirchhoff)定律定律2、基尔霍夫第二定律、基尔霍夫第二定律ABC2R22,iR1I1R3R2I3I11,iR33,iR44,iR4RD基尔霍夫第二定律：基尔霍夫第二定律：沿任一闭合回路回路的电势降沿任一闭合回路回路的电势降落的代数和等于落的代数和等于0。0IR 基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)(G.R.Kirchhoff
14、)定律定律应用基尔霍夫定律时的注意事项：应用基尔霍夫定律时的注意事项：（1）如果电路中有如果电路中有n个节点，那么只有个节点，那么只有(n-1)个相互个相互 独立的节点电流方程。独立的节点电流方程。（2）新选定的回路中，至少应有一段电路是已选新选定的回路中，至少应有一段电路是已选 回路中未曾出现过的。回路中未曾出现过的。（3）独立方程的个数应等于未知数的个数。独立方程的个数应等于未知数的个数。（4）每一电路上电流的方向可以任意假定，解出每一电路上电流的方向可以任意假定，解出 的结果若为负，则说明电流的方向与假定的的结果若为负，则说明电流的方向与假定的 相反。相反。基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Ki
15、rchhoff)(G.R.Kirchhoff)定律定律四四.基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用（1）惠斯通电桥）惠斯通电桥ABCADR1IR0R2I3IiR,xRD4I5IDCRKIG基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用ABCADR1IR0R2I3IiR,xRD4I5IDCRKIG应用第一定律，得节点方程组应用第一定律，得节点方程组节点节点A021 III节点节点B0153 III节点节点D0254 III基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用ABCADR1IR0R2I3IiR,xRD4I5IDCRKIG应用第二定律，得回路方程组应用第二定律，得回路方程组回路回路ADCKA：)(4
16、2RRIRIRIiDCAD 回路回路ABGDA：ADGxRIRIRI2510 回路回路BCDGB：GCDRIRIRI54030 基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用解上面六个方程组成的方程组，可以得到各电流。解上面六个方程组成的方程组，可以得到各电流。ABCADR1IR0R2I3IiR,xRD4I5IDCRKIG实验时，调节实验时，调节D的位置，使的位置，使G中电流为零，电桥平衡，中电流为零，电桥平衡，此时此时D移动至移动至O的位置。的位置。4231,IIII AOxRIRI21 OCRIRI201 代入回路方程代入回路方程得得OCAOxRRRR0 基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用
17、（2）电势差计）电势差计 电势差计是测量未知电动势的一种装置，通常电势差计是测量未知电动势的一种装置，通常也叫电位差计或电位计。也叫电位差计或电位计。ABCR1IEI 0I0DR KIGixR,节点节点A：00III 回路回路ABCDA：RIIRIRGix 则则GixRRRRII 0平衡时，平衡时，I=0，则，则RIx0 基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用比较法测量未知电动势比较法测量未知电动势ABCR1IEI 0I0DR KIGixR,接入待测电动势时，平衡时电阻为接入待测电动势时，平衡时电阻为Rx；在完全；在完全不加变动的线路中，用标准电动势代替未知电动势，不加变动的线路中，用标准电
18、动势代替未知电动势，平衡时电阻为平衡时电阻为RS，则有则有xxRI0 ssRI0 则有则有sxsxRR 基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用例题例题8-3 图表示把两个无内阻的直流电源并联起来图表示把两个无内阻的直流电源并联起来给一个负载供电，设已知电源的电动势以及各个电给一个负载供电，设已知电源的电动势以及各个电阻，试求每一电源所供给的电流阻，试求每一电源所供给的电流I1以以I2及通过负载的及通过负载的电流电流I。R1BAR2RI1I2I123 1 2基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用021 III解：解：利用基尔霍夫定律利用基尔霍夫定律来解这个问题时，可先根来解这个问题时，可先根
19、据基尔霍夫第一定律（节据基尔霍夫第一定律（节点定律）列出电流方程，点定律）列出电流方程，对节点对节点A：R1BAR2RI1I2I123 1 2由于这电路只有两个节点，所以从节点定律只能得出由于这电路只有两个节点，所以从节点定律只能得出一个独立的方程，由此对节点一个独立的方程，由此对节点B没有必要再列方程式没有必要再列方程式了。为了求出各未知电流，还需要两个方程，这两个了。为了求出各未知电流，还需要两个方程，这两个方程必须利用基尔霍夫第二定律（回路定律）列出，方程必须利用基尔霍夫第二定律（回路定律）列出，基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用221121RIRI IRRI 222 对这三个联立
20、方程求解对这三个联立方程求解对回路对回路B2A3B：RRRRRRRRRI21212121)(R1BAR2RI1I2I123 1 2RRRRRRRRRI21212112)(RRRRRRRRI212121123 对回路对回路B1A2B：基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用eeRRRRRRRRRRRI 2121212112我们可以把式（我们可以把式（6）改写为如下形式）改写为如下形式其中其中eeeeRRRRRRR ，212112 表明图中的负载表明图中的负载R就象是连接在一个电动势为就象是连接在一个电动势为 e和内阻为和内阻为Re的电源上一样。换的电源上一样。换句话说，对于负载句话说，对于负载R
21、来说，图中的两个并联电源可以用一个来说，图中的两个并联电源可以用一个“等效电源等效电源”来代替。如图所示，等效电动势和等效内阻的公来代替。如图所示，等效电动势和等效内阻的公式如上所示。式如上所示。基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用 不仅两个并联使用的电源可以用一个等效电不仅两个并联使用的电源可以用一个等效电源来代替，在分析多回路电路中某一分支电路的源来代替，在分析多回路电路中某一分支电路的电流或电压时，也可以将电路的其余部分用一个电流或电压时，也可以将电路的其余部分用一个等效电动势和一个等效内阻来代替，这就是所谓等效电动势和一个等效内阻来代替，这就是所谓的等效电源原理。的等效电源原理。R
22、1R2R 1 2ReR e基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用 再以具体的数值来讨论：再以具体的数值来讨论：（1）设已知，）设已知，1=220V，2=200V，R1=R2=10,R=45 ，则算出各电流分别为则算出各电流分别为AAI1.11000110045104510101022045200)4510(2 AAI1.31000310045104510101020045220)4510(1 AAI2.41000420045104510101020010220103 基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用 这三个电流都是正的，表明图中所假定的电这三个电流都是正的，表明图中所假定的电流方向与
23、实际的电流方向一致，这时两电源都向流方向与实际的电流方向一致，这时两电源都向负载供电。负载供电。R1BAR2RI1I2I123 1 2基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用（2）设已知）设已知 1=220V，2=220V，R1=R2=10,但但R=145 ，则算出各电流分别为则算出各电流分别为AAI7.13000510014510145101010200145220)14510(1 AAI4.1300042001451014510101020010220103 AAI3.0300090014510145101010220145200)14510(2 基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用
24、此时此时I2为负值，表明电流方向与图中所假设为负值，表明电流方向与图中所假设的方向相反，即不是从第二个电源的正极流出，的方向相反，即不是从第二个电源的正极流出，反而是从它的正极流进去。也就是说，它非但没反而是从它的正极流进去。也就是说，它非但没有向负值供电，反而要由第一个电源对它充电。有向负值供电，反而要由第一个电源对它充电。R1BAR2RI1I2I123 1 2基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用 电容器通过电阻的充放电过程称为电容器通过电阻的充放电过程称为 电路的暂电路的暂态过程。态过程。RCKIRqC 设电容器在充电前设电容器在充电前极板上的电荷量为零，极板上的电荷量为零，两极板间的
25、电势差也为两极板间的电势差也为零。在闭合电键零。在闭合电键K K使电路使电路接通的瞬时，极板上的接通的瞬时，极板上的电荷量仍为零，随着时电荷量仍为零，随着时间的增长，电荷逐渐在间的增长，电荷逐渐在极板上积累起来，两极极板上积累起来，两极板间的电势差也逐渐增板间的电势差也逐渐增大。由欧姆定律得大。由欧姆定律得CqIR7-3 7-3 电容器的充放电电容器的充放电一、一、RC电路的充电过程电路的充电过程CqIRtqIddCqtqRddRCtqCqdd分离变量tqRCtqCq00dd积分)1(RCteCq整理RCteRtqIddRC电路的暂态过程电路的暂态过程)1(RCteCqRCteRtqIdd 表
26、明：电容器在充电过程中，电容器极板上表明：电容器在充电过程中，电容器极板上的电荷量和电路中的电流的变化都和时间的指数的电荷量和电路中的电流的变化都和时间的指数函数函数 有关。有关。RCte2.04.06.08.02610Cst/mCq/ORC2.04.06.08.0103050mA/1R/RCst/ORC电路的时间常数电路的时间常数 和 随 而变化的曲线 取qItVFCR100,100,2000RC电路的暂态过程电路的暂态过程=：越大充电时间越长 设在电键设在电键K K没有接通前，没有接通前，电容器极板上的电荷量已充电容器极板上的电荷量已充电到最大值，当电键电到最大值，当电键K K闭合闭合时，
27、电容器通过电阻放电，时，电容器通过电阻放电，极板上的电荷量随时间的增极板上的电荷量随时间的增长而减小，电路中出现暂态长而减小，电路中出现暂态电流。由欧姆定律得电流。由欧姆定律得RKIRqC 0CqIRtqIdd01ddqRCtq分离变量积分RCteqqmaxRCteItqImaxddRC电路的暂态过程电路的暂态过程二、二、RC电路的放电过程：电路的放电过程：2.04.06.08.0103050mA/1maxIRCst/ORCteqqmaxRCteItqImaxdd 表明：电容器在放电过程中，电容器极板上的电表明：电容器在放电过程中，电容器极板上的电荷量和电路中的电流都从各自的最大值按指数规律衰
28、荷量和电路中的电流都从各自的最大值按指数规律衰减到零，放电的快慢由减到零，放电的快慢由 决定。决定。RC2.04.06.08.02610maxqst/mCq/ORC 和 随 而变化的曲线 取qItmCqFCR10,100,2000maxRC电路的暂态过程电路的暂态过程7-3 电容器的充放电电容器的充放电一、电容器的充电过程一、电容器的充电过程由基尔霍夫定律：由基尔霍夫定律：1k2RCRCdqidtdqURdtqUCdqqRodtCdqqCdtRC/(1)(1)t RCt RCqCeQe/(1)t RCCqUeC/t RCdqiedtR积分整理得：tqtUc ti二、电容器的放电过程：二、电容器的放电过程：RCdqidtdqURdtqUC由基尔霍夫定律：由基尔霍夫定律：dqqRodtCdqqdtRC 2R积分整理得：/t RCt RCqC eQe/t RCCqUeC/t RCdqiedtR titqtUc例：已知 、R1、R2、C，当电路达到稳态时（t），求（1)各支路电流（2）电容器上的电压.。（3）当开关到向2点则电路的放电时间常数为多少？1）ic=0 21RRiR3）=R并C22RiUURRc2）2R1 R2
