1、第第 6 节节 抛物线抛物线 最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知 识 梳 理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物 线.点 F 叫作抛物线的焦点，这条定直线 l 叫作抛物线的准线. (2)其数学表达式：M|MF|d(d 为点 M 到准线 l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y22px (p0) y2px(p0) x22py(p0) x2py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l
2、的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y0 x0 焦点 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 离心率 e1 准线 方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口 方向 向右 向左 向上 向下 微点提醒 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F p 2，0 的距离|PF|x0 p 2，也称为 抛物线的焦半径. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线
3、l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物 线.( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4，0 ，准线方程是 x a 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ) (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线 的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.( ) 解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而 非抛物线. (2)方程 yax2(a0)可化为 x21 ay，是焦点在 y 轴上的
4、抛物线，且其焦点坐标是 0， 1 4a ，准线方程是 y 1 4a. (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. (4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.(选修 21P75 练习 1 改编)顶点在原点，且过点 P(2，3)的抛物线的标准方程 是_. 解析 设抛物线的标准方程是 y2kx 或 x2my，代入点 P(2，3)，解得 k9 2， m4 3，所以 y 29 2x 或 x 24 3y. 答案 y29 2x 或 x 24 3y 3. (选修 21P76A7 改编)抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5
5、的点的个数为 _. 解析 设 P(x1，y1)，则|PF|x125，得 x13，y1 2 6.故满足条件的点的个 数为 2. 答案 2 4.(2018 黄冈联考)已知方程 y24x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线 xm 的距离为 4，则 m 的值为( ) A.5 B.3 或 5 C.2 或 6 D.6 解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，它与直线 xm 的距离为 d|m1|4， m3 或 5. 答案 B 5.(2019 福州调研)设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物 线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 解析 如图所示，抛
6、物线的准线 l 的方程为 x2，F 是抛物线的焦点，过点 P 作 PAy 轴，垂足是 A，延长 PA 交直线 l 于点 B，则|AB|2.由于点 P 到 y 轴的 距离为 4， 则点 P 到准线 l 的距离|PB|426， 所以点 P 到焦点的距离|PF|PB| 6.故选 B. 答案 B 6.(2019 榆林检测)已知抛物线方程为 y28x，若过点 Q(2，0)的直线 l 与抛物线 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_. 解析 设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k2 8)x4k20，当 k0 时，显然满足题意；当 k0 时，(4k28)24
7、k2 4k2 64(1k2)0，解得1k0 或 0k1，因此 k 的取值范围是1，1. 答案 1，1 考点一 抛物线的定义及应用 【例 1】 (1)(2019 厦门外国语模拟)已知抛物线 x22y 的焦点为 F，其上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|BF|2，则 y1x21y2x22( ) A.4 B.6 C.8 D.10 (2)(2019 豫南九校联考)若抛物线 y24x 的准线为 l，P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.13 5 C.14 5 D.3 解析 (1)由抛物线定义知|AF|y
8、11 2，|BF|y2 1 2，|AF|BF|y1y22，又 知 x212y1，x222y2，x21x222(y1y2)4，y1x21y2x22(y1y2)(x21 x22)246. (2)由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离， 由抛物线 y2 4x 及直线方程 3x4y70 可得直线与抛物线相离， 点 P 到准线 l 的距离与 点 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值为点 F(1，0)到直线 3x4y70 的距离，即 |37| 32422. 答案 (1)B (2)A 规律方法 应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与
9、到准线距离相互转化. (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离|PF|x0|p 2或|PF|y0| p 2. 【训练 1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方 程为_. (2)(2017 全国卷)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延 长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|_. 解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x. (2)如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C
10、 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P，PMOF. 由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2. 点 M 为 FN 的中点，PMOF， |MP|1 2|FO|1. 又|BP|AO|2， |MB|MP|BP|3. 由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 答案 (1)y24x (2)6 考点二 抛物线的标准方程及其性质 【例 2】 (1)抛物线 C：y24x 的焦点为 F，其准线 l 与 x 轴交于点 A，点 M 在抛 物线 C 上，当|MA| |MF| 2时，AMF 的面积为( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 2 (2)已知圆
11、 C1：x2(y2)24，抛物线 C2：y22px(p0)，C1与 C2相交于 A，B 两点，且|AB|8 5 5 ，则抛物线 C2的方程为( ) A.y28 5x B.y216 5 x C.y232 5 x D.y264 5 x 解析 (1)过 M 作 MP 垂直于准线，垂足为 P， 则|MA| |MF| 2 |MA| |MP| 1 cos AMP， 则 cos AMP 2 2 ，又 0 0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B， 交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_. (2)已知点 A(3， 0)， 过抛物线 y24x 上一点 P 的直线与直线
12、 x1 垂直相交于点 B，若|PB|PA|，则 P 的横坐标为( ) A.1 B.3 2 C.2 D.5 2 解析 (1)设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1， 由于|BC|2|BF|2|BB1|，则直线的斜率为 3， 故|AC|2|AA1|6，从而|BF|1，|AB|4， 故 p |AA1| |CF| |AC| 1 2，即 p 3 2，从而抛物线的方程为 y 23x. (2)由抛物线定义知：|PB|PF|，又|PB|PA|，所以|PA|PF|，所以 xPx AxF 2 2(PFA 为等腰三角形). 答案 (1)y23x (2)C 考点三 直线与抛物线的位置关系 多维探究 角度 1 直
13、线与抛物线的公共点(交点)问题 【例 31】 (2016 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延 长交 C 于点 H. (1)求|OH| |ON|； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得 M(0，t)，P t2 2p，t ， 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N t2 p，t ， 故直线 ON 的方程为 yp tx， 将其代入 y22px 整理得 px22t2x0， 解得 x10，x22t 2 p ，因
14、此 H 2t2 p ，2t . 所以 N 为 OH 的中点，即|OH| |ON|2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线 MH 的方程为 yt p 2tx，即 x 2t p(yt). 代入 y22px 得 y24ty4t20， 解得 y1y22t， 即直线 MH 与 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其它公共点. 角度 2 与抛物线弦长有关的问题 【例 32】 (2019 武汉调研)已知抛物线 C：x22py(p0)和定点 M(0，1)，设过 点 M 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线交点为
15、 N. (1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值； (2)若ABN 面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程. 解 (1)可设 AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将 AB 的方程代入抛物线 C，得 x22pkx2p0，显然方程有两不等实根， 则 x1x22pk，x1x22p. 又 x22py 得 yx p， 则 A，B 处的切线斜率乘积为x1x2 p2 2 p1， 则有 p2. (2)设切线 AN 为 yx1 pxb， 又切点 A 在抛物线 y x2 2p上， y1 x21 2p，b x21 2p x21 p x21 2p， 切线 AN 的方程为 yANx1 p
16、x x21 2p， 同理切线 BN 的方程为 yBNx2 px x22 2p. 又N 在 yAN和 yBN上， yx1 px x21 2p， yx2 px x22 2p， 解得 N x1x2 2 ，x1x2 2p . N(pk，1). |AB| 1k2|x2x1|1k24p2k28p， 点 N 到直线 AB 的距离 d|kx N1yN| 1k2 |pk 22| 1k2， SABN1 2 |AB| d p（pk 22）32 2p， 2 2p4，p2， 故抛物线 C 的方程为 x24y. 规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似， 一般要用到根与系数的关系. 2.有关
17、直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的 焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 【训练 3】 (2017 全国卷)已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相 垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则 |AB|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 解析 抛物线 C：y24
18、x 的焦点为 F(1，0)，由题意可知 l1，l2的斜率存在且不为 0.不妨设直线 l1的斜率为 k，则 l2直线的斜率为1 k，故 l1：yk(x1)，l2：y 1 k(x1). 由 y 24x， yk（x1），消去 y 得 k 2x2(2k24)xk20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22k 24 k2 2 4 k2， 由抛物线定义可知，|AB|x1x224 4 k2. 同理得|DE|44k2， |AB|DE|84k2 4 k282 1616. 当且仅当 1 k2k 2，即 k 1 时取等号. 故|AB|DE|的最小值为 16. 答案 A 思维升华 1.抛物线定义的实质可
19、归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F(抛物线的 焦点)，一条定直线 l(抛物线的准线)，一个定值 1(抛物线的离心率). 2.明确 p 的几何意义 焦点 F 到准线距离，简称焦准距，抛物线 y22px(p0)上的点常设为 y2 2p，y ，便 于简化计算. 3.重视抛物线的定义在解题中的应用 (1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理. (2)若 P(x0，y0)为抛物线 y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0p 2；若过焦点 的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可 由根与系数的关系整
20、体求出，若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可 由数形结合的方法类似的得到. 易错防范 1.认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 yax2(a0)与 y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为 y2 mx 或 x2my(m0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式. 数学抽象活用抛物线焦点弦的四个结论 1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针 对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结 论即为具体表现之一. 2.设 AB 是过抛物线 y22
21、px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1 x2p 2 4 . (2)y1 y2p2. (3)|AB|x1x2p 2p sin2( 是直线 AB 的倾斜角). (4) 1 |AF| 1 |BF| 2 p为定值(F 是抛物线的焦点). 【例 1】 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF| 2|BF|，则|AB|等于( ) A.4 B.9 2 C.5 D.6 一般解法易知直线 l 的斜率存在，设为 k，则其方程为 yk(x1). 由 yk（x1）， y24x 得 k2x2(2k24)xk20， 得 xA xB1， 因
22、为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得 xA12(xB1)， 即 xA2xB1， 由解得 xA2，xB1 2， 所以|AB|AF|BF|xAxBp9 2. 应用结论法一 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方， 如图设 A， B 在准线上的射 影分别为 D，C，作 BEAD 于 E， 设|BF|m，直线 l 的倾斜角为 ， 则|AB|3m， 由抛物线的定义知 |AD|AF|2m，|BC|BF|m， 所以 cos |AE| |AB| 1 3，所以 tan 2 2.则 sin 28cos2，sin28 9.又 y 24x，知 2p4，故利用弦长公式|AB| 2p sin2 9 2. 法二 因为|A
23、F|2|BF|， 1 |AF| 1 |BF| 1 2|BF| 1 |BF| 3 2|BF| 2 p1，解得|BF| 3 2，|AF| 3， 故|AB|AF|BF|9 2. 答案 B 【例 2】 设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A， B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( ) A.3 3 4 B.9 3 8 C.63 32 D.9 4 一般解法由已知得焦点坐标为 F 3 4，0 ，因此直线 AB 的方程为 y 3 3 x3 4 ， 即 4x4 3y30. 与抛物线方程联立，化简得 4y212 3y90， 故|yAyB|（yAyB）24y
24、AyB6. 因此 SOAB1 2|OF|yAyB| 1 2 3 46 9 4. 应用结论由 2p3，及|AB| 2p sin2 得|AB| 2p sin2 3 sin230 12. 原点到直线 AB 的距离 d|OF| sin 30 3 8， 故 SAOB1 2|AB| d 1 212 3 8 9 4. 答案 D 【例 3】 (2019 益阳、湘潭调研)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交 抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中点，且|AF|4，则线段 AB 的长为( ) A.5 B.6 C.16 3 D.20 3 一般解法 如图，设 l 与 x
25、轴交于点 M，过点 A 作 ADl 交 l 于点 D，由抛物线 的定义知，|AD|AF|4，由 F 是 AC 的中点，知|AD|2|MF|2p，所以 2p4， 解得 p2，所以抛物线的方程为 y24x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p 2x114，所以 x13，可得 y12 3， 所以 A(3，2 3)，又 F(1，0)，所以直线 AF 的斜率 k 2 3 31 3，所以直线 AF 的方程为 y 3(x1)，代入抛物线方程 y24x 得 3x210x30，所以 x1x2 10 3 ，|AB|x1x2p16 3 .故选 C. 应用结论法一 设 A(x1，y1)，B(x2
26、，y2)，则|AF|x1p 2x114，所以 x13， 又 x1x2p 2 4 1，所以 x21 3，所以|AB|x1x2p3 1 32 16 3 . 法二 因为 1 |AF| 1 |BF| 2 p， |AF|4， 所以|BF| 4 3， 所以|AB|AF|BF|4 4 3 16 3 . 答案 C 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.(2019 吴忠模拟)抛物线 y4x2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1 C.1 4 D.1 8 解析 由 y4x2得 x21 4y，所以 2p 1 4，p 1 8，则抛物线的焦点到准线的距离为 1 8. 答案 D 2.(2018 抚州
27、模拟)已知点 F 是抛物线 y22x 的焦点，M，N 是该抛物线上的两点， 若|MF|NF|4，则线段 MN 的中点的横坐标为( ) A.3 2 B.2 C.5 2 D.3 解析 点 F 是抛物线 y22x 的焦点，F 1 2，0 ，准线方程为 x 1 2，设 M(x1， y1)，N(x2，y2)，|MF|NF|x11 2x2 1 24，x1x23，线段 MN 中点 的横坐标为3 2. 答案 A 3.设抛物线 C：y23x 的焦点为 F，点 A 为 C 上一点，若|FA|3，则直线 FA 的倾 斜角为( ) A. 3 B. 4 C. 3或 2 3 D. 4或 3 4 解析 如图，作 AHl 于
28、 H，则|AH|FA|3，作 FEAH 于 E，则|AE|33 2 3 2，在 RtAEF 中，cosEAF |AE| |AF| 1 2，EAF 3，即直线 FA 的倾斜角为 3， 同理点 A 在 x 轴下方时，直线 FA 的倾斜角为2 3 . 答案 C 4.已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过点 F 的直线与 抛物线 C 交于 A，B 两点，若OA OB 12，则抛物线 C 的方程为( ) A.x28y B.x24y C.y28x D.y24x 解析 由题意，设抛物线方程为 y22px(p0)，直线方程为 xmyp 2，联立 y 22px， xmyp 2，
29、消去 x 得 y22pmyp20，显然方程有两个不等实根. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1y22pm， y1y2p2， 得OA OB x1x2y1y2 my1p 2 my2p 2 y1y2m2y1y2pm 2 (y1y2)p 2 4 y1y23 4p 212，得 p4(舍负)，即 抛物线 C 的方程为 y28x. 答案 C 5.(2019 河南中原联考)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，且 l 过点(2，3)，M 在抛物线 C 上，若点 N(1，2)，则|MN|MF|的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 由题意知p 22，即
30、 p4.过点 N 作准线 l 的垂线，垂足为 N，交抛物线于 点 M，则|MN|MF|，则有|MN|MF|MN|MT|MN|MN|NN|1 (2)3. 答案 B 二、填空题 6.如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米.水位下降 1 米后，水面宽_米. 解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0). 由题意将点 A(2，2)代入 x22py，得 p1，故 x22y.设 B(x，3)，代入 x22y 中，得 x 6，故水面宽为 2 6米. 答案 2 6 7.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y26x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上
31、 一点，PAl，A 为垂足.若直线 AF 的斜率 k 3，则线段 PF 的长为_. 解析 由抛物线方程为 y26x，所以焦点坐标 F 3 2，0 ，准线方程为 x 3 2，因 为直线 AF 的斜率为 3，所以直线 AF 的方程为 y 3 x3 2 ， 当 x3 2时，y3 3，所以 A 3 2，3 3 ， 因为 PAl，A 为垂足，所以点 P 的纵坐标为 3 3， 可得点 P 的坐标为 9 2，3 3 ， 根据抛物线的定义可知|PF|PA|9 2 3 2 6. 答案 6 8.已知双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x 22py(p0) 的焦点到
32、双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为_. 解析 因为双曲线 C1： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，所以 2 c a 1b 2 a2， 所以b a 3，所以渐近线方程为 3x y0，因为抛物线 C2：x 22py(p0)的焦点 为 F 0，p 2 ，所以 F 到双曲线 C1的渐近线的距离为 p 2 312，所以 p8，所以 抛物线 C2的方程为 x216y. 答案 x216y 三、解答题 9.已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)， B(x2，y2)(x10，即 m1 时，x1，22 2 m1. 从而|
33、AB| 2|x1x2|4 2（m1）. 由题设知|AB|2|MN|，即 4 2（m1）2(m1)， 解得 m7. 所以直线 AB 的方程为 xy70. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2019 合肥一模)抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A，B 是抛物线上的两个动点， |AF|BF|2 3 3 |AB|，则AFB 的最大值为( ) A. 3 B.3 4 C.5 6 D.2 3 解析 设|AF|m，|BF|n， |AF|BF|2 3 3 |AB|， 2 3 3 |AB|2 mn，mn1 3|AB| 2， 在AFB 中，由余弦定理得 cos AFBm 2n2|AB|2 2mn （
34、mn） 22mn|AB|2 2mn 1 3|AB| 22mn 2mn 1 2， AFB 的最大值为2 3 . 答案 D 12.(2018 武汉模拟)过点 P(2， 1)作抛物线 x24y 的两条切线， 切点分别为 A， B， PA，PB 分别交 x 轴于 E，F 两点，O 为坐标原点，则PEF 与OAB 的面积之比 为( ) A. 3 2 B. 3 3 C.1 2 D.3 4 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点 A，B 处的切线方程为 x1x2(yy1)，x2x 2(yy2)，所以 E 2y1 x1 ，0 ，F 2y2 x2 ，0 ，即 E x1 2，0 ，F x2 2，0 ，
35、因为这两条切线 都过点 P(2，1)，则 2x 12（1y1）， 2x22（1y2）， 所以 lAB：x1y，即 lAB过定点(0，1)， 则S PEF SOAB 1 21 x1 2 x2 2 1 21|x1x2| 1 2. 答案 C 13.已知抛物线方程为 y24x，直线 l 的方程为 2xy40，在抛物线上有一 动点A， 点A到y轴的距离为m， 到直线l的距离为n， 则mn的最小值为_. 解析 如图，过 A 作 AHl，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH|AN|mn1， 连接 AF，则|AF|AH|mn1，由平面几何知识，知当 A，F，H 三点共线时， |AF|AH|mn1 取得最小值，最
36、小值为 F 到直线 l 的距离，即 6 5 6 5 5 ，即 mn 的最小值为6 5 5 1. 答案 6 5 5 1 14.(2019 泉州一模)在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 C： x22py(p0)的焦点为 F， 点 A 在 C 上，若|AO|AF|3 2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)设直线 l 与 C 交于 P，Q，若线段 PQ 的中点的纵坐标为 1，求OPQ 的面积 的最大值. 解 (1)因为点 A 在 C 上，|AO|AF|3 2，所以点 A 的纵坐标为 p 4，所以 p 4 p 2 3 2， 所以 p2， 所以 C 的方程为 x24y. (2)由题意知直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 ykxb(b0)， 代入抛物线方 程，可得 x24kx4b0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24b， 所以 y1y24k22b， 因为线段 PQ 的中点的纵坐标为 1， 所以 2k2b1，即 2k21b0，所以 0b1， SOPQ1 2b|x1x2| 1 2b （x1x2） 24x1x2 1 2b 16k 216bb 22b 2 b3b2(00，函数单调递增，所以 b1 时，OPQ 的面积最大， 最大值为 2.
