1、阶段方法技巧训练（二）阶段方法技巧训练（二）专训专训2 2菱形性质与判定的菱形性质与判定的灵活应用灵活应用习题课习题课 菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看从边看：对边平行，：对边平行，四边相等；四边相等；(2)从角看从角看：对角相等，邻角互补；：对角相等，邻角互补；(3)从对角从对角线看线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角组对角 判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平判定一个四边形是菱形，可先判定这个四
2、边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等可直接判定四边相等1训练角度训练角度利用菱形的性质与判定判断图形的形状利用菱形的性质与判定判断图形的形状1【2017北京北京】如图，在四边形】如图，在四边形ABCD中，中，BD为一为一 条对角线，条对角线，ADBC，AD2BC，ABD90，E为为AD的中点，连接的中点，连接BE.(1)求证：四边形求证：四边形BCDE为菱形；为菱形；(2)连接连接AC，若，若AC平分平分BAD，BC1，求，求AC的长的长(1)AD2BC，E为为AD的中点，的中点，DEBC.ADBC，四边形四
3、边形BCDE是平行四边形是平行四边形 ABD90，AEDE，BEDE.四边形四边形BCDE是菱形是菱形证明：证明：(2)ADBC，AC平分平分BAD，BACDACBCA.ABBC1.ABD90，E为为AD的中点，的中点，BEAE AD.AD2BC2，BEAEAB1.ABE为等边三角形，为等边三角形，BAE60.DAC30，ADB30.ADC60.ACD90.在在RtACD中，中，AD2，DAC30，CD1.AC .解：解：1232训练角度训练角度利用菱形的性质与判定求角的度数利用菱形的性质与判定求角的度数2【2017滨州滨州】如图，在】如图，在 ABCD中，以点中，以点A为圆心，为圆心，AB
4、长为半径画弧交长为半径画弧交AD于点于点F，再分别以点，再分别以点B、F为圆心，大为圆心，大 于于 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接，连接AP并并 延长交延长交BC于点于点E，连接，连接EF，则所得四边形，则所得四边形ABEF是菱形是菱形 (1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；是菱形；(2)若菱形若菱形ABEF的周长为的周长为16，AE4，求，求C的大小的大小12(1)由作图过程可知，由作图过程可知，ABAF，AE平分平分BAD.BAEEAF.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，BCAD
5、.AEBEAF.BAEAEB.BEAB.BEAF.AFBE，四边形四边形ABEF是平行四边形是平行四边形 ABBE，四边形四边形ABEF是菱形是菱形证明：证明：(2)如图，连接如图，连接BF，交，交AE于于G，菱形菱形ABEF的周长为的周长为16，AE4 ，ABBEEFAF4，AG AE2 ，AEBF.在在RtABG中，中，AB2AG2BG2，42(2 )2BG2.BG2.BF2BG4.ABAFBF4.ABF为等边三角形为等边三角形BAF60.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，CBAF60.解：解：331233训练角度训练角度利用菱形的性质与判定求线段长利用菱形的性质与判定求线段
6、长3【2017包头包头】如图，在】如图，在ABC中，中，C90，B 30，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEBA交交AC于于 点点E，DFCA交交AB于点于点F，已知，已知CD3.(1)求求AD的长；的长；(2)求四边形求四边形AEDF的周长的周长(注意：本题中的计算过注意：本题中的计算过 程和结果均保留根号程和结果均保留根号)(1)C90，B30，CAB60.AD平分平分CAB，CAD CAB30.在在RtACD中，中，ACD90，CAD30，AD2CD6.解：解：12(2)DEBA交交AC于点于点E，DFCA交交AB于点于点F，四边形四边形AEDF是平行四边形，是平行四边形，EAD
7、ADF.又又EADFAD，ADFFAD.AFDF.四边形四边形AEDF是菱形是菱形 AEDEDFAF.在在RtCED中，中，CDEB30，CE DE.又又CE2CD2DE2，9DE2.DE2 (负值舍去负值舍去)四边形四边形AEDF的周长为的周长为8 .3123212DE骣桫4训练角度训练角度利用菱形性质与判定解决面积问题利用菱形性质与判定解决面积问题4【2017云南云南】如图，】如图，ABC是以是以BC为底的等腰三角为底的等腰三角 形，形，AD是边是边BC上的高，点上的高，点E、F分别是分别是AB、AC的的 中点中点 (1)求证：四边形求证：四边形AEDF是菱形；是菱形；(2)如果四边形如果
8、四边形AEDF的周长为的周长为12，两条对角线的和等，两条对角线的和等 于于7，求四边形，求四边形AEDF的面积的面积S.(1)ADBC，点，点E、F分别是分别是AB、AC的中点，的中点，在在RtABD中，中，DE ABAE，在在RtACD中，中，DF ACAF.又又ABAC，AEAFDEDF.四边形四边形AEDF是菱形是菱形证明：证明：1212(2)如图，设如图，设EF与与AD相交于点相交于点O.菱形菱形AEDF的周长为的周长为12，AE3，设设EFx，ADy，则，则xy7，x22xyy249，易知易知ADEF，在在RtAOE中，中，AO2EO2AE2，32.即即x2y236，把把代入代入，
9、可得，可得2xy13，xy .菱形菱形AEDF的面积的面积S xy .解：解：221122yx骣骣鼢珑+鼢珑鼢珑桫桫13212134蔡琰（作者有待考证）的胡笳十八拍郭璞的游仙诗鲍照的拟行路难庾信的拟咏怀都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的幽逼诗四首：【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动
10、耕人。蔡琰（作者有待考证）的胡笳十八拍郭璞的游仙诗鲍照的拟行路难庾信的拟咏怀都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的幽逼诗四首：【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。蔡琰（作者有待考证）的胡笳十八拍郭璞的游仙诗鲍照的拟行路难庾信的拟咏怀都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的幽逼诗四首：【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
