1、（全国（全国 I I 卷）卷）20202020 届高三数学上学期第二次联考试题届高三数学上学期第二次联考试题 文（含解析）文（含解析） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. . 1.命题:(1,),23 x px ，则 p 是 A. (1,),23 x x B. (,1,23 x x C. 0 0 (1,),23 x x D. 0 0 (,1,23 x x 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据全称命题的否定是特称命题可得结果. 【详解】由全称命题的否定是特称命题可得：命题:(1,),23 x px 的否定是 0 0
2、 (1,), 23 x x, 故选 C. 【点睛】本题考查了命题的否定，对于含有量词的命题的否定，只需改量词，否结论即可， 是基础题 2.已知集合 2 |20 , | 1MxxxNxx ，则MN A. |01xx B. | 11xx 剟 C. |02xx D. 11xx 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出集合M，N，由交集的定义求出MN 【详解】因为 2 |20 |02, | 1 | 11MxxxxxNxxxx剟?，所以 MN |01xx 故选 A. 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的解法，考查运算求解能力，是基础 题 3.函数 2 1 ( )ln 4 1 x f xx
3、x 的定义域是 A. 12 ， ） B. ( 2,2) C. ( 1,2) D. ( 2, 1)( 1,2) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分母不等于 0，及对数函数和根号有意义的条件列得不等式组，进行求解. 【详解】由题意可得 2 10 40 x x 解得12x ，即f x（ ） 的定义域是( 1,2) . 故选 C. 【点睛】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为 0； 4.复数z 满足|2 | |2|2ziz ，则| z A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 设z xyi ，利用复数模的计算公式列出关于 x，y 的方
4、程，解得 x，y 即可 【详解】设z xyi ，则 2222 (2)(2)2xyxy ，解得 1xy .故 22 |2zxy， 故选 B. 【点睛】本题考查了复数模的计算公式，考查了运算能力，属于基础题 5.已知 1.1 0.60.4 log0.4,log0.6,2abc ，则 A. abc B. bac C. acb D. bca 【答案】B 【解析】 【分析】 利用对数式的运算性质比较a与b的大小，再比较a，c与 2 的大小关系，由此得答案 【详解】因为 1.1 0.40.40.60.60.6 log0.6log0.41log0.6log0.4log0.3622 ，所以 bac.故选 B.
5、 【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查对数函数与指数函数的性质，借用中间量是解决 此类问题的常用方法，是基础题 6.已知非零向量a与b满足|a|2|b|，且|a 2b|=32ab，则向量a与b的夹角是 A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，对|a 2b|=32ab平方，结合|a|2|b|，求出向量a、b的夹角的余弦 值，即得a、b的夹角 【详解】因为|a 2b|=32ab，所以 2222 44344aa bbaa bb，即 22 1628a bab ， 所 以 22 28 cos 16 | ab ab a b ， 因 为 |a| 2| b
6、| ， 所 以 2 1 61 c o s 21 62 | | b ab bb ，所以a与b的夹角为 3 故选 B. 【点睛】本题考查了利用平面向量数量积求向量的模长与夹角的问题，是基础题目 7.已知函数 4 ( )(1)ee 2 xx f xm m ，则“2m ”是“f x（ ） 是奇函数”的 A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 先将 m=2 代入 f(x)中，利用奇函数的定义证明是奇函数，再说明 m 取其它值也可以使得 f(x) 为奇函数，结合充要条件的定义得结论. 【详解】因为2m，所以( )ee xx f
7、 x ，所以()eeee( ) xxxx fxf x ， 则 ( )f x 是奇函数.因为当3m 时， ()4e4e,()4e4e4e4e() xxxxxx fxfxfx ，此时( )f x也是奇函 数，故“2m”是“ ( )f x是奇函数”的充分不必要条件. 故选 D. 【点睛】本题考查了充要条件及奇函数的定义，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于 基础题. 8.函数 2 2sin| 1 ( ) x f x x 的部分图象大致是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别利用函数的奇偶性及特殊函数值进行排除，即可判断答案 【详解】因为fxf x（） （ ），所以f x（
8、）是偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 C，D；当 0 6 x 时，0f x （ ） ，排除 A. 故选 B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数值及函数的奇偶性的应用，属基础题 9.已知 * ( )2cos 3 f xx N 在 2 , 63 上单调递减，且 4 1 3 f ，则 2 3 f A. 3 B. 3 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 先由在 2 , 63 上单调递减，得到区间长度应该小于等于半个周期，可得，再由 4 1 3 f 检验即可. 【详解】因为f x（ ）在 2 , 63 上单调递减，所以 2 2 36 T ，所以02 . 因为 * N ，所以
9、1 或2 . 当1时， 44 2cos1 333 f 符合题意，此时( )2cos 3 f xx ，则 2 1 3 f ；当2时， 48 2cos0 333 f 不符合题意， 综上，( )2cos 3 f xx ，则 2 1 3 f ，故选 D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了三角函数值，属于基本知识 的考查 10.定义在R 上的函数f x（ ） 满足23f xf x（）（ ） ， 且当0,2)x 时，( )(2)f xxx， 则函数 1 ( ) 9 yf x 在( 4,4) 上的零点个数为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 由f
10、（x+2） 3f（x） ， 得到函数在其他区间的解析式， 作出函数的图象， 将问题转化为直线 1 9 y 与函数yf x （ ）在( 4,4)上的图象的交点的个数，即可求出零点个数 【详解 】设2,4)x，则20, 2)x . 因为0, 2)x时，( )(2)f xxx ，所以 (2)(2)(4)fxxx. 因 为23f xf x（）（ ）， 所 以 当2,4)x时 ， 324fxxx（ ） （）（） 同理可得当 2,0)x 时， 1 ( )(2) 3 f xx x ； 当( 4, 2)x 时， 2 11 ( )(2)(4)(68) 99 f xxxxx ，此时最大值为 x=-3 时， f(x
11、)= 1 9 , 因为函数 1 ( ) 9 yf x 在( 4,4) 上的零点个数等价于直线 1 9 y 与函数yf x （ ） 在 ( 4,4)上的图象的交点的个数， 结合f x（ ）的图象（如图） ， 直线 1 9 y 与函数yf x （ ）在( 4,4)上的图象有 7 个交点， 即函数 1 ( ) 9 yf x在( 4,4)上 有 7 个零点. 故选 C. 【点睛】本题主要考查函数零点的个数及函数解析式的求解方法，考查了数形结合思想，利 用f（x+2）3f（x）求解解析式是解决本题的关键 11.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的外接 球的表面积为
12、 A. 29 B. 34 C. 41 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，作出图形，得到球心位置利用勾股数计算得到其外 接球的半径 【详解】由三视图知（结合长方体）该几何体的实物图应为三棱锥ABCD， 故球心肯定在长方体上、下底面的中心连线 12 OO 上（设上、下底面的中心分别为 12 ,O O . 记球心为点O，设 2 OOx，则 2222 2 2211 ROOO BOOO A ， 结合三视图数据得 22 22 53 (4) 22 xx ，解得 3 2 x ，则 2 17 2 R ， 故该几何体的外接球的表面积为 2 17 4434 2 R 故选
13、 B. 【点睛】本题考查了球表面积计算公式、三棱锥的三视图及球心位置的确定，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 12.定义在R 上的函数f x（ ）满足 4(1) (2)() x ef xfx ，且对任意的1x 都有 ( )2 ( )0fxf x （其中( )fx 为f x（ ）的导数） ，则下列一定判断正确的是 A. 4 e(2)(0)ff B. 2 e(3)(2)ff C. 6 e(3)( 1)ff D. 10 e(3)( 2)ff 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意构造函数 2 ( )( ) x F xef x，由 4(1) (2)() x ef xfx 得到(2)()F xFx
14、，说明 函数 F(x)对称轴为x1，又对任意1x ，都有( )2 ( )0fxf x 成立，得到函数 F(x)在 1,)上单调递增，再比较各选项中自变量的大小即可得到函数值的大小 【详解】设 2 ( )( ) x F xef x ，则 222 ( )2e( )e( )e2 ( )( ) xxx F xf xfxf xfx ，因 为当1x 时，2( )( )0fxf x ， 所以( )0(1)F xx ， 则F x（ ） 在1,) 上单调递增. 因为 4(1) (2)() x ef xfx ，即 2(2)2 (2)e() xx ef xfx ， 所以(2)()F xFx ，所以F x（ ） 关于
15、1x 对称， 则( 2)(4)FF，因为F x（ ）在1,)上单调递增， 所以023142FFFFFF（ ）=（ ） （）=（-） （ ）=（- ），则有 4 e(2)(0)ff， 2 e(3)(2)ff， 26 e(3)e( 1)ff ， 10 e(3)( 2)ff，所以 A、B、C 均错， 故选 D. 【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等， 本题还考查了构造函数的技巧，属于难题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.函数 13 ( )exf xx 的图象在1x 处
16、的切线方程是_. 【答案】220xy 【解析】 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义求得斜率，由点斜式写出切线方程. 【详解】因为 13 ( )exf xx ， 所以 12 ( )e3 x fxx ， 所以 1 11 1 (1)e10,(1)e32ff ， 故所求切线方程为02(1), 220yxxy 即. 故答案为：220xy. 【点睛】本题主要考查导数几何意义，以及导数的基本运算比较基础 14.已知 1 tan 3 ，则sin2 _. 【答案】 3 5 【解析】 【分析】 利用二倍角公式并将所求写成齐次式形式，再将弦化为切即可. 【详解】 222 1 2 2sincos2tan3 3
17、 sin2 1 sincostan15 1 9 ， 故答案为： 3 5 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了齐次式的应用，属于基础题. 15.九章算术中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为 邪。 在四棱锥PABCD 中， 底面ABCD 为邪田， 两畔CDAB，分别为 1， 3， 正广AD 为 2 3 ，PD 平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为_；邪所在直线与平面PAD 所 成角的大小为_. 【答案】 (1). 4 (2). 6 【解析】 【分析】 过点C作CEAB， 垂足为E， 在 RtCEB中， 可求 BC 长， 即为邪长， 又由题意可证AB 平面PAD，
18、得到AFB 即为所求，在 RtAFB中，求得正切值，可得角. 【详解】过点C作CEAB，垂足为E，延长ADBC，使得ADBCF（如图） . 由题意可得2 3,2CEBE，则 1244BC 由题意知,/ /ABAD CDAB，所以 1 3 DFCD AFAB ，所以 3DF .因为PD 平面 ABCD， 所以PDAB， 又A BA D， 所以AB 平面PAD ， 则AFB 是直线BC 与 平面PAD 所成角的平面角， 33 tan 33 3 AB AFB AF ，所以 6 AFB 故答案为： 4 6 【点睛】本题以数学文化为载体，考查了线面角及线面垂直的证明，考查了转化与化归思想 及推理论证能力
19、，属于中档题. 16.在数列 n a 中， 12 11 , 45 aa ，且 * 1 114 2, (1)(1) nn nn nanan n N ，则 101184 111 aaa _. 【答案】3750 【解析】 【分析】 由题意 1 11411 4 (1)(1)1 nn nanan nnn ，由此可用累加法及裂项相消法求得 2 111 41 (1)1 n naan ，可得 1 3 n a n ，进而求得 1 n a ，利用等差数列求和公式求得 结果. 【详解】因为 1 11411 4 (1)(1)1 nn nanan nnn ， 所以 32 1141 41 22 12aa 43 11411
20、 4 323 232aa -1 11411 4 (1)(2)(1)(2)12 nn nanannnn 将以上等式累加可得： 2 111 41 (1)1 n naan ，即 1 (3) 3 n an n .因为 12 11 , 45 aa 符合上式，所以 1 3 n a n ， 则 1 3 n n a .所以 1 n a 是以 4 为首项，以 1 为公差的等差数列， 故 101184 111 13 1487 aaa 75 (1387) 3750 2 ， 故答案为：3750. 【点睛】本题考查了累加法及裂项相消法求通项及求和的方法，考查了等差数列的证明及求 和公式，考查了运算能力及推理论证能力，属
21、于中档题. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17211721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 17.设等比数列 n a的前n 项和为 134 ,10,40 n SaaS . （1）求 n a的通项公式； （2）若 31 (2)log nn bna ，求 1 n b 的前n项和 n T 【答案】 （1） 1 3 n n a； （2） 323 42(1)(2)
22、n nn 【解析】 【分析】 （1）将已知用基本量 1 a及 q 表示，联立方程组，求解即可. （2）由（1）结果求得(2) n bn n，可得 1111 22 n bnn ，由裂项相消法求得结果. 【详解】 （1）设等比数列 n a 的公比为q ，显然1q ，则 22 111 4 1 2 1 110 1 1(1)40 1 aa qaq aq aqq q 解得 1 1,3aq ， 故 11 1 3 nn n aa q （2）因为 1 3 n n a ，所以 1 3n n a ，所以 31 (2)log(2) nn bnan n ， 所以 11111 (2)22 n bn nnn 故 11111
23、1111111 1 23243546112 n T nnnn 即 1111323 1 221242(1)(2) n n T nnnn 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及求和公式的应用，考查了裂项相消法求和，属于基 础题. 18.已知函数( )log(1) a f xx a.关于x的不等式( )1f x 的解集为mn（ ， ），且 10 3 nm. （1）求a的值. （2）是否存在实数，使函数 22 1 ( ) ( )3,9 3 g xf xf xx 的最小值为 3 4 ？若存 在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）3a ； （2） 3 2 【解析】 【分析】 （1）由对数函数单
24、调性解得不等式中 x 的范围，可将 m、n 用a表示，利用 10 3 nm，解 得a. （2）令 3 log,tx则0,2,t原函数通过换元转化为 2 ( )23,0,2h tttt，利用二 次函数对称轴与 t 的范围的关系，分类讨论分别求得 h(t)的最小值，令其为 3 4 ，从而求得. 【详解】 （1）由log11log1 aa xx ，又1a ，所以 1 a xa， 又因为( )1f x 的解集为( , )m n ， 所以 1 ,na m a 因为 10 3 nm，所以 110 3 a a ，解得3a 或 1 3 a ， 因为1a ，所以3a （2）由（1）可得 22 2 3333 1
25、( )loglog3log2log3,9 3 g xxxxxx 令 3 1 log,9 3 tx x ，则 2 0,2, ( )23,0,2th tttt 当0 时， min 3 ( )(0)3 4 h th，不符合题意； 当02剟 时， 22 min 3 ( )( )23 4 h th ， 解得 3 2 ， 又02， 则 3 2 当2 时， min 3 ( )(2)443 4 h th ，解得 25 2 16 ，不符合题意. 综上，存在实数 3 2 符合题意 【点睛】本题考查了对数函数单调性的应用，考查了二次函数性质及运算求解能力，考查了 分类讨论的数学思想，属于中档题. 19.如图，在四棱
26、锥PABCD 中，PA 平面ABCD ，底面ABCD是等腰梯形，且 / /ADBC ，其中 2 5,2,24 2,ABPABCADACBDE . （1）证明：平面PBD 平面PAC . （2）求点B 到平面PDC 的距离。 【答案】 （1）见解析； （2） 6 14 7 【解析】 【分析】 （1）由题意结合已知数据，利用勾股数证得ACBD，又由PA 平面,ABCD可得 PABD，从而证得BD 平面PAC，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （2）先求得 P BDC V ,利用余弦定理及三角形面积公式求得 PDC S，利用等体积转化根据 P BDCB PDC VV 可得距离. 【详解】 （1）过
27、点A作AHBC交BC于点H. 因为底面ABCD 是等腰梯形，且 24 2BCAD ，所以2,3 2BHHC 在Rt ABH 中， 22 2023 2AHABBH ，同理可得6AC 因为BEC 与DEA 相似，所以2AEDE ， 所以 222 448AEDEAD ，则ACBD 因为PA 平面,ABCD BD 平面ABCD，所以PABD 因为PA 平面,PAC AC 平面PAC，且PAACA ，所以BD 平面PAC 因为BD 平面PBD ，所以平面PBD 平面PAC （2）因为PA 平面ABCD，所以,PAAC PAAD ， 因为2,2 2,6PAADAC ，所以2 3,2 10PDPC 在PDC
28、 中，因为2 3,2 10,2 5PDPCCD ， 所以 2040 123 2 cos 52 2 52 10 PCD ， 所以 7 sin 5 PCD ，则PDC的面积为 117 sin2 102 52 14 225 PC CDPCD 设点B到平面PDC 的距离为h，则三棱锥BPCD的体积 2 14 3 h V 因为 11 4 23 228 32 P BDC VV ，所以 2 14 8 3 h ，解得 6 14 7 h 故点B到平面PDC的距离为 6 14 7 【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了点面距离的求法，等体积转化是解决此类 问题的常用方法，属于中档题. 20.在ABC 中，角
29、ABC， ， 所对的边分别为abc， ， .已知 cos(2)cos ,3bCacB b . （1）若2c ，求ABC的周长； （2）若ABC为锐角三角形，求a c 的取值范围. 【答案】 （1）33； （2）( 1,1) 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理将已知条件边化角，化简后求得 B，再利用余弦定理求得a，可得周长. （2）利用正弦定理将a c 化为角的三角函数，化简后利用 A 的范围及正弦函数的性质求解 范围. 【详解】 （1）因为cos(2)cosbCacB，所以sincos(2sinsin)cosBCACB， 所以2sincossincoscossinsin()sinABBCB
30、CBCA 因为sin0A，所以 1 cos 2 B ，所以 3 B 因为3,2bc ，且 222 2cosbacacB，所以 2 210aa ，即 1a ， 则ABC 的周长为33abc （2）因为2 sinsinsin abc ABC ，所以 2 2sin,2sin2sin 3 aA cCA 则 213 2sin2sin2sincos2sin 3223 acAAAAA 因为ABC为锐角三角形，所以 0 2 2 0 32 A A ，所以 62 A ， 则 636 A ，从而 1 1 sin, 32 2 A 故a c 的取值范围是( 1,1) 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了三角函数的
31、恒等变形及正弦函数的性质，其 中求解锐角三角形中角 A 的范围是易错点. 21.已知函数( )lnf xxx . （1）求 ( )f x的单调区间与最值； （2）若(0,)x，不等式 2e 2ln1 0 x xxax 恒成立，求a的取值范围. 【答案】 （1）单调递增区间01（ ， ），单调递减区间为(1,)， max ( )1,( )f xf x 无最小 值； （2）(,1 【解析】 【分析】 （1）对 f(x)求导，利用导函数的正负可得原函数的单调性及最值. （2）利用（1）的结论得到 2e 2ln1 x xxx，将所求不等式进行分类参数后得到 2e 2ln1( 0) x xx ax x
32、，利用上述结论可得 2e 2ln12ln1 2ln1 1 x xxxxx xx ，再说明等号可以成立，即可得到结果. 【详解】 （1）因为( )lnf xxx，所以 11 ( )1,(0,) x fxx xx 所以当(0,1)x 时，0f x （ ）；当(1,)x 时，( )0fx ， 则f x（ ）的单调递增区间为01（ ， ），单调递减区间为(1,) 故 max ( )(1)1,( )f xff x 无最小值 （2）由（1）可知ln1xx ，即ln1xx， 则 22 elne1 xx xx ，即 2e 2ln1 x xxx 若 2e 2ln1 0 x xxax ，则 2e 2ln1 (0)
33、 x xx ax x 因为 2e 2ln1 x xxx ，所以 2e 2ln12ln1 2ln1 1 x xxxxx xx （当且仅当 2e 1 x x 时，等号成立） ，而 2 1 ex x 显然有解. 故1a ，即a的取值范围为(,1 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间及最值，考查了解决不等式恒成立问题的 方法技巧，其中利用 2e 2ln1 x xxx进行放缩是难点，属于较难题型. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 4 4 xk yk （k为参数） ，以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos1 3 . （1）求直线l和
34、曲线C的普通方程； （2）已知点(2,0)P，且直线l和曲线C交于AB，两点，求| |PAPB 的值 【答案】 （1） 2 4yx，320xy； （2）8 3 【解析】 【分析】 （1） 消去曲线 C 中的参数可得 C 的普通方程， 利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的 普通方程. （2）由直线的普通方程可知直线l过 P，写出直线l的参数方程，与曲线 C 的普通方程联立， 利用直线参数的几何意义及韦达定理可得结果. 【详解】 （1）因为曲线C 的参数方程为 2 4 4 xk yk （k为参数） ，所以消去参数k， 得曲线C的普通方程为 2 4yx 因为直线l 的极坐标方程为cos1 3
35、，即cos3 sin2 ， 所以直线l的普通方程为320xy （2）因为直线l经过点2 0P （ ， ） ，所以得到直线l的参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt （t为参数） 设 1122 3131 2,2, 2222 AttBtt ， 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得 2 8 3320tt， 则 1212 8 3,320ttt t ， 故 1212 | |8 3PAPBtttt 【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程及参数方程的互化，考查了直线参数方程及 参数的几何意义，属于中档题. 23.已知正实数ab，满足4ab . （1）求 14 ab 的最小值. （2）证明： 2
36、2 1125 2 ab ab 【答案】 （1） 9 4 ； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果. （2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可. 【详解】 （1）因为4ab ，所以 141414 5 44 abba ababab 因为00ab， ，所以 4 4 ba ab （当且仅当 4ba ab ，即 48 , 33 ab 时等号成立） ， 所以 1419 5(54) 444 ba ab （2）证明： 22 22 1111 4 11 22 ab abab ab ab 因为4ab ，所以 1111111 ()2(22)1 444 ab ab ababba 故 22 1125 2 ab ab （当且仅当2ab 时，等号成立） 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属 于中档题.
