1、第第 4 节节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定 两个圆的方程判断两圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 知 识 梳 理 1.直线与圆的位置关系 设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的 距离为 d，由 （xa）2（yb）2r2， AxByC0 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为. 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 dr 0 相离 dr
2、 0 2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 R，r，Rr，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来 表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 dRr dRr RrdRr dRr dRr 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 微点提醒 圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0 b)(yb)r2. (3)过圆 x2y2r2外一点 M(x0， y0)作圆的
3、两条切线， 则两切点所在直线方程为 x0x y0yr2. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”的必要不充分条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) (4)过圆 O：x2y2r2外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 O， P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0xy0yr2.( ) 解析 (1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的充分不必要条件； (2)除外切外，还有
4、可能内切；(3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 2P84 例 6 改编)已知直线 ymx 与圆 x2y24x20 相切，则 m 值为 ( ) A. 3 B. 3 3 C. 3 2 D. 1 解析 由 x2y24x20 得圆的标准方程为(x2)2y22， 所以该圆的圆心坐 标为(2，0)，半径 r 2，又直线 ymx 与圆 x2y24x20 相切，则圆心到 直线的距离 d |2m| m21 2，解得 m 1. 答案 D 3.(必修 2P85 例 8 改编)若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0 外切， 则 m( ) A.21 B.19
5、C.9 D.11 解析 圆 C1的圆心为 C1(0，0)，半径 r11，因为圆 C2的方程可化为(x3)2(y 4)225m，所以圆 C2的圆心为 C2(3，4)，半径 r2 25m(m25).从而|C1C2| 32425.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即 1 25m5，解得 m9. 答案 C 4.(2019 西安八校联考)若过点 A(3，0)的直线 l 与曲线(x1)2y21 有公共点， 则直线 l 斜率的取值范围为( ) A.( 3， 3) B. 3， 3 C.( 3 3 ， 3 3 ) D. 3 3 ， 3 3 解析 数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x
6、3)，则圆心 (1，0)与直线 yk(x3)的距离应小于等于半径 1，即 |2k| 1k21，解得 3 3 k 3 3 . 答案 D 5.(2019 上饶调研)直线 l： 3xy60 与圆 x2y22x4y0 相交于 A， B 两点， 则|AB|_. 解析 由 x2y22x4y0 得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1， 2)，半径 r 5.又圆心(1，2)到直线 3xy60 的距离为 d|326| 91 10 2 ， 由 |AB| 2 2 r2d2，得|AB|210，即|AB| 10. 答案 10 6.(2018 合肥检测)圆 x2y240 与圆 x2y24x4y120 的公共弦
7、长为 _. 解析 由 x 2y240， x2y24x4y120，得两圆公共弦所在直线方程 xy20.又圆 x2y24 的圆心到直线 xy20 的距离为 2 2 2.由勾股定理得弦长的一半 为 42 2，所以，所求弦长为 2 2. 答案 2 2 考点一 直线与圆的位置关系 【例 1】 (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的 位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 (2)(2019 湖南六校联考)已知O：x2y21，点 A(0，2)，B(a，2)，从点 A 观 察点 B，要使视线不被O 挡住，则实数 a 的取值范围是( ) A.(，
8、2)(2，) B.(，4 3 3 )(4 3 3 ，) C.(，2 3 3 )(2 3 3 ，) D.(4 3 3 ，4 3 3 ) 解析 (1)因为 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，所以 a2b21，而圆心 O 到直线 axby1 的距离 d|a 0b 01| a2b2 1 a2b21，故直线与圆 O 相交. (2)易知点 B 在直线 y2 上，过点 A(0，2)作圆的切线. 设切线的斜率为 k，则切线方程为 ykx2， 即 kxy20. 由 d|002| 1k2 1，得 k 3. 切线方程为 y 3x2，和直线 y2 的交点坐标分别为(4 3 3 ，2)，(4 3 3 ， 2). 故
9、要使视线不被O 挡住，则实数 a 的取值范围是(，4 3 3 )(4 3 3 ，). 答案 (1)B (2)B 规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用 判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 【训练 1】 (1)“a3”是“直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)圆 x2y22x4y0 与直线 2txy22
10、t0(tR)的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 解析 (1)若直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切，则有|a34| 2 2 2，即 |a1|4，所以 a3 或5.但当 a3 时，直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 一定相切，故“a3”是“直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的充分 不必要条件. (2)直线 2txy22t0 恒过点(1，2)， 12(2)2214(2)50， 点(1，2)在圆 x2y22x4y0 内， 直线 2txy22t0 与圆 x2y22x4y0 相交. 答案 (1)A (2)C 考点二 圆的切线、弦长问题 多维探
11、究 角度 1 圆的弦长问题 【例 21】 (2018 全国卷)直线 yx1 与圆 x2y22y30 交于 A， B 两点， 则|AB|_. 解析 由题意知圆的方程为 x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为 2， 则圆心到直线 yx1 的距离 d|11| 2 2，所以|AB|222（ 2）22 2. 答案 2 2 角度 2 圆的切线问题 【例 22】 过点 P(1，2)作圆 C：(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A， B，则 AB 所在直线的方程为( ) A.y 3 4 B.y1 2 C.y 3 2 D.y1 4 解析 圆(x1)2y21 的圆心为 C(1，0)，半径为 1，
12、 以|PC|（11）2（20）22 为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21， 将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10，即 y1 2. 答案 B 角度 3 与弦长有关的最值和范围问题 【例 23】 (2018 全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点， 点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是( ) A.2，6 B.4，8 C. 2，3 2 D.2 2，3 2 解析 圆心(2，0)到直线的距离 d|202| 2 2 2，所以点 P 到直线的距离 d1 2，3 2.根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)， 所以
13、|AB|2 2，所以ABP 的面积 S1 2|AB|d1 2d1.因为 d1 2，3 2，所以 S2，6，即ABP 面积的取值范围是2，6. 答案 A 规律方法 1.弦长的两种求法 (1)代数方法： 将直线和圆的方程联立方程组， 消元后得到一个一元二次方程.在判 别式 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2. 2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为 k，则切线方 程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx00，由圆心到直线的距离等于半径，即 可得出切线方程；当斜率不存在时，
14、要加以验证. 【训练 2】 (1)已知过点 P(2，2)的直线与圆(x1)2y25 相切，且与直线 xay 10 平行，则 a_. (2)(2019 合肥测试)过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦的长为 _. 解析 (1)因为点 P 在圆(x1)2y25 上，所以过点 P(2，2)与圆(x1)2y25 相切的切线方程为(21)(x1)2y5，即 x2y60，由直线 x2y60 与 直线 xay10 平行，得a2，a2. (2)设 P(3，1)，圆心 C(2，2)，则|PC| 2，半径 r2.由题意知最短的弦过 P(3， 1)且与 PC 垂直，所以最短弦长为 222（ 2）
15、22 2. 答案 (1)2 (2)2 2 考点三 圆与圆的位置关系 【例 3】 (2019 郑州调研)已知两圆 x2y22x6y10，x2y210x12ym 0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？ (3)当 m45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211， (x5)2(y6)261m， 所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为 11， 61m， (1)当两圆外切时， 由（51）2（63）2 11 61m， 得 m2510 11. (2)当两圆内切时，因为定圆半径 11小于两圆圆心之间的距离 5
16、，所以 61m 115，解得 m2510 11. (3)由(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0， 得两圆的公共弦所在直线 的方程为 4x3y230. 故两圆的公共弦的长为 2（ 11）2（|43323| 4232 ）22 7. 规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与 两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2项 得到. 【训练 3】 (1)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度 是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系
17、是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 (2)(2019 安阳模拟)已知圆 C1： x2y2kx2y0 与圆 C2： x2y2ky40 的公 共弦所在直线恒过点 P(a，b)，且点 P 在直线 mxny20 上，则 mn 的取值范 围是( ) A. 0，1 4 B. 0，1 4 C. ，1 4 D. ，1 4 解析 (1)由题意得圆 M 的标准方程为 x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线 xy 0 的距离 d a 2，所以 2 a2a 2 2 2 2，解得 a2，圆 M，圆 N 的圆心距|MN| 2小于两圆半径之和 12，两圆半径之差 1，故两圆相交. (2)将圆 C1与圆 C2
18、的方程相减得公共弦所在直线的方程为 kx(k2)y40，即 k(xy)(2y4)0，由 2y40， xy0 得 x2， y2， 即 P(2，2)，因此 2m2n20，mn1，则 mn mn 2 2 1 4，当且仅当 mn1 2时取等号，mn 的取值范围是 ，1 4 . 答案 (1)B (2)D 思维升华 1.解决直线与圆的位置关系的问题，要熟练运用数形结合的思想，既要充分运用 平面几何中有关圆的性质， 又要结合待定系数法运用直线方程中的基本度量关系， 养成勤画图的良好习惯. 2.求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可.而在求两圆的 公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运
19、用. 易错防范 1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的 性质，可以用勾股定理或斜率之积为1 列方程来简化运算. 2.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若 点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线 有两条，此时注意斜率不存在的切线. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2xy50 B.2xy70 C.x2y50 D.x2y70 解析 过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3
20、，1)在圆(x 1)2y2r2上， 圆心与切点连线的斜率 k10 31 1 2， 切线的斜率为2， 则圆的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70. 答案 B 2.(2019 萍乡调研)已知圆 O1的方程为 x2y21，圆 O2的方程为(xa)2y24， 如果这两个圆有且只有一个公共点，那么 a 的所有取值构成的集合是( ) A.1，1，3，3 B.5，5，3，3 C.1，1 D.3，3 解析 由题意得两圆的圆心距 d|a|213 或 d|a|211，解得 a3 或 a3 或 a1 或 a1，所以 a 的所有取值构成的集合是1，1，3，3. 答案 A 3.圆 x22xy24y30 上到直线
21、xy10 的距离为 2的点共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 圆的方程化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线距离 d |121| 2 2，半径是 2 2，结合图形可知有 3 个符合条件的点. 答案 C 4.(2019 湖南十四校二联)已知直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为( ) A. 6或 6 B. 5或 5 C. 6 D. 5 解析 因为直线 x2ya0 与圆 O： x2y22 相交于 A， B 两点(O 为坐标原点)， 且AOB 为等腰直角三角形，所以 O 到
22、直线 AB 的距离为 1，由点到直线的距离 公式可得 |a| 12（2）21，所以 a 5. 答案 B 5.(2019 武汉二模)直线 l：kxyk10 与圆 x2y28 交于 A，B 两点，且|AB| 4 2，过点 A，B 分别作 l 的垂线与 y 轴交于点 M，N，是|MN|等于( ) A.2 2 B.4 C.4 2 D.8 解析 |AB|4 2为圆的直径， 所以直线 AB 过圆心(0，0)， 所以 k1，则直线 l 的方程为 yx， 所以两条垂线的斜率均为 1，倾斜角 45 ， 结合图象易知|MN|2 22 28. 答案 D 二、填空题 6.若 A 为圆 C1：x2y21 上的动点，B
23、为圆 C2：(x3)2(y4)24 上的动点， 则线段 AB 长度的最大值是_. 解析 圆 C1：x2y21 的圆心为 C1(0，0)，半径 r11， 圆 C2：(x3)2(y4)24 的圆心为 C2(3，4)，半径 r22， |C1C2|5.又 A 为圆 C1上的动点，B 为圆 C2上的动点， 线段 AB 长度的最大值是|C1C2|r1r25128. 答案 8 7.已知圆 C 的圆心是直线 xy10 与 x 轴的交点， 且圆 C 与圆(x2)2(y3)2 8 相外切，则圆 C 的方程为_. 解析 由题意知圆心 C(1，0)，其到已知圆圆心(2，3)的距离 d3 2，由两圆 相外切可得 R2
24、2d3 2，即圆 C 的半径 R 2，故圆 C 的标准方程为(x 1)2y22. 答案 (x1)2y22 8.已知直线 l：xay10(aR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴.过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|_. 解析 由于直线 xay10 是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴， 则圆心 C(2，1)满足直线方程 xay10， 所以 2a10，解得 a1， 所以 A 点坐标为(4，1). 从而|AC|236440. 又 r2，所以|AB|240436. 即|AB|6. 答案 6 三、解答题 9.已知圆 C 经过点 A(2，1)，和直线 xy1 相切，且
25、圆心在直线 y2x 上. (1)求圆 C 的方程； (2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程. 解 (1)设圆心的坐标为 C(a，2a)， 则 （a2）2（2a1）2|a2a1| 2 . 化简，得 a22a10，解得 a1. 所以 C 点坐标为(1，2)， 半径 r|AC|（12）2（21）2 2. 故圆 C 的方程为(x1)2(y2)22. (2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，此时直线 l 被圆 C 截得的 弦长为 2，满足条件. 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx， 由题意得 |k2| 1k21，解得 k
26、3 4， 则直线 l 的方程为 y3 4x. 综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 3x4y0. 10.已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点. (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径 r1， 由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1， 因为 l 与 C 交于两点，所以|2k31| 1k2 1. 解得4 7 3 k0)， 因为H 被直线 xy10，xy30 分成面积相等的四部分， 所以圆心 H(m，n)一定是两互相垂直的直线 xy10，xy
27、30 的交点，易 得交点坐标为(2，1)，所以 m2，n1. 又H 截 x 轴所得线段的长为 2，所以 r212n22. 所以H 的方程为(x2)2(y1)22. (2)设 N(x0，y0)，由题意易知点 M 是 PN 的中点，所以 M x0a 2 ，y0 2 . 因为 M，N 两点均在H 上， 所以(x02)2(y01)22， x0a 2 2 2 y0 21 2 2， 即(x0a4)2(y02)28， 设I：(xa4)2(y2)28， 由知H 与I：(xa4)2(y2)28 有公共点， 从而 2 2 2|HI|2 2 2， 即 2 （a2）2（12）23 2， 整理可得 2a24a518， 解得 2 17a1 或 3a2 17， 所以实数 a 的取值范围是2 17，13，2 17.
