1、2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）方程2x23（x6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A2，3，6B2，3，18C2，3，6D2，3，62（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD3（3分）如果一元二次方程x23x10的两根为x1，x2，那么x1+x2（）A3B3C1D14（3分）已知x8是一元二次方程x2+mx80的一个解，则m的值是（）A4B4C7或7D75（3分）配方法解方程x2+8x+70，则方程可化为（）A（x4）29B（x+4）29C（x8）2
2、16D（x+8）2166（3分）对于二次函数y（x1）2，下列结论错误的是（）A开口向上B当x2时，y随x的增大而增大C函数图象与x轴没有公共点D函数有最小值7（3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A289（1x）2256B256（1x）2289C289（12x）2256D256（12x）22898（3分）已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则点（ac，bc）在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9（3分）已知两点A（5，y1），B（1，y2）均在抛物线yax2+bx+c（a0）上，点C（x0，y0）
3、是该抛物线的顶点，若y1y2y0，则x0的取值范围是（）Ax05Bx01Cx03D5x0110（3分）ABC中，AB4，AC2，以BC为边在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为（）A62B6C4+22D32二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 12（3分）若y（a+3）x|a|1+3x是二次函数，则a 13（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
4、14（3分）点A（2，m），B（1，n）是抛物线yx21上的两点，直线ykx+b经过A、B两点，不等式x21kx+b的解集为 15（3分）在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了 m16（3分）抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），且对称轴为直线x1，其部分图象如图所示对于此抛物线有如下四个结论：b2a；4a+2b+c0；若nm0，则x1+m时的函数值小于x1n时的函数值；点（-c2a，0）一定在此抛物线上其中正确的结论是 三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）（1）解方程：x24x10（2）解不等
5、式：2x13（1+x）18（8分）如图，将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE，点E落在BC的延长线上求证：31+219（8分）已知抛物线经过点（1，0），（3，0），且函数有最小值4（1）求抛物线的解析式；（2）若0x4，求函数值y的取值范围20（8分）在85的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90，画出对应线段CD；（2）在线段AB上画点E，使BCE45（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，
6、并简要说明画法21（8分）如图，AB是O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分DPF，连DF交AB于点G（1）求证：CDEF；（2）若DPF60，PE：PF1：3，AB213，求OG的长22（10分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格x元（元/千克）3035404550日销售量p（千克）6004503001500（1）请直接写出p与x之间的函数关系式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需
7、支出a元（a0）的相关费用，当40x45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值23（10分）问题背景如图1，在ABC中，ABC45，ADBC于点D，E是AD上的一点，且DEDC，连接BE求证：BEAC；迁移运用如图2，ABC是等腰直角三角形，ACB90，D是ABC外的一点，且AD=2AC，把点D绕点C逆时针方向旋转90得到点E，连接BE，求证：BE=2CE；拓展创新如图3，ABC是等腰直角三角形，ACB90，D是ABC外的一点，且ADC30，E是AB的中点，连接DE，若AD4，DE=722，则ACD的面积为 （直接写出结果）24（12分）如图，抛物线yax2+3ax+4与x轴交于A
8、，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且SABC10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P作PDx轴于点D，若BPD2BCO，求ADDB的值；（3）如图2，设BP与AC的交点为Q，连接PC，是否存在点P，使SPCQSBCQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）方程2x23（x6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A2，3，6B2，3，18C2，3，6D2，3，6【解答】
9、解：方程2x23（x6），去括号，得2x23x18，整理，得2x23x+180，所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，18，故选：B2（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误故选：C3（3分）如果一元二次方程x23x10的两根为x1，x2，那么x1+x2（）A3B3C1D1【解答】解：根据题意可得x1+x2=-ba=-31=3，故选：B4（3分）
10、已知x8是一元二次方程x2+mx80的一个解，则m的值是（）A4B4C7或7D7【解答】解：x8是一元二次方程x2+mx80的一个解，82+8m80，m7故选：D5（3分）配方法解方程x2+8x+70，则方程可化为（）A（x4）29B（x+4）29C（x8）216D（x+8）216【解答】解：方程移项得：x2+8x7，配方得：x2+8x+169，即（x+4）29故选：B6（3分）对于二次函数y（x1）2，下列结论错误的是（）A开口向上B当x2时，y随x的增大而增大C函数图象与x轴没有公共点D函数有最小值【解答】解：对于二次函数y（x1）2，a10，抛物线的开口方向向上，A选项正确；抛物线的对称
11、轴为直线x1，抛物线的开口方向向上，当x1时，y随x的增大而增大，当x2时，y随x的增大而增大，B选项正确；抛物线的顶点为（1，0）在x轴上，抛物线与x轴只有一个交点，C选项错误；a10，函数在x1时有最小值1，D选项正确综上，错误的选项为：C故选：C7（3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A289（1x）2256B256（1x）2289C289（12x）2256D256（12x）2289【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1x）2，方程为289（1x）2256故选：A8（3分）已知二次函数yax2+bx+
12、c的图象如图所示，则点（ac，bc）在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：函数开口向下，因而a0，对称轴在y轴的右侧，则b与a异号，因而b0，与y轴的正半轴相交，因而c0，ac0，bc0，横坐标小于0，纵坐标大于0，因而点在第二象限，则点（ac，bc）在第二象限故选：B9（3分）已知两点A（5，y1），B（1，y2）均在抛物线yax2+bx+c（a0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1y2y0，则x0的取值范围是（）Ax05Bx01Cx03D5x01【解答】解：两点A（5，y1），B（1，y2）均在抛物线yax2+bx+c（a0）上，点C（x0，y0）是该抛物线
13、的顶点，若y1y2y0，则此函数开口向上，有最小值，-5-12x01或x01，解得，x03故选：C10（3分）ABC中，AB4，AC2，以BC为边在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为（）A62B6C4+22D32【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角AOF，且AOF90，四边形BCDE是正方形，BOCO，BOC90，AOF是等腰直角三角形，AOFO，AF=2AO，BOCAOF90，AOBCOF，且BOCO，AOFO，AOBFOC（SAS），ABCF4，若点A，点C，点F三点不共线时，AFAC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AFAC+CF，AFAC+CF2+
14、46，AF的最大值为6，AF=2AO，AO的最大值为32故选：D二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，3）【解答】解：点（2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，3）故答案是：（2，3）12（3分）若y（a+3）x|a|1+3x是二次函数，则a3【解答】解：当|a|12且a+30时，y（a+3）x|a|1+3x是二次函数，a3（舍去），a3故答案为313（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支
15、干长出的小分支个数是 6【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，依题意得：1+x+x243，整理得：x2+x420，解得：x17（不合题意，舍去），x26故答案为：614（3分）点A（2，m），B（1，n）是抛物线yx21上的两点，直线ykx+b经过A、B两点，不等式x21kx+b的解集为 x1或x2【解答】解：点A（2，m），B（1，n）是抛物线yx21上的两点，当x1或x2时，抛物线图象在直线图象上方，故不等式x21kx+b的解集为x1或x2故答案为：x1或x215（3分）在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为
16、8m，那么液面上升了 1或7m【解答】解：连接OA，作OGAB于G，AB6m，AG=12AB3m，油槽直径为10mOA5m，OG4m，即弦AB的弦心距是4m，同理当油面宽AB为8m时，弦心距是3m，当油面没超过圆心O时，油上升了1m；当油面超过圆心O时，油上升了7m故答案为1或716（3分）抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），且对称轴为直线x1，其部分图象如图所示对于此抛物线有如下四个结论：b2a；4a+2b+c0；若nm0，则x1+m时的函数值小于x1n时的函数值；点（-c2a，0）一定在此抛物线上其中正确的结论是 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x1，-b2a=1，b2a，故正确；抛
17、物线的对称轴为直线x1，而点（2，0）关于直线x1的对称点的坐标为（4，0），抛物线开口向下，当x2时，y0，4a+2b+c0，故正确；抛物线开口向下，对称轴为直线x1，横坐标是1n的点的对称点的横坐标为1+n，若nm0，1+n1+m，x1+m时的函数值大于x1n时的函数值，故错误；b2a，抛物线为yax22ax+c，抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），4a+4a+c0，即8a+c0，c8a，-c2a=4，点（2，0）的对称点是（4，0），点（-c2a，0）一定在此抛物线上，故正确，故答案为：三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）（1）解方程：x24x10（2）解不等式：2x13（
18、1+x）【解答】解：（1）x24x10，x24x1，x24x+45，即（x2）25，x2=5，x12+5，x22-5（2）去括号得：2x13+3x，移项得：2x3x3+1，合并得：x4，解得：x418（8分）如图，将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE，点E落在BC的延长线上求证：31+2【解答】证明：将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE，ABE2，31+ABE，31+219（8分）已知抛物线经过点（1，0），（3，0），且函数有最小值4（1）求抛物线的解析式；（2）若0x4，求函数值y的取值范围【解答】解：（1）抛物线经过点（1，0），（3，0），抛物线的对称轴为直线x1，函数有最小值4，抛物线的
19、顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为ya（x1）24，把（1，0）代入得4a40，解得a1，抛物线解析式为y（x1）24（2）y（x1）24，抛物线开口向上，函数有最小值为4，当x4时，y（41）245，当0x4时，函数值y的取值范围是4y520（8分）在85的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90，画出对应线段CD；（2）在线段AB上画点E，使BCE45（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点
20、F，并简要说明画法【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；（2）如图所示：BCE即为所求；（3）连接（5，0），（0，5），可得与OA的交点F，点F即为所求，如图所示：21（8分）如图，AB是O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分DPF，连DF交AB于点G（1）求证：CDEF；（2）若DPF60，PE：PF1：3，AB213，求OG的长【解答】（1）证明：如图，过点O作OMEF于点M，ONCD于点N，连接OF、OD，则OMFOND90，PB平分DPF，OMEF，ONCD，OMON，在RtOFM和RtODN中，OF=ODOM=ON，RtOFMRtODN（HL），FMDN
21、，OMEF，ONCD，EF2FM，CD2DN，CDEF；（2）PE：PF1：3，设PEx，PF3x，则EFPE+PF4x，OMEF，EMFM=12EF2x，PMEMPE2xxx，PB平分DPF，DPF60，FPBDPB=12DPF30，OM=33x，OP=233x，在RtOPM和RtOPN中，OP=OPOM=ON，RtOPMRtOPN（HL），PMPN，由（1）知：FMDN，PM+FMPN+DN，PFPD，DPF60，PDF是等边三角形，PB平分DPF，PBDF，垂足为G，DFPF3x，FG=12DF=3x2，PG=PF2-FG2=(3x)2-(32x)2=33x2，OGPGOP=33x2-2
22、33x=53x6，AB213，OF=12AB=13，在RtOFG中，根据勾股定理，得OG2+FG2OF2，（53x6）2+（3x2）2（13）2，整理，得x23，解得x3（负值舍去），x=3，OG=53x6=5336=5222（10分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格x元（元/千克）3035404550日销售量p（千克）6004503001500（1）请直接写出p与x之间的函数关系式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售
23、1千克这种农产品需支出a元（a0）的相关费用，当40x45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为pkx+b，则30k+b=60040k+b=300，解得：k30，b1500，p30x+1500，检验：当x35，p450；当x45，p150；当x50，p0，符合一次函数解析式，所求的函数关系为p30x+1500；（2）设日销售利润wp（x30）（30x+1500）（x30），即w30x2+2400x45000，当x=-24002(-30)=40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（
24、3）日获利wp（x30a）（30x+1500）（x30a），即w30x2+（2400+30a）x（1500a+45000），对称轴为x=-2400+30a2(-30)=40+12a，若a10，则当x45时，w有最大值，即w2250150a2430（不合题意）；若a10，则当x40+12a时，w有最大值，将x40+12a代入，可得w30（14a210a+100），当w2430时，243030（14a210a+100），解得a12，a238（舍去），综上所述，a的值为223（10分）问题背景如图1，在ABC中，ABC45，ADBC于点D，E是AD上的一点，且DEDC，连接BE求证：BEAC；迁移运
25、用如图2，ABC是等腰直角三角形，ACB90，D是ABC外的一点，且AD=2AC，把点D绕点C逆时针方向旋转90得到点E，连接BE，求证：BE=2CE；拓展创新如图3，ABC是等腰直角三角形，ACB90，D是ABC外的一点，且ADC30，E是AB的中点，连接DE，若AD4，DE=722，则ACD的面积为 37-2（直接写出结果）【解答】（1）证明：如图1，延长BE交AC于F，ADBC，ADCADB90，DAB90ABC45，ABCDAB，ADBD，DEDC，BDEADC（SAS），DBEDAC，DAC+C90，BDE+C90，BFC90，BEAC；（2）证明：如图2，延长BC至F，使CFBC，
26、ABC是等腰直角三角形，ACBC，ACFACB90，ACCF，ACD+DCF90，DCE90，ECF+DCF90，ACDECF，CECD，ECFDCA（SAS），CFAD，CFEF=ACAD=12，EFBF=AD2AC=12，CFEF=EFBF，FF，ECFBEF，BEEC=BFEF=2，BE=2EC；（3）解：如图3，连接CE，将CED绕点E顺时针旋转90至AEF，并延长FA交CD于G，DEF90，DEEF，CDAF，DF=2DE=7，由（1）知，FGCD，AGADsinADC412=2，DGADcosADC432=23，在RtDGF中，FG=DF2-DG2=72-(23)2=37，AFFG
27、AG=37-2，CDAF=37-2，SACD=12CDAG=122(37-2) =37-2，故答案是：37-224（12分）如图，抛物线yax2+3ax+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且SABC10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P作PDx轴于点D，若BPD2BCO，求ADDB的值；（3）如图2，设BP与AC的交点为Q，连接PC，是否存在点P，使SPCQSBCQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把x0代入yax2+3ax+4得y4，点C坐标为（0，4），OC4，SABC=12ABOC
28、2AB10，AB5，抛物线对称轴为直线x=-3a2a=-32，点A横坐标为-32-52=-4，点B横坐标为-32+52=1，即点A坐标为（4，0），点B坐标为（1，0），把（1，0）代入yax2+3ax+4得04a+4，解得a1，yx23x+4（2）设BP交y轴于点E，PDx轴，PDOC，BPDBEO，BEO2BCO，EBCECB，EBEC，设OEm，则CEBE4m，在RtBOE中，由勾股定理得BE2OB2+OE2，1+m2（4m）2，解得m=158，点E坐标为（0，158）设直线BE解析式为ykx+b，将（0，158），（1，0）代入ykx+b得158=b0=k+b，解得k=-158b=158，y=-158x+158令x23x+4=-158x+158，解得x=-178或x1，点D的横坐标为-178，AD=-178-（4）=158，BD1（-178）=258，ADDB=158258=35（3）不存在，理由如下：作PMx轴交AC延长线于点M，SPCQSBCQ，Q为BP中点，PMQBAQ，PMBA5，设P（t，t23t+4），则M（t+5，t23t+4），设直线AC解析式为yax+b，把（4，0），（0，4）代入解析式得0=-4a+b4=b，解得a=1b=4，yx+4，点M在直线AC上，t23t+4t+5+4，该方程无解，符合题意的点P不存在第23页（共23页）
