1、习题课同角三角函数的基本关系学习目标1.掌握利用同角三角函数的基本关系求值的几种类型.2.灵活运用同角三角函数的基本关系的几种变形证明恒等式一、弦切互化求值例1已知tan 4，求下列各式的值(1)sin2；(2)cos2sin2；(3)3sin cos ； (4).解(1)sin2.(2)cos2sin2.(3)3sin cos .(4).反思感悟已知tan 的值，求关于sin ，cos 齐次式的值的方法(1)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos 或cos2，将正弦、余弦转化为正切，从而求值(2)对于形如asin2bsin cos ccos2的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形
2、为sin2cos2，转化为形如的式子求值跟踪训练1已知1，求下列各式的值(1)tan ；(2)sin2sin cos 1.解(1)因为1，所以1，解得tan 1.(2)sin2sin cos 12.二、sin cos 型求值问题例2已知sin cos (0)，求sin cos 和sin cos 的值解因为sin cos (00，cos 0，所以sin cos .反思感悟已知sin cos ，sin cos 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有(1)(sin cos )212sin cos ；(2)(sin cos )212sin cos ；(3)(sin c
3、os )2(sin cos )22；(4)(sin cos )2(sin cos )24sin cos .上述三角恒等式告诉我们，若已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的任何一个，则另两个式子的值均可求出跟踪训练2若sin cos ，则tan _.答案2解析由已知得(sin cos )22，sin cos ，tan 2.三、条件恒等式的证明例3已知1，求证：1.证明设sin2Am(0m1)，sin2Bn(0n1)，则cos2A1m，cos2B1n.由1，得1，即(mn)20，mn，1nn1.反思感悟含有条件的三角恒等式证明的常用方法(1)直推法：从条件直推到结论(2)代入
4、法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明跟踪训练3已知tan22tan21，求证：sin22sin21.证明因为tan22tan21，所以tan212tan22.所以12，整理得，即cos22cos2，所以1sin22(1sin2)，即sin22sin21.1知识清单：(1)弦切互化求值(2)sin cos 型求值问题(3)条件恒等式的证明2方法归纳：整体代换法3常见误区：齐次式的化简求值容易忽略添加分母“1”1若tan 2，则的值为()A0 B. C1 D.答案B解析.2已知sin cos ，则sin
5、cos 等于()A. B C D.答案C解析由题意得(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，又sin2cos21，12sin cos ，sin cos .3已知，则等于()A. BC2 D2答案B解析因为，所以.4若2sin cos 0，则_.答案解析2sin cos 0，tan ，原式2tan2.1已知sin ，且|，则tan 等于()A B.C D.答案C解析sin ，cos21sin212，又|，即0，cos ，tan .2已知tan ，则等于()A2 B2 C3 D3答案C解析3.3已知sin cos ，则sin cos 等于()A BC. D.答案B解析sin
6、cos ，(sin cos )2，即12sin cos ，sin cos .4已知sin sin21，则cos2cos4等于()A1 B2 C. D.答案A解析因为sin sin21，所以sin 1sin2cos2，所以cos2cos4sin sin21.5已知3，则sin cos 等于()A BC. D.答案D解析因为3，所以3，解得tan 2.又因为，tan 0，所以0.sin ，cos ，所以sin cos .6(多选)已知角是锐角，若sin ，cos 是关于x的方程x2mxn0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是()Am22n10 Bmn0Cmn10 Dm24n0答案AC解
7、析sin ，cos 是关于x的方程x2mxn0的两个实数根，所以sin cos m，sin cos n，因为角是锐角，所以m0，n0，则mn0，故B错误；又(sin cos )212sin cos m2，即12nm2，所以m22n10，故A正确；而mn1m10，故C正确，因为方程有两个实根，所以m24n0，故D错误7已知asin bcos c，acos bsin d，则a2b2_c2d2(用“”“”或“”填空)答案解析右边c2d2(asin bcos )2(acos bsin )2a2(sin2cos2)b2(cos2sin2)a2b2左边8已知sin cos ，则cos sin _.答案解因
8、为，所以cos sin ，即cos sin 0，因为sin cos ，所以(cos sin )212cos sin 1，所以cos sin .9已知sin x2cos x0.(1)求2sin2xsin xcos xcos2x的值；(2)求的值解(1)由sin x2cos x0，可得tan x2，2sin2xsin xcos xcos2x.(2)联立可得sin2x，cos2x，又由(1)知tan x2，.10已知sin cos ，其中是ABC的一个内角(1)求sin cos 的值；(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由解(1)由sin cos ，可得(sin cos )2，即12
9、sin cos ，sin cos .(2)由(1)可知sin cos 0.又是ABC的一个内角，00，cos 0，0，又A为ABC的内角，sin A0，cos A0，(sin Acos A)212sin Acos A，sin Acos A.14若，sin cos ，则tan _.答案解析sin cos ，整理得(2tan 1)(tan 2)0，解得tan 或tan 2，因为，所以tan (1,0)，故tan .15已知sin ，cos 是关于x的方程3x2ax10的两根，则实数a等于()A3 B. C D答案D解析sin ，cos 是关于x的方程3x2ax10的两根，sin cos ，sin cos ，(sin cos )212sin cos .a23，即a.16已知方程8x26kx2k10的两个实根是sin 和cos .(1)求k的值；(2)求sin cos 的值解(1)由方程8x26kx2k10的两个实根是sin 和cos ，得sin cos ，sin cos .由sin 2cos21及(sin cos )2，得12sin cos ，所以12，即9k28k200，解得k2或k.当k2时，0，故舍去；当k时，满足条件所以k.(2)由(1)得sin cos ，sin cos .则(sin cos )2sin2cos22sin cos 12，所以sin cos .
