1、江苏省扬州高邮市江苏省扬州高邮市 20202020 届高三数学上学期开学考试试题届高三数学上学期开学考试试题 理 （含解析）理 （含解析） 一、填空题：请把答案写在答题纸相应位置一、填空题：请把答案写在答题纸相应位置. . 1.设集合2,4A,2,6,8B ,则AB _. 【答案】2,4,6,8 【解析】 分析：2,4,6,8AB 详解：因为2,4A,2,6,8B ,AB表示 A 集合和 B 集合“加”起来的元素，重复的 元素只写一个，所以2,4,6,8AB 点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性. 2.命题“1x ，都有 2 12x ”的否定是_. 【答案】1x ，有 2 12x 【解析】
2、【分析】 根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定. 【详解】全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“1x ，有 2 12x ”. 【点睛】本小题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题. 3.设aR，则命题:1p a ，命题 2 :1q a ，则p是q的_条件.（填“充要”“充分 不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】 比较命题p和命题q中a的范围，由此判断充分、必要条件. 【详解】由 2 1a 解得11a ，而 | 11aa |1a a ，故p是q的必要不充分 条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 4.矩阵
3、30 11 的特征值为_. 【答案】3 和 1 【解析】 【分析】 先根据特征值的定义列出特征多项式，令 0f 解方程可求得特征值. 【详解】 依题意， 特征多项式 30 31 11 f ， 令 0f ， 解得3 或1. 【点睛】本小题主要考查特征值的求法，属于基础题. 5.函数 4 1 ( )log (1) 2 f xx的定义域为_ 【答案】(1，3 【解析】 【分析】 根据幂函数与对数函数的性质，列不等式组求解即可. 【详解】要使函数 4 1 log1 2 f xx有意义， 则 4 1 log10 2 10 x x ， 解得13x， 即函数 4 1 log1 2 f xx的定义域为 1,3
4、，故答案为1,3. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法： (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际 意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 f x的定义域为, a b，则 函数 f g x的定义域由不等式 ag xb求出. 6.已知2 3 a ，98 b ，则ab的值是_. 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 将题目所给指数式改写为对数式，然后根据对数运算，求得ab的值. 【详解】 依题意 2 log 3a ， 2 3 93 3 3 log 8log2log 2 2 b
5、， 所以 23 33 log 3log 2 22 ab . 【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数运算，属于基础题. 7.在平面直角坐标系xOy中，将函数sin 2 3 yx 的图像向右平移0 2 个单 位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为_. 【答案】 6 【解析】 函数sin 2 3 yx 的图像向右平移 0 2 个单位得sin 22 3 yx ，因 为过坐标原点，所以-2()0 36226 k kkZ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在 题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数
6、sin()()yAxxR是奇函数()kkZ；函数sin()()yAxxR是偶 函数 +() 2 kkZ； 函数cos()()yAxxR是奇函数 +() 2 kkZ； 函数cos()()yAxxR是偶函数()kkZ. 8.已知函数 2 ( )lg2f xxax在区间(2,)上单调递增，则实数a的取值范围是 _. 【答案】,3 【解析】 【分析】 根据复合函数单调性同增异减， 以及二次函数对称轴列不等式组， 解不等式组求得实数a的取 值范围. 【详解】要使 f x在2,上递增，根据复合函数单调性，需二次函数 2 2yxax对 称轴在2x 的左边，并且在2x 时，二次函数的函数值为非负数，即 2 2
7、 2 2220 a a ，解 得3a .即实数a的取值范围是,3. 【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题. 9.在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 22 ,sin2sin,acbBCsin 2 C _. 【答案】 2 4 【解析】 由sin 2sinBC 及正弦定理得 2bc ， 又 22acb ， 2ac 22 C AB . 在ABC中，由正弦定理得 sinsin ac AC ， 22 sin sin()cos2sincos 22222 cccc CCCC C ， 12 sin 242 2 C 答案： 2 4 10.已知 1 c
8、os 33 x ，则 2 5 cos 2sin 33 xx 的值为_. 【答案】 5 3 【解析】 【分析】 根据已知条件求得 cos 2 3 x 的值.将所求表达式化为只含 cos 2 3 x 的式子，由此求得 表达式的值. 【详解】依题意 cos 2cos 2 33 xx 2 cos 2 3 x 2 17 12cos12 399 x . 而 2 5 cos 2sin 33 xx 2 1 cos2 3 cos 22 32 x x cos 2 3 x 11 cos 2 232 x 31 cos 2 232 x 3715 2923 . 【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、二倍角公式和降次公式进行
9、化简求值，考查化归与 转化的数学思想方法，属于中档题. 11.已知函数( ) xx f xee，对任意的 3,3k ，(2)( )0f kxf x恒成立，则x的取 值范围为_. 【答案】 1 1, 2 【解析】 【分析】 先判断函数 f x的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函 数的性质，求得x的取值范围. 【详解】由于 fxf x 故函数为奇函数，而 1 x x f xe e 为R上的增函数，故由 (2)( )0f kxf x， 有 2f k xf xfx， 所以2kxx ， 即20xkx ， 将主变量看成k（ 3,3k ） ，表示一条直线在3,3上纵坐标恒小于零
10、，则有 320 320 xx xx ，解得 1 1 2 x .所以填 1 1, 2 . 【点睛】本小题主要考查函数单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法， 考查一元一次不等式组的解法，属于中档题. 12.在锐角ABC中，tan2A，点D在边BC上，且ABD与ACD面积分别为 2 和 4， 过D作DEAB于E，DFAC于F，则DE DF 的值是_. 【答案】 16 15 【解析】 【分析】 利用三角形面积公式表示出ABD、ACD和ABC的面积，化简后代入向量数量积 DE DF ，由此求得数量积的值. 【详解】因为tan2A，且A为锐角，所以 21 sin,cos 55 AA ，根据三
11、角形面积得 1 2 2 1 4 2 ABDE ACDF ，所以 48 ,DEDF ABAC ，所以 cos DE DFDEDFA 4832cos cos A A ABACABAC .而 1 sin6 2 ABC SABACA ，化简得 12 sin ABAC A .所以 DEDF 32322116 sincos 12121555 AA . 【点睛】本小题主要考查三角形面积公式，考查向量数量积运算，考查同角三角函数的基本 关系式，考查诱导公式，考查整体与部分的思想.，属于中档题. 13.设 * N 且10则使函数sinyx在区间, 4 3 上不单调的的个数是_. 【答案】3 【解析】 【分析】
12、将问题转化为在区间(,) 4 3 上有对称轴来解决，列出关于的不等式组，解不等式组求得 的取值范围，从而确定个数. 【详解】由于函数在区间, 4 3 上不单调，故在区间(,) 4 3 上有对称轴，由sinyx， 有 2 ,(),() 2 k xkkZxkZ ，故 2 ,() 43 k kZ ，由于0，故 有 42 ,() 3 3 2 k kZ k ， 即 3 342, ()01 0 2 kkkZ1, 2k ， 求 得 5,8,9，故填3. 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、对称性，考查一元一次不等式的解法，属于中 档题. 14.已知mR，函数 2 31,1 ( ) log (1),1 x
13、x f x xx ， 2 ( )221g xxxm，若函数 ( )yf g xm有 4 个零点，则实数m的取值范围是_. 【答案】 5 ,10 7 【解析】 【分析】 画 出 函 数 f x的 图 像 ， 对m分 成 555 0,0, 0,1,1 777 mmmmmm， 14,4,4mmm等9种情况， 研究 ( )yf g xm零点个数， 由此求得m的取值范围. 【详解】令 2 2 221122tg xxxmxm ，画出函数 f x的图像如下图所 示，由图可知， （1）当0m或4m时，存在唯一 1 t，使 1 0f tm，而 1 tg x至多有两个根，不 符合题意. （2）当0m 时，由 0f
14、 t 解得 12 1 ,1 3 tt ，由 1 tg x化简得 2 2 20 3 xx，其 判别式为正数，有两个不相等的实数根；由 2 tg x化简得 2 220xx ，其判别式为正 数，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故0m 时，符合题意. （3）当4m时，由 4f t 解得 12 5 ,17 3 tt ，由 1 tg x化简得 2 26 20 3 xx， 其判别式为负数，没有实数根；由 2 tg x化简得 2 2100xx，其判别式为正数，有两 个不相等的实数根.故当4m时，不符合题意. （4）当04m时，由 f tm，根据图像可知有三个解，不妨设 123 1 1, 11
15、,2 3 ttt . 即 2 11 2 22 2 3232 313165 313165 log1log123 f ttxmm f ttxmm f ttxmm 即 2 2 2 2 31750 31550 log123 xm xm xmm . i）当 5 0 7 m时， 750 550 230 m m m ，故三个方程都分别有2个解，共有6个解，不符合 题意. ii)当 5 7 m 时， 750 550 230 m m m ，有1个解，分别有2个解，共有5个解，不符合题意. iii）当 5 1 7 m时， 750 550 230 m m m ，无解，分别有2个解，共有4个解，符合题意. iv）当1
16、m时， 750 550 230 m m m ，无解，有1个解，有两个解，共有3个解，不符合题意. v）当14m时， 750 550 231,5 m m m ，无解，无解，至多有2个解，不符合题意. 综上所述，m的取值范围是 5 ,10 7 . 【点睛】本小题主要考查复合函数零点问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合 的数学思想方法，难度较大，属于难题. 二、解答题：请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤二、解答题：请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 15.在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负
17、半轴，终边 上有一点(1,2)P. （1）求cos2sin2的值； （2）若 10 sin() 10 ，且 0, 2 ，求角的值. 【答案】 （1） 1 sin2cos2 5 ； （2） 4 . 【解析】 【分析】 （1）根据三角函数的定义求得sin,cos的值，然后利用二倍角公式求得sin2 ,cos2的 值，进而求得cos2sin2的值.（2）先求得的范围，由此求得cos的值， 利用sinsin 以及两角差的正弦公式，求得sin 的值，由此求得的值. 【详解】解： （1）角的终边上有一点 P 22 5 sin 55 ， 15 cos 55 2 554 sin22sincos2 555 2
18、2 53 cos22cos121 55 431 sin2cos2 555 （2）由0 2 ，0 2 ，得, 2 2 10 sin() 10 2 2 103 10 cos()1 sin ()1 1010 则sinsin()sincos()cossin() 2 53 105102 5105102 因 0 2 ，则 4 . 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，考查 两角差的正弦公式，属于中档题. 16.已知命题p：关于x的不等式 2 420xxm无解；命题q：指数函数( )(21) x f xm 是R上的增函数. （1）若命题p q 为真命题，求实数m的取值范
19、围； （2）若满足p为假命题且q为真命题的实数m取值范围是集合A，集合 2 |2113Bxtxt ，且AB，求实数t的取值范围. 【答案】 （1）2,).（2）11,1 【解析】 【分析】 （1）利用判别式求得p为真时m的取值范围.根据指数函数的单调性求得q为真时m的取值 范围.由于p q 为真命题，所以p真q真，求两个m的范围的交集，得到最终m的取值范围. （2） 求得p假q真时m的取值范围， 即集合A， 根据AB列不等式组， 解不等式组求得t的 取值范围. 【详解】解:（1）由p为真命题知，16 80m 解得2m，所以m的范围是2,)， 由q为真命题知，21 1m ，1m ，取交集得到2,
20、). 综上，m的范围是2,). （2）由（1）可知，当p为假命题时，2m；q为真命题，则21 1m 解得：1m 则m的取值范围是(1,2)即|12Amm， 而AB，可得， 2 21 1 132 t t 解得： 111t 所以，t的取值范围是11,1 【点睛】本小题主要考查根据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集 为空集的条件，考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题. 17.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长， (sinsin)()(sinsin)aABcbBC. （1）求角C的值： （2）设函数 3 ( )cossin 34 f xxx ，求(
21、A)f的取值范围. 【答案】 （1） 2 3 C （2） 1 0, 2 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cosC的值，进而求得C的值.（2）首先 化简 f x为sinAx的形式，在根据A的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得 fA的取值范围. 【详解】解： （1）在ABC中，因为(sinsin)()(sinsin)aABcbBC， 由正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 所以()()()a abbc cb 即 222 abcab ， 由余弦定理 222 2coscababC，得 1 cos 2 C 又因为0C，所以 2 3 C （2）因为 3 (
22、 )cossin 34 f xxx 2 133 sincoscos 224 xxx 133 sin2(cos21) 444 xx 1 sin 2 23 x 1 ( )sin 2 23 f AA 由（1）可知 2 3 C ，且在ABC中，ABC 所以0 3 A ，即2 33 A 所以0sin 21 3 A ，即 1 0( ) 2 f A 所以(A)f的取值范围为 1 0, 2 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查降次公式、辅助角公式， 考查三角函数值域的求法，属于中档题. 18.如图，在P地正西方向16km的A处和正东方向2km的B处各一条正北方向的公路AC 和BD，现计划
23、在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F. （1） 若在P处看E，F的视角45EPF， 在B处看E测得45ABE， 求AE，BF； （2） 为缓解交通压力， 决定修建两条互相垂直的公路PE和PF， 设EPA， 公路PF的 每千米建设成本为a万元， 公路PE的每千米建设成本为8a万元.为节省建设成本， 试确定E， F的位置，使公路的总建设成本最小. 【答案】 （1）18kmAE ，34kmBF ； （2）当AE为4km，且BF为8km时，成本最小 【解析】 【分析】 （ 1 ） 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到AE， 利 用135APEBPF， 以 及 tanAPEBPF的
24、展开公式列方程， 解方程求得BF的值. （2） 利用表示出,PE PF， 由此求得总成本的表达式，利用导数求得,AE BF为何值时，总成本最小. 【详解】解： （1）在Rt ABE中，由题意可知18AB ，45ABE，则18AE 在Rt APE中， 189 tan 168 AE APE AP ，在Rt BPF中tan 2 BFBF BPF BP 因为45EPF，所以135APEBPF， 于是 tantan tan() 1 tantan APEBPF APEBPF APEBPF 9 82 1 9 1 82 BF BF 所以34BF 答：18kmAE ，34kmBF （2）在Rt PAE中，由题意
25、可知APE，则 16 cos a PE 同理在Rt PBF中，PFB，则 2 sin PF 令 1082 ( )8 cossin fPEPFa ， 0 2 ， 则 22 108sin2cos ( ) cossin fa 33 22 64sincos 2 sincos a ， 令( )0f ，得 1 tan 4 ，记 0 1 tan 4 ， 0 0 2 ， 当 0 (0,)时，( )0f，( )f单调减； 当 0, 2 时，( )0f ，( )f单调增 所以 1 tan 4 时，( )f取得最小值， 此时 1 tan164 4 AEAP，8 tan BP BF 所以当AE为4km，且BF为8km
26、时，成本最小 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查解直角三角形，考查利用角度表示边长， 考查实际应用问题的求解策略，考查利用导数求最小值，属于中档题. 19.若函数( )yf x对定义域内的每一个值 1 x，在其定义域内都存在唯一的 2 x，使 12 1f xf x成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数( )sing xx是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数 1 ( )2xf x 在定义域,(0)m n m 上为“依赖函数”，求mn的取值范围； （3）已知函数 2 4 ( )() 3 h xxaa 在定义域 4 ,4 3 上为“依赖函数”.若存在实数 4 ,4 3
27、x ，使得对任意的tR，不等式 2 ( )()4h xtst x 都成立，求实数s的最大 值. 【答案】 （1）( )sing xx不是“依赖函数”； （2）0,1mn， （3） 41 12 【解析】 【分析】 （1）取特殊值 1 6 x ，得到 22 ()sin2g xx，无解，由此证得 g x不是“依赖函数”. （2）根据 f x的单调性和函数值为正数，得到( ) ( )1f m f n ，化简后求得 ,m n的关系式， 代入mn并化简， 利用二次函数单调性求得mn的取值范围. （3）对a分成 4 4 3 a，4a ， 两种情况，根据“依赖函数”的定义，求得a的值.由此化简不等式 2 (
28、)()4h xtst x ， 利用判别式和对钩函数的性质，求得实数s的最大值. 【详解】解： （1）对于函数( )sing xx的定义域R内存在 1 6 x ，则 22 ()sin2g xx， 无解. 故( )sing xx不是“依赖函数”； （2）因为 1 ( )2xf x 在,m n递增，故( ) ( )1f m f n ，即 11 221 mn ，2mn 由0nm，故20nmm，得01m， 从而(2)mnmm在0,1m上单调递增，故0,1mn， （3）若 4 4 3 a，故 2 f xxa在 4 ,4 3 上最小值为 0，此时不存在 2 x，舍去； 若4a 故 2 f xxa在 4 ,4
29、 3 上单调递减， 从而 4 41 3 ff ，解得1a （舍）或 13 3 a . 从而，存在 4 ,4 3 x ，使得对任意的tR，有不等式 2 2 13 4 3 xtst x 都成 立， 即 22 26133 0 39 txtxsx 恒成立，由 22 26133 40 39 xxsx ， 得 2 532 9 26 43 3 sxx ，由 4 ,4 3 x ，可得 26532 43 39 sx x ， 又 532 3 9 yx x 在 4 ,4 3 x 单调递减，故当 4 3 x 时， max 532145 3 93 x x ， 从而 26145 4 33 s ，解得 41 12 s ，
30、综上，故实数s的最大值为 41 12 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查指数运算以及二次函数的性质，考查一元 二次不等式恒成立问题的求解策略，考查对勾函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法， 属于中档题. 20.己知函数 2 ( )() x f xxaeb在0x 处的切线方程为10xy ，函数 ( )(ln1)g xxkx. （1）求函数 ( )f x的解析式； （2）求函数( )g x的极值； （3）设( )min ( ), ( )F xf x g x（min , p q表示p，q中的最小值） ，若( )F x在(0,)上 恰有三个零点，求实数k的取值范围. 【答案】 （1） 2
31、 1 x f xxe； （2）极小值2lnkkk，无极大值 （3） 2, e 【解析】 【分析】 （1）先求得函数 f x导数，利用切点坐标和函数在0x 时切线的斜率也即导数列方程组， 解方程组求得, a b的值，进而求得函数 f x的解析式.（2）先求得 g x的定义域和导函数， 对k分成0,0kk两种情况，通过函数的单调性讨论函数 g x的极值.（3）先根据（1） 判断出 f x有且仅有一个零点1， 故需 g x在0,上有仅两个不等于 1 的零点.根据 （2） 判断出当 2 ke时， F x没有三个零点；当 2 ke时，通过零点存在性定理以及利用导数的 工具作用，证得 g x分别在, e
32、k， 2 , k k分别有1个零点，符合题意.由此求得实数k的取 值范围. 【详解】解： （1） 22 ( )(22 )2 x fxxa xaa e 因为 f x在0x 处的切线方程为10xy 所以 2 2 021 01 faa fab ， 解得 1 0 a b 所以 2 1 x f xxe （2） g x的定义域为0,， xk gx x 若0k 时，则 0gx 0,上恒成立， 所以 g x在0,上单调递增，无极值 若0k 时，则当0xk时， 0gx ， g x在0,k上单调递减； 当xk时， 0gx ， g x在, k 上单调递增； 所以当xk时， g x有极小值2lnkkk，无极大值 （3
33、）因为 0f x 仅有一个零点 1，且 0f x 恒成立， 所以 g x在0,上有仅两个不等于 1 的零点 当0k 时，由（2）知， g x在0,上单调递增， g x在0,上至多一个零点，不合题意，舍去 当 2 0ke 时， min 2ln0g xg kkk， g x在0,无零点 当 2 ke 时， 0g x ，当且仅当 2 xe 等号成立， g x在0,仅一个零点 当 2 ke 时， 2ln0g kkk， 0g ee，所以 0g kg e， 又 g x图象不间断， g x在0,k上单调递减 故存在 1 ,xe k，使 1 0g x 又 2 2ln1g kk kk 下面证明，当 2 xe时，
34、2ln10h xxx 2 0 x h x x ， h x在 2, e 上单调递增 22 30h xh ee 所以 2 2ln10g kkkk， 2 0g kg k 又 g x图象在0,上不间断， g x在, k 上单调递增， 故存在 2 2 ,xk k，使 2 0g x 综上可知，满足题意的k的范围是 2, e 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用函数图像上某点的切 线方程求函数解析式，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法， 综合性很强，属于难题. 21.己知矩阵 12 21 M . （1）求 1 M ； （2）若曲线 22 1: 1Cxy在矩
35、阵M对应的变换作用下得到另一曲线 2 C，求 2 C的方程. 【答案】 （1） 1 12 33 21 33 M ； （2） 22 3yx 【解析】 【分析】 （1）根据逆矩阵的求法，求得M的逆矩阵 1 M .（2）设出 1 C上任意一点的坐标，设出其在 矩阵M对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关 系式，再代入 1 C方程，化简后可求得 2 C的方程. 【详解】解（1）设所求逆矩阵为 ab cd ，则 12221 0 2 1220 1 abac bd cda cb d ， 即 21 20 20 21 ac bd ac bd ，解得 1 3 2 3 2 3 1
36、 3 a b c d ，所以 1 12 33 21 33 M . （2）设曲线 1 C上任一点坐标为 00 ,x y，在矩阵M对应变换作用下得到点, x y， 则 0 0 12 21 xx yy ，即 00 00 2 2 xyx xyy ， 解得 0 0 2 3 2 3 yx x xy y . 因为 22 00 1xy，所以 22 22 1 33 yxxy ，整理得 22 3yx， 所以 2 C的方程为 22 3yx. 【点睛】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力， 属于中档题. 22.在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 63 xt yt （t为
37、参数） ，以原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 222 32cos3. （1）写出曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）已知点P是曲线 2 C上的动点，求点P到曲线 1 C的最小距离. 【答案】 （1） 1 C的普通方程为 360xy； 2 C的普通方程为 2 2 1 3 x y； （2）6 10 2 . 【解析】 【分析】 （1）消去曲线 1 C参数方程的参数t，得到 1 C的普通方程，根据极坐标和直角坐标相互转化的 公式，求得 2 C的直角坐标方程.（2）设出曲线 2 C的参数方程，利用点到直线距离公式求得点 P到曲线 1 C的
38、距离的表达式，再根据三角函数最值求得P到曲线 1 C的最小距离. 【详解】解:（1）消去参数t得到36yx， 故曲线 1 C的普通方程为 360xy 222 32cos3，由 xcos ysin 得到 222 323xyx， 即 2 2 1 3 x y，故曲线 2 C的普通方程为 2 2 1 3 x y （2）设点P的坐标为3cos ,sin， 点P到曲线 1 C的距离 3cos 2 sin6 d 10cos6 2 所以，当cos1 时，d的值最小， 所以点P到曲线 1 C的最小距离为 610 2 . 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考 查椭圆上的
39、点到直线的最小距离的求法，考查三角函数辅助角公式以及最值的求法，属于中 档题. 23.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD 平面ABCD，M为 PB的中点，6PAPD，4AB . （1）求二面角BPDA的大小； （2）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【答案】 （1） 3 .（2） 2 6 9 【解析】 【分析】 （1）取AD中点O，设,AC BD相交于E，连接OP，OE.通过等腰三角形的性质、面面 垂直的性质定理，以及正方形的性质，证得ODOEOP,由此以O为空间坐标原点建立 空间直角坐标系，通过计算平面BPD和平面APD的法向量，计算出二面角的余弦值，进而 求得二面角的大小.（2）利用直线MC的方向向量和平面BDP的法向量，计算出线面角的正 弦值. 【详解】 （1）取AD中点O，设,AC BD相交于E，连接OP，OE. 因为PAPD，所以OPAD. 又因为平面PAD 平面ABCD，且OP 平面PAD，所以OP 平面ABCD. 因为OE 平面A
