1、山西省阳泉市山西省阳泉市 2019201920202020 学年度第一学期期末考试试题学年度第一学期期末考试试题 高三理科数学高三理科数学 第第卷卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.设集合06 2 xxxA,01xxB,则BA的值是 A.1 ,- B.1 , 2- C.1- , 3- D., 3 2.若复数z满足iiz21，则z的值是 A.i -1- B.i1- C.i -1
2、D.i1 3.若方程mx ln有两个不等的实根 1 x和 2 x，则 2 2 2 1 xx 的取值范围是 A., 1 B.,2 C., 2 D.1 , 0 4.随着社会发展对环保的要求， 越来越多的燃油汽车被电动汽车取代， 为了了解某品牌的电 动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表： 记录时间 累计里程 （单位：公里） 平均耗电量（单位： /hkW 公里） 剩余续航里程 （单位：公里） 2020 年 1 月 1 日 5000 0.125 380 2020 年 1 月 2 日 5100 0.126 246 （注： 累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程， 累计耗电量指汽车
3、从出厂开始累计消耗 的电量， 累计里程 累计耗电量 平均耗电量 平均耗电量 剩余电量 剩余续航里程 ） 下面对该车在两次记录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是 A. 等于5 .12 B. 5 .12 到 6 .12 之间 C.等于 6 .12 D.大于 6 .12 5.已知函数 0 3 sin kxAxf的图象向右平移 3 4 个单位长度后与原图象 重合，则的最小值是 A. 3 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 4 3 6.宋元时期数学名著算学启蒙中有关“松竹并生”的问题： 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如 图是源于该思想的一个程序框图，若输入的ba,
4、分别为2 , 5，则输 出的n的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数 xx xx xf cos 3 在 22 - ，的图像大致为 A B C D 8.在ABC中， 3 7 tanA, 4, 2ACABD是线段BC上一点，且,4DCDB 则 BCAD是 A. 8- B. 8 C. 5 42 D. 5 42 8.在ABC中， 120BAC, 4, 2ACABD是边BC上一点，,2DCDB 则 BCAD是 A.8 B. 8- C. 3 32 D. 3 32 9.记 n S为等差数列 n a的前n项和.已知,98, 0 14211 Saa则 A.11nan B. 222 nan C.nnSn
5、7 2 D.nn14 2 1 -S 2 n 10.设P是双曲线0, 01 2 2 2 2 ba b y a x 上的点， 1 F、 2 F是焦点，双曲线的离心率是 3 4 ， 且 90 21PF F, 21PF F的面积是 7，则ba是 A.73 B. 79 C.10 D.16 11.如图，在直角梯形SABC中， 90BCSABC,过点A作SCAD交SC于点 D，以AD为折痕把SAD折起，当几何体ABCDS 的的体积最大时，则下列命题中正 确的个数是 SBAC AB平面SCD SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的 角 AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 A.4 B. 3 C
6、. 2 D.1 12.已知 xx eexxf ，若不等式21xfaxf在4 , 3x上有解，则实数a的 取值范围是 A. ， 3 2 0- B. ， 3 2 4 1 - C. ， 4 3 4 1 - D. ， 4 3 0- 第第 IIII 卷卷（非选择题共 90 分） 本试卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作 答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .） 13.已知曲线 xxyln 在点 00, y x 处的切线与
7、直线 012 yx 垂直，则 0 x _. 14.若 6 2 1x x a a 展开式中 2 x 的系数为 30，则 a _. 15.已知F是抛物线 2 :12C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N 若 MNFM2 ，则FN _ 16.已知数列 n a满足nanaa n 2123 21 ,数列 n b的前n项和nnSn2 2 ， 则数列 n n b a 的前n项和 n T_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. （ 本 小 题 满 分 1
8、2 分 ） 在ABC中 ， 角CBA,的 对 边 分 别 为cba,， 且 BACABc o ss ins in2c o ss in. (1)求B; (2)若5b，且AC边上的中线长为3，求ABC的面积. 18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为 矩形，ADAB 2，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点. （1）在棱BC上取一点F使直线EF平面PAB并证明； （2） 在 （1） 的条件下， 当棱PF上存在一点M， 使得直线CM与底面ABCD所成角为 o 45 时，求二面角ACDM的余弦值. 19.（本小题满分 12 分）已知椭圆01: 2
9、 2 2 2 ba b y a x C 的两个焦点分别是 21,F F，离 心率 2 3 e ，P为椭圆上任意一点，且 21PF F的面积最大值为3. （1）求椭圆C的方程. （2）过焦点 1 F的直线l与圆1: 22 yxO 相切于点Q，交椭圆G于 BA, 两点，证明： 1 BFAQ . 20.（本小题满分 12 分）某市创卫办为了了解该市开展创卫活动的成效，对市民进行了一次 创卫满意程度测试，根据测试成绩评定“合格” 、 “不合格”两个等级，同时对相应等级进行 量化： “合格”计 5 分， “不合格”计 0 分，现随机抽取部分市民的回答问卷，统计结果及对 应的频率分布直方图如图所示： 等级
10、 不合格 合格 得分 40,20 60,40 80,60 100,80 频数 6 a 24 b （1）求cba,的值； （2）按照分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的问卷中随机抽取 10 份进 行问题跟踪调研， 现再从这 10 份问卷中任选 4 份， 记所选 4 份问卷的量化总分为， 求的 分布列及数学期望 E. （3）某评估机构以指标 的方差表示其中 D D E MM,来评估该市创卫活动的 成效.若7 . 0M,则认定创卫活动是有效的；否则认为创卫活动无效，应该调整创卫活动 方案.在（2）的条件下，判断该市是否应该调整创卫活动方案？ 21 （本小题满分 12 分）已知函数 2
11、21 ( )ln () x f xax a x R （1）讨论( )f x的单调性； （2）设( )sin x g xex，若 xxfxgxh2且 xhy 有两个零点，求a的 取值范围 请考生在第请考生在第 2222，2 23 3 两两题中任选一题作答题中任选一题作答. .注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目. .如果多做，则按如果多做，则按 所做的第一个题目计分所做的第一个题目计分. .满分满分 1010 分分. . 选修 44：坐标系与参数方程 22.（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y （为参数） ，以原点O
12、为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方 程为4sin. （1 1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的平面直角坐标方程； （2 2）已知曲线 3 C的极坐标方程为(0,)R ，点A是曲线 3 C与 1 C的交点， 点B是曲线 3 C与 2 C的交点，A，B均异于原点O，且4 2AB ，求的值. 23.（本小题满分 10 分）已知( )221f xxx的最小值为t. （1 1）求t的值； （2 2）若实数a，b满足 22 22abt，求 22 14 ab 的最小值. 山西省阳泉市 20192020 学年度第一学期期末考试 高三理科数学参考答案与评分标准高三理科数学参考答
13、案与评分标准 一一. . 选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分， 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案答案 B B C C C C D D B B C C A A D D B B A A D D A A 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，分， 13.13.e14. 1 15.14. 1 15.6 16.16. 12 2 n n 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共
14、7070 分， ）分， ） 17.(1)由已知可得BCABBAcossin2cossincossin , 所以BCBAcossin2sin1 在 ABC 中，CBAsinsin2 所以 BCCcossin2sin. 因为在 ABC 中， 0sinC ,3 所以 2 1 cosB ,4 因为 B0 ,5 所以 3 B .6 （2）由（1）得 3 B，又AC边上的中线长为，所以6 BCBA，7 所以362 22 BCBABCBA，即36cos2 22 Bacac， 所以36 22 acac， 8 由余弦定理得Baccabcos2 222 ，所以25 22 acca，9 由得： 2 11 ac，10
15、 所以 8 311 sinac 2 1 BS ABC . 12 18. （1） 在BC上取中点F， 在PA上取中点G,连接GEGBEF,， 由于GE平行且等于AD 2 1 ，BF平行且等于AD 2 1 ，所以GE平行 且等于BF， 所以四边形BFEG是平行四边形， 所以EFGB.2 直线GBPAB平面， EF直线PAB平面，3 所以EF平面PAB.4 （2）取AD中点O，连接PO，由于PAD为正三角形 POAD 又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD PO 平面ABCD，连接OF，四边形ABFO为正方形。 PO平面POF，平面POF 平面ABCD 而平面POF平面ABCDOF
16、过M作MHOF，垂足为H，MH 平面ABCD MCH为MC与平面ABCD所成角，45MCH 6 MHCH 在PFO中，MHPO， MHFH POFO ， 设ABBFa，2ADa，3POa，FOa 3 MHFH aa ，3MHFH 在RtCFH中， 222 CHCFFH， 222 3FHaFH 2 2 FHa， 6 2 MHa， 2 2 OHaa 8 以O为坐标原点，OF、OD、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 26 (,0,) 22 M aaa，( , ,0)C a a，(0, ,0)Da， 26 (, ,) 22 MCa aa，(,0,0)CDa 9 设平面MCD的法向量为( ,
17、, )nx y z， 0 0 CDn MCn 法向量可取 3 6 1 , 0 ，n ，10 而平面ABCD的法向量为(0,0,1)m 11 设二面角MCDA的平面角为 6 10 3 cos|cos,| 56 11 9 m n .12 19 （1）由椭圆性质知， 2 3 a c ，1 32 2 1 bc ，2 解得1, 2ba 3 所以椭圆C的方程为1 4 2 2 y x .4 （2）证明：由（1）可得l的斜率存在，故l的方程可设为 3xky . 因为直线l与圆 1: 22 yxO 相切， 所以圆心0 , 0到 3:xkyl 的距离 1 1 3 2 k k d ，解得 2 2 k .6 当 2
18、2 k 时，直线l的方程为 3 2 2 xy 由 1 4 3 2 2 2 2 y x xy 联立，可得 02343 2 xx ，显然 0 ， 设 2211 ,yxByxA ，则 3 34 21 xx .所以 3 32 2 21 xx 8 设 00, y xQ ，由 1 2 2 1 0 0 2 0 2 0 x y yx 可得 3 6 , 3 3 Q ，又 0 , 3 1 F ， 所以 3 32 2 1 FQ xx .由此可得线段 QFAB 1 , 中点重合，故 1 BFAQ .10 同理当 2 2 k 时也有 1 BFAQ . 11 综上 1 BFAQ .12 20.（1）由频率分布直方图可知，
19、得分在 40,20 的频率为 1 . 020005. 0 ， 故抽取的市民答卷数为：60 1 . 0 6 ， 又由频率分布直方图可知，得分在100,80的频率为2 . 0， 所以122 . 060b，1 又60246ba，所以18a.2 015. 0 2060 18 c.3 （2） “不合格”和“合格”的人数比例为3:236:24，因此抽取的10人中“不合格”有4 人， “合格”有6人. 所以有0 , 5 ,10,15,20共5种可能的取值. 的分布列为 20 15 10 5 0 p 14 1 21 8 7 3 35 4 210 1 14 1 20 4 10 4 6 C C p， 21 8 1
20、5 4 10 1 4 3 6 C CC p， 7 3 10 4 10 2 4 2 6 C CC p， 35 4 5 4 10 3 4 1 6 C CC p， 210 1 0 4 10 4 4 C C p. 所以 12 210 1 0 35 4 5 7 3 10 21 8 15 14 1 20E.9 （3）由（2）可得 2222218341 20 1215 1210 125 120 1216 1421735210 D， 10 所以 7 . 075. 0 16 12 D E M，11 故我们认为该市的创卫活动是有效的，不需要调整创卫活动方案.12 21 （1）( )f x的定义域为(0,)， 1
21、( )2lnf xxax x ， 2 1 ( )2fx x 2 2 21axax xx ， 1 对于 2 210xax ， 2 8a， 当 2 2,2 2a 时 ，()0fx， 则( )f x在(0,)上 是 增 函 数.2 当(, 2 2)a 时，对于0x ，有( )0fx，则( )f x在(0,)上是增函 数.3 当(2 2,)a时，令( )0fx，得 2 8 0 4 aa x 或 2 8 4 aa x ， 令( )0fx，得 22 88 44 aaaa x ， 所以( )f x在 2 8 (0,) 4 aa ， 2 8 (,) 4 aa 上是增函数， 在 22 88 (,) 44 aaa
22、a 上是减函 数.4 综上，当(,2 2a 时，( )f x在(0,)上是增函数； 当(2 2,)a时，( )f x在 2 8 (0,) 4 aa ， 2 8 (,) 4 aa 上是增函数， 在 22 88 (,) 44 aaaa 上是减函数. （2）由已知可得 xexg x cos，因为0x，所以1 x e，而1cos x，所以 0cos xex，所以 0 x g，所以 xexg x sin在，0上单调递增. 所以 00 gxg.6 故 xxfy2在，0内有两个零点.7 令 1 ( )lnF xax x ，定义域为 ), 0( ， 22 11 ( ) aax F x xxx ， 当 0a 时
23、，( )0F x恒成立，( )F x在 ), 0( 上单调递增， 则( )F x至多有一个零点， 不合题意.8 当0a 时，令 ( )0F x 得 1 x a ，若 1 0x a ，则 ( )0F x ， ( )F x 在 1 (0,) a 上单 调递增；若 1 x a ，则 ( )0F x ， ( )F x 在 1 (,) a 上单调递减，9 所以， 1 x a 时， ( )F x取得极大值，也是最大值，为 max 1 ( )lnlnF xaaaaa a .10 0x 时，0,( );,( )xF xxF x， 若( )F x有两个零点，则 ln0aaa ，解得 ea . 所以a的取值范围是
24、(e, ) .12 另解：0ln 1 xa x 有两根，显然1x不是方程的根， 因此原方程可化为10ln 1 xxxx a 且， 设 xxxln， 1lnxx， 由 0 x 解得11 1 xx e 或， 由 0 x 解得 e x 1 0， 故 xxxln在 e 1 0，上单调递减，在 , 1,1 , 1 e 上单调递增. 所以 ee x 11 min ，所以0 11 ae ，所以ea . 22.22.【解析】 （1）由 22 2 xcos ysin 消去参数，得 1 C的普通方程为 2 2 24xy. 由4sin，得 2 4 sin，又siny， 222 xy， 所以 2 C的直角坐标方程为
25、2 2 24xy5 分 （2）由（1）知曲线 1 C的普通方程为 2 2 24xy，所以其极坐标方程为4cos. 设点A，B的极坐标分别为, A ，, B ，则4cos A ，4sin B ， 所以4 cossin4 2 sin4 2 4 AB AB ， 所以sin1 4 ，即 42 kkZ ，解得 3 4 kkZ ， 又0，所以 3 4 10 分 23.23.【解析】 （1） 31,1 ( )2213, 11 31,1 xx f xxxxx xx ， f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， f（x）minf（1）2，t2；.5 分 （2）由（1）可知 2a 2+2b22，则 a 2+b21， 2222 22 22222222 141444 55+2=9 baba ab abababab ， 当且仅当 22 22 4 = ba ab ，即 2 1 3 a ， 2 2 3 b 时取等号， 故 22 14 ab 的最小值为 9.10 分
