1、1.1离散时间信号离散时间信号1.2线性时不变系统线性时不变系统1.3离散系统的差分方程离散系统的差分方程1.4连续时间信号的采样连续时间信号的采样一、常用序列一、常用序列1、单位采样序列、单位采样序列d d(n)：也称为单位脉冲序列：也称为单位脉冲序列1000()nnnd d -1 0 1 2 31n单位采样序列单位采样序列()nd d2 2、单位阶跃序列、单位阶跃序列u(n)u(n)u(n)01231n1000()nu nn (n)=u(n)-u(n-1)0()()ku nnmd d (n)与与u(n)之间的关系：之间的关系：3 3、矩形序列、矩形序列RN(n)当当N=4N=4时，时，R
2、R4 4(n)(n)的波形如图所示的波形如图所示矩形序列可用矩形序列可用单位阶跃序列单位阶跃序列表示：表示：R4(n)01231n1010()NnNRnn 其它N称为矩形序列的长度称为矩形序列的长度RN(n)=u(n)-u(n-N)4、实指数序列、实指数序列 如果如果|a|1，则称为，则称为发散序列发散序列。其波形如图示其波形如图示 x(n)=anu(n)，a为实数为实数5、正弦序列、正弦序列x(n)=sin(n)称为正弦序列的称为正弦序列的数字域频率数字域频率，单位是，单位是弧弧度度，表示序列变化的速率，或表示相邻，表示序列变化的速率，或表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。两个序列值之间变化
3、的弧度数。xa(t)=sin(t)xa(t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)表示凡是由模拟信号采样得到的序列，表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率模拟角频率与序列的数字域频率与序列的数字域频率成成线性关系线性关系 T/fs因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此得到数字频率得到数字频率与模拟角频率与模拟角频率之间的关系为之间的关系为如果正弦序列是由模拟信号如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到，那么：采样得到，那么：6、复指数序列、复指数序列 式中：设式中：设=0，用，用极坐标极坐标和和实部虚部实部虚部表示如下式：表示如下
4、式：由于由于n取整数，下面等式成立：取整数，下面等式成立：复指数序列具有以复指数序列具有以2为周期的周期性为周期的周期性，后面的研究中，频率域，后面的研究中，频率域只考虑一个周期只考虑一个周期 x(n)=e(+j0)n0为数字域频率为数字域频率e j(0+2M)n=e j0n,M=0,1,2x(n)=e j0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n)7、用单位采样序列来表示任意序列、用单位采样序列来表示任意序列任意序列任意序列x(n)都可以表示成单位采样序列的都可以表示成单位采样序列的移位加权和移位加权和。即：即：例例：用单位采样序列用单位采样序列d d(n)表示表示x(n)。mmnmxnx
5、)()()(dx(m)d d(n-m)=x(n),m=n 0 ,其它其它mx(n)n n0 05 53 3-3-3a ab bc c解：解：x(n)=ad d(n+3)+bd d(n-3)+cd d(n-5)二、序列的运算二、序列的运算 序列的基本运算：序列序列的基本运算：序列移位移位(左左,右右)、加法、乘法、翻转、尺度变换及卷积等。、加法、乘法、翻转、尺度变换及卷积等。1.乘法和加法乘法和加法序列之间的乘法和加法，序列之间的乘法和加法，是指它的是指它的同序号的序列值同序号的序列值逐项对应相乘和相加逐项对应相乘和相加，如，如图所示。图所示。2.移位、翻转及尺度变换移位、翻转及尺度变换 x(n
6、+n0)表示表示x(n)左移左移n0单单位位,x(n)的的超前序列超前序列；x(nn0)表示表示x(n)右移右移n0单单位，位，x(n)的的延时序列延时序列；x(-n)则是则是x(n)的的翻转序列翻转序列；x(mn)是是x(n)序列每隔序列每隔m点点取一点形成的，相当于时间取一点形成的，相当于时间轴轴n压缩了压缩了m倍。倍。(尺度变换尺度变换)1.1 离散时间信号卷积和的计算图解法(与卷积积分类似)改换变量：x(k)x(n)，h(k)h(n)折叠：h(n)h(-n)移序：h(-n)h(k-n)相乘：x(n)h(k-n)求和：把x(n)h(k-n)所得的序列相加 nzsnkhnxkhkxky)(
7、)()(*)()(1.1 离散时间信号)(nxn0 1 2 31234)(nhn0 1 2123)(nh n01 2 1231.1 离散时间信号4,15,19,13,7,2)(*)()(khkxky)()(nhnx n020 k)1()(nhnx n0 1341 k)2()(nhnx n0 1 216 62 k1.1 离散时间信号算式法(不进位乘法)41519137286421296343211324321 4,15,19,13,7,2)(*)()(khkxky三、序列的周期性三、序列的周期性如果对所有如果对所有n n存在一个存在一个最小的正整数最小的正整数N，使下面等式成立：，使下面等式成立
8、：则称序列则称序列x(n)为为周期性序列周期性序列。例：例：x(n)是周期为是周期为8 8的周期序列。的周期序列。4()sin()x nn x(n)=x(n+N),-n周期为周期为NN84()sin()x nn )一般正弦序列的周期性一般正弦序列的周期性 设：设：如果：如果：x(n+N)=x(n)，要求，要求:0N=2 k N=(2/0)k，k的取的取值要保证值要保证N是最小的正整数。是最小的正整数。当当2/为整数时为整数时，令，令k=1，序列，序列x(n)的周期为的周期为N=2/0；当当2/为有理数时为有理数时，k总能取到一个整数，使周期总能取到一个整数，使周期N=2 k/为一为一正整数正整
9、数；当当2/为无理数时为无理数时，k不管取什么整数，都不能使不管取什么整数，都不能使N=2 k/为一正整数；为一正整数；则则x(n)是是非周期序列非周期序列。x(n)=Asin(0n+)x(n+N)=Asin(0(n+N)+)=Asin(0n+0N+)例例：求下列两序列的周期：求下列两序列的周期N=？(1)x(n)=Acos(n/4+/7);(2)x(n)=Asin(n/5)+Bcos(n/3);解解:(1)由于由于=/4,2/=2 4/=8为整数，则周期为整数，则周期 N=8 (2)由于由于1=/5,2=/3,N1=2/1=10,N2=2/2=6 序列序列x(n)的周期的周期N为为N1和和N
10、2的最小公倍数，可得的最小公倍数，可得N=10,6=30一、离散系统的定义一、离散系统的定义 设时域离散系统的设时域离散系统的输入为输入为x(n)，经过规定的运算，系统，经过规定的运算，系统输出输出序列用序列用y(n)表示。设表示。设运算关系用运算关系用T表示，输出与输入之间表示，输出与输入之间关系用下式表示：关系用下式表示：其框图如图所示其框图如图所示:在时域离散系统中，最重要的是在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统线性时不变系统，因为很多物，因为很多物理过程可用这类系统表征。理过程可用这类系统表征。y(n)x(n)y(n)=Tx(n)二、线性系统二、线性系统满足满足叠加原理叠加原理的
11、系统称为线性系统。的系统称为线性系统。设设:那么线性系统一定满足下面两个公式：那么线性系统一定满足下面两个公式：将以上两个公式结合起来，可表示成：将以上两个公式结合起来，可表示成：y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)Tx1(n)+x2(n)=y1(n)+y2(n)Ta x1(n)=a y1(n)线性系统的线性系统的可加性可加性；线性系统的线性系统的比例比例性或齐次性性或齐次性y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)a和和b均是常数均是常数三、三、时不变系统时不变系统 如果系统对输入信号的如果系统对输入信号的运算关系运算关系T在整个运算过程中不在整个运算过
12、程中不随时间变化随时间变化;或者说系统对于输入信号的响应与信号或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关加于系统的时间无关。或者说若系统的输出随输入延迟而或者说若系统的输出随输入延迟而延迟同样单位延迟同样单位；则这种系统称为则这种系统称为时不变系统时不变系统，用公式表示如下：，用公式表示如下：y(n)=Tx(n)y(n-n0)=Tx(n-n0)【例】【例】判断系统判断系统 y(n)=3x(n)+4 的线性和时不变性？的线性和时不变性？解：解：1.判断线性特性判断线性特性 设输入为设输入为x1(n)和和x2(n)时，输出分别为时，输出分别为y1(n)和和y2(n)，即：，即：Tax1(
13、n)=3ax1(n)+4;Tbx2(n)=3bx2(n)+4;而而Tax1(n)+bx2(n)=3a x1(n)+3b x2(n)+4 ay1(n)+by2(n),所以系统是非线性系统。所以系统是非线性系统。2.判断系统的时不变特性判断系统的时不变特性 设设y(n)=Tx(n)而而Tx(n-n0)=3x(n-n0)+4=y(n-n0)，是时不变系统。，是时不变系统。例例1.2.2 设线性时不变系统的单位采样响应设线性时不变系统的单位采样响应 ，其输入序列，其输入序列 ，求输出序列，求输出序列y(n)。解解:根据线性时不变系统输入输出关系，有根据线性时不变系统输入输出关系，有)()(nuanhn
14、01a()()x nu n()()()()()()()()()*mmmy nx nh nh nx nh m x nma u mu nm0,nmma 对于对于 0,n 111()nau na四、系统的因果性四、系统的因果性定义定义1 1 ：当当n0n0时时,序列值恒等于零的序列称之为序列值恒等于零的序列称之为因果序列因果序列。定义定义2：系统的输出，只取决于系统的输出，只取决于n时刻以及时刻以及n时刻以前的输入序时刻以前的输入序列，与列，与n时刻以后的输入序列无关的系统称为因果系统。时刻以后的输入序列无关的系统称为因果系统。因此系统的因果性是指系统在物理上的可实现性因此系统的因果性是指系统在物理
15、上的可实现性。定理：定理：线性时不变系统线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足：位取样响应满足：h(n)=0，n 0结论：结论：因此，因此，因果系统因果系统的单位取样响应必然是的单位取样响应必然是因果序列因果序列五、系统的稳定性五、系统的稳定性 系统稳定的意义：系统稳定的意义：关系到系统能否正常工作。关系到系统能否正常工作。定义定义1 1 ：若存在一个数：若存在一个数M，对于任意，对于任意n n都满足都满足|x(n)|M，称该，称该序列序列有界有界。定义定义2 2：输入序列有界，能保证输出信号序列也有界的系统称输入序列有界，能保证输出信
16、号序列也有界的系统称为为稳定系统稳定系统。定理：定理：系统稳定的充分必要条件是系统的系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可单位取样响应绝对可和和，用公式表示为：，用公式表示为：()nh n 【例】【例】设设线性时不变系统线性时不变系统的单位取样响应的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：解：1、因果性：、因果性：由于由于n 0时，时，h(n)=0，所以系统是，所以系统是因果系统因果系统。2、稳定性、稳定性：(h(n)是否满足绝对可和是否满足绝对可和)讨论：讨论：当当|a|1时，时，当当|a|11时，
17、时，|h(n)|，此时系统不稳定。，此时系统不稳定。当当|a|1|1时，系统是因果稳定的，时，系统是因果稳定的，|a|1|1时，系统因果非稳定时，系统因果非稳定|1|1|)(|100limaaaanhNNnnnnn 11()nh na 系统稳定系统稳定【例】【例】判断下列系统的因果稳定性。判断下列系统的因果稳定性。（课堂练习课堂练习）001 2 ()()()()()()x nnnknny ney nx k 非因果稳定非因果稳定因果稳定因果稳定1.3 1.3 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程系统的输入输出描述法系统的输入输出描述法：不管
18、系统内部的结构，只描述或者研不管系统内部的结构，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系的方法。究系统输出和输入之间的关系的方法。模拟系统模拟系统，用，用微分方程微分方程描述系统输出输入之间描述系统输出输入之间的关系。的关系。时域离散系统时域离散系统，用，用差分方程描述差分方程描述描述输出输入之间的关系。描述输出输入之间的关系。线性时不变时域离散系统线性时不变时域离散系统，常用，常用线性常系数差分方程线性常系数差分方程来描述来描述。线性时不变系统的描述方法有线性时不变系统的描述方法有:(1)(1)系统的系统的单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)(2)(2)系统的系统的频率响应频率响应H(e-j)(h
19、(n)的傅里叶变换的傅里叶变换)(第二章第二章)(3)(3)系统的系统的差分方程差分方程(4)(4)系统函数系统函数(h(n)的的Z Z变换变换)(第二章第二章)(5)(5)系统结构系统结构(第五章第五章)1.3 1.3 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程1、线性常系数差分方程、线性常系数差分方程 一个一个N阶线性常系数差分方程用下式阶线性常系数差分方程用下式表示：表示：差分方程的阶数差分方程的阶数是用方程是用方程y(n-i)项中项中i的取值最大与最小之差确定的。的取值最大与最小之差确定的。在左式中，在左式中，y(n-i)项项i最大的取
20、值为最大的取值为N，i的最小取值为零，因此的最小取值为零，因此称为称为N阶的阶的差分方程。差分方程。01010()()()()(),1MNiiiiNMiiiiynbxniayniaynibxnia或01010()()()()(),1MNiiiiNMiiiiynbxniayniaynibxnia或01010()()()()(),1MNiiiiNMiiiiyn b xni a ynia yni b xnia 或N式中，式中，x(n)和和y(n)分别是系统的分别是系统的输入序列输入序列和和输出序列输出序列，ai和和bi均为常数，式中均为常数，式中y(n-i)和和x(n-i)项只有一次幂项只有一次幂，
21、没有相互，没有相互交叉项交叉项，故称为，故称为线性常系数差分方程线性常系数差分方程。1.3 1.3 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程2、线性常系数差分方程的求解、线性常系数差分方程的求解已知系统的输入序列，已知系统的输入序列，通过求解差分方程通过求解差分方程可以求出输出序列。可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种：求解差分方程的基本方法有以下三种：(1)(1)经典解法经典解法：类似模拟系统中求解微分方程的方法，包括齐：类似模拟系统中求解微分方程的方法，包括齐次解和特解，由边界条件求待定系数。次解和特解，由边界条件求待定系数
22、。(2)(2)递推解法递推解法：由初始条件，逐级用计算机递推求解，只能得：由初始条件，逐级用计算机递推求解，只能得到数值解，不容易得到封闭解（公式解）到数值解，不容易得到封闭解（公式解）(3)(3)变换域方法变换域方法：将差分方程变换到：将差分方程变换到Z Z域中进行求解，方法简域中进行求解，方法简单有效。单有效。电子开关的作用电子开关的作用S等等效一个矩形脉冲串效一个矩形脉冲串单位冲激串单位冲激串()()()()()()()naaanP ttnTxtxtP txttnTdddd频域分析：频域分析：根据根据频域卷积定理频域卷积定理：两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里两信号在时域
23、相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积。叶变换的卷积。可以推导得：可以推导得：()()()()()()()naaanP ttnTx tx tP tx ttnTdddd()()()()()()()2()aaaakskXjFTxtxjFTxtPjFTPtPjakdddd()()()aanx txT t n Td ()()()aanx t x T tn Td ()()()aanxtxTtn Td ()()()()()()()2()aaaakskXjFTxtxjFTxtPjFTPtPjakdddd()()()()()()()2()aaaakskXjFTxtxjFTxtPjFTPtPjakd
24、ddd()()()()()()()2()aaaakskXjF TxtxjF TxtPjF TPtPjakdddd /2/211()2()()1()()()212()()21()()1()sTj kkTskaaaskaskaskated tTTPjkTXjXjPjXjkdTXjkdTXjj kTdddddd (t)(t)是单位冲激信号，只有当是单位冲激信号，只有当t=nTt=nT时，才可能有非零值，因时，才可能有非零值，因此可写成。此可写成。s=2/Ts=2/T，称为，称为采样角采样角频率频率，单位是，单位是弧度弧度/秒秒表明：表明：采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样信号的频谱
25、是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率采样角频率s重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以拟信号的频谱以s为周期，进行为周期，进行周期延拓周期延拓而成的。而成的。/2/211()2()()1()()()212()()21()()1()sTj kkTskaaaskaskaskatedtTTPjkTXjXjPjXjkdTXjkdTXjj kTdddddd/2/211()2()()1()()()212()()21()()1()sTjkkTskaaaskaskaskatedtTTPjkTXjXjPjXjkdTXjkdTXjjkTdddddd在
26、下图中，设在下图中，设x xa a(t t)是带限信号，是带限信号，最高截止频率为最高截止频率为c c，其频谱，其频谱X Xa a(j j)如图所示。如图所示。0ccXa(j)P(j)ss（a）（b）00Xa(j)0Xa(j)cs（c）（d）sss2s2s2s2s以以s为周期进为周期进行的周期延拓行的周期延拓单位冲激单位冲激串的频谱串的频谱频谱混叠频谱混叠一般称一般称fs/2为为折叠频率折叠频率，只有当信号最高频率不超过该频率时，才不会，只有当信号最高频率不超过该频率时，才不会产生频率混叠现象，超过产生频率混叠现象，超过fs/2的频谱会折叠回来形成的频谱会折叠回来形成混叠现象混叠现象，因此，因
27、此频率混叠均产生频率混叠均产生在在fs/2附近附近。2.内插内插()G j 1,210,2ssT 0Xa(j)G(j)xa(t)ya(t)0G(j)/T/T0Xa(j)（a）（b）（c）（d）T T)t(yFT)j(G)j(X)j(Yaaa)j(YFT)t(ya1a理想低通滤波器的传输函数理想低通滤波器的传输函数 由低通滤波器的由低通滤波器的传输函数传输函数G(j)G(j)推导其推导其单位冲激响应单位冲激响应g(t)g(t)/2/21()()212sin(/2)/2sin(/)()/ssjtjtssgtGjedTedtttTgttT因为因为s=2fs=2/T/2/21()()212sin(/2
28、)/2sin(/)()/ssjtjtssgtGjedTedtttTgttT/2/21()()212s i n(/2)/2s i n(/)()/ssjtjtssgtGjedTedtttTgttT/2/21()()212s i n(/2)/2s i n(/)()/ssjtjtssgtGjedTedtttTgttT na)nTt(g)nT(x内插函数内插函数()()()aay tx tg td)t(g)(xa()()()()()()()()()sin()/)()()/sin()/)()()/()aanananananytxnTnTgtdxnTnTgtdxnTgtnTtnTTxnTtnTTtnTTxn
29、TatnTTxtdd()()()()()()()()()sin()/)()()/sin()/)()()/()aanananananytxnTnTgtdxnTnTgtdxnTgtnTtnTTxnTtnTTtnTTxnTatnTTxtdd()()()()()()()()()sin()/)()()/sin()/)()()/()aanananananytxnTnTgtdxnTnTgtdxnTgtnTtnTTxnTtnTTtnTTxnTatnTTxtdd在采样点上，恢复的在采样点上，恢复的x xa a(t)(t)等于原采样等于原采样值，在采样点之间是各采样值乘以值，在采样点之间是各采样值乘以g(t-g(t-nT)nT)的波形伸展叠加而成的波形伸展叠加而成()()()()()()()()()sin()/)()()/sin()/)()()/()aanananananytxnTnTgtdxnTnTgtdxnTgtnTtnTTxnTtnTTtnTTxnTatnTTxtdd()()()aaytxtg t na)nTt(g)nT(x感谢下感谢下载载
