1、八年级下学期数学压轴题训练定义：任意两个数 a，b，按规则 c=ab+a+b 扩充得到一个新数 c，称所得的新数 c 为“如意数”(1) 若 a=2，b=1，求出 a，b 的“如意数”c(2) 如果 a=m-4，b=-m，求 a，b 的“如意数”c，并证明“如意数”c0(3) 已知 a=12-3，且 a，b 的“如意数”c=5+43，求 b 的值阅读理解：材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：112=1-12，123=12-13，134=13-14，145=14-15，发现规律：1nn+1=1n-1n+1（n 为正整数），并证明了此规律成立应用规律，快速计算：112+123+134+191
2、0=1-12+12-13+13-14+19-110=1-110=910根据材料，回答问题：在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题请将下面的探究过程，补充完整(1) 具体运算：特例 1：1+112+122=1+112=1+1-12，特例 2：1+122+132=1+123=1+12-13，特例 3：1+132+142=1+134=1+13-14，特例 4：（填写一个符合上述运算特征的例子）(2) 发现规律：1+1n2+1n+12=（n 为正整数），并证明了此规律成立(3) 应用规律：计算：1+112+122+1+122+132+1+132+1
3、42+1+182+192+1+192+1102；如果 1+112+122+1+122+132+1+1n-22+1n-12+1+1n-12+1n2=n-15，那么 n=如图 1，在 ABC 中，AB=AC，以 AB 为直角边作等腰直角三角形 ABD，与 BC 边交于点 E(1) 若 ACE=18，则 ECD=；(2) 探索：ACE 与 ACD 有怎样的数量关系？猜想并证明(3) 如图 2，作 ABC 的高 AF 并延长，交 BD 于点 G，交 CD 延长线于点 H，求证：CH2+DH2=2AD2如图 1，在平行四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=5cm，ACAB，ACD 沿 AC 的方向匀
4、速平移得到 PNM，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s，当 PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图 2，设移动时间为 ts（0t4），连接 PQ，MQ，解答下列问题：(1) 当 t 为何值时，PQMN？(2) 当 t 为何值时，CPQ=45？(3) 当 t 为何值时，PQMQ？类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”(1) 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件(2) 小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形她的猜想正
5、确吗？请说明理由(3) 如图 2，小红作了一个 RtABC，其中 ABC=90，AB=2，BC=1，并将 RtABC 沿 ABC 的平分线 BB 方向平移得到 ABC，连接 AA，BC小红要使得平移后的四边形 ABCA 是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段 BB 的长）？如图，在平面直角坐标系中，已知点 A0,4，AOB 为等边三角形，P 是 x 负半轴上个动点（不与原点 O 重合)，以线段 AP 为一边在其右侧作等边三角形 APQ(1) 求点 B 的坐标(2) 在点 P 的运动过程中，ABQ 的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由(3) 连接 OQ，当 OQAB
6、时，求 P 点的坐标解答下列问题(1) 【初步探究】如图 1，在四边形 ABCD 中，B=C=90，点 E 是边 BC 上一点，AB=EC，BE=CD，连接 AE，DE判断 AED 的形状，并说明理由(2) 【解决问题】如图 2，在长方形 ABCD 中，点 P 是边 CD 上一点，在边 BC，AD 上分别作出点 E，F，使得点 F，E，P 是一个等腰直角三角形的三个顶点，且 PE=PF，FPE=90要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法(3) 【拓展应用】（1）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A2,0，点 B4,1，点 C 在第一象限内，若 ABC 是等腰直角三角形，则点
7、C 的坐标是（2）如图 4，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A1,0，点 C 是 y 轴上的动点，线段 CA 绕着点 C 按逆时针方向旋转 90 至线段 CB，CA=CB，连接 BO，BA，则 BO+BA 的最小值是将一张直角三角形纸片 ABO 放置在平面直角坐标系中，点 A3,0，B0,1，O0,0，P 是边 AB 上的一点（点 P 不与点 A，B 重合），沿着 OP 折叠该纸片，得点 A 的对应点 A(1) 如图，当点 A 在第一象限，且满足 ABOB 时，求点 A 的坐标(2) 如图，当 P 为 AB 的中点时，求 AB 的长(3) 当 BPA=30 时，求点 P 的坐标（直接写出
8、结果即可）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A 、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP，BH(1) 求证：APB=BPH；(2) 当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；(3) 设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由解答下列问题(1) 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=100
9、，B=ADC=90E，F 分别是 BC，CD 上的点且 EAF=50探究图中线段 EF，BE，FD 之间的数量关系小明同学探究的方法是：延长 FD 到点 G，使 DG=BE，连接 AG，先证明 ABEADG，再证明 AEFAGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2) 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且 2EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3) 如图 3，四边形 ABCD 是边长为 7 的正方形，EBF=45，直接写出 DEF 的周长如图，把边长为 6cm 的正方形
10、ABCD（正方形四边都相等，四个角都是直角，对边平行）和直角边长为 6cm 的等腰直角三角形一边 CD 重合，拼成一个梯形 ABED点 P 从点 A 出发向点 D 运动，到达点 D 之后返回 A，速度为 1cm/s；点 Q 从点 B 出发向点 E 运动，到达点 E 之后返回点 B，速度为 acm/s两点同时运动，当其中一个点到达终点的时候，两点均停止运动，设运动时间为 ts(1) 若 a=3当 BPQD 时，求 t 值当 ABPCDQ 时，求 t 值(2) 若满足 ABPCDQ 时的 t 值恰好为 3 个，直接写出 a 的值如图，矩形 OABC 的两条边 OA，OC 分别在 y 轴和 x 轴上
11、，已知点 B 坐标为 4,-3把矩形 OABC 沿直线 DE 折叠，使点 C 落在点 A 处，直线 DE 与 OC，AC，AB 的交点分别为 D，F，E(1) 线段 AC=；(2) 求点 D 坐标及折痕 DE 的长；(3) 若点 P 在 x 轴上，在平面内是否存在点 Q，使以 P，D，E，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由如图，O 为坐标原点，四边形 OABC 为矩形，顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为 10,4，点 D 是 OA 的中点，动点 P 在线段 BC 上以每秒 2 个单位长的速度由点 C 向 B 运动设动点
12、P 的运动时间为 t 秒(1) 当 t=时，四边形 PODB 是平行四边形？(2) 在直线 CB 上是否存在一点 Q，使得四边形 ODPQ 是菱形？若存在，求 t 的值，并求出 Q 点的坐标，若不存在，请说明理由；(3) 在点 P 运动的过程中，线段 PB 上有一点 M，且 PM=5，求四边形 OAMP 的周长最小值在平行四边形 ABCD 中，ADC 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 AB 于点 F(1) 如图，证明：BE=BF(2) 如图，若 ADC=90，O 为 AC 的中点，G 为 EF 的中点，试探究 OG 与 AC 的位置关系，并说明理由(3) 如图，若 ADC=60，过点 E
13、 作 DC 的平行线，并在其上取一点 K（与点 F 位于直线 BC 的同侧），使 EK=BF，连接 CK，H 为 CK 的中点，试探究线段 OH 与 HA 之间的数量关系，并对结论给予证明小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题(1) 他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立即如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 AD=BD=CD，求证：BAC=90(2) 如图，已知矩形 ABCD，如果在矩形外存在一点 E，使得 AECE，求证：BEDE（可以直接用第（1）问
14、的结论）(3) 在第（2）问的条件下，如果 AED 恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边 AB 与 BC 的数量关系如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形(1) 概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由(2) 性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，ACBD试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；(3) 解决问题：如图 3，分别以 RtACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG，GE已知 AC=4，AB=5，求 GE
15、 长如图甲所示，已知直线 y1=-34x+92 与 x 轴和 y 轴分别相交于点 A，B，直线 y2=kx+3-2k（k0）与 y 轴相交于点 C，两直线交于点 P(1) 求 AOB 的面积；(2) 如图乙所示，过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 D，若点 B，C 关于直线 DP 对称，求点 C 的坐标；(3) 当 BCP 是以 BC 为腰的等腰三角形，求直线 y2 的函数解析式如图，在平面直角坐标系中，过点 B6,0 的直线 AB 与直线 OA 相交于点 A4,2，动点 M 在 y 轴上运动(1) 求直线 AB 的函数关系式；(2) 当点 M 的坐标为时，AM+BM 的长最小；(3)
16、 在 y 轴的负半轴上是否存在点 M，使 ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标是 0,8，点 B 的坐标是 6,0，连接 AB若动点 P 从点 O 开始，按 O-A-B-O 的路径匀速运动，且速度为每秒 1 个单位长度，设运动的时间为 t 秒(1) 当点 P 恰好在 ABO 的平分线上时，点 P 的坐标是；(2) 当 t 为何值时，BOP 是以 OB 为腰的等腰三角形？(3) 另有一点 Q，从点 O 开始，按 O-B-A-O 的路径运动，且速度为每秒 2 个单位长度，若 P，
17、Q 两点同时出发，当 P，Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动当 t 为何值时，直线 PQ 把 ABO 的周长分成相等的两部分？如图，A，B 是分别在 x 轴上的原点左右侧的点，点 P2,m 在第一象限内，直线 PA 交 y 轴于点 C0,2，直线 PB 交 y 轴于点 D，SAOC=10(1) 求点 A 的坐标及 m 的值；(2) 若 SBOP=SDOP，求直线 BD 的解析式；(3) 在（2）的条件下，直线 AP 上是否存在一点 Q，使 QAO 的面积等于 BOD 面积？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由答案1. 【答案】(1) c=ab+a+b=21+2+1=22+1(
18、2) c=m-4-m+m-4+-m=-m2+4m-4=-m-22,因为 m-220，所以 c0(3) a=12-3=2+3，所以 5+43=2+3b+2+3+b即 3+3b=3+33b=3+333+3=33+33-33+33-3=32. 【答案】(1) 1+142+152=1+145=1+14-15（答案不唯一）(2) 1+1nn+1=1+1n-1n+1(3) 1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+182+192+1+192+1102=1+1-12+1+12-13+1+13-14+1+18-19+1+19-110=9+1-12+12-13+13-14+18-19+19
19、-110=9+1-110=10-110=9910. 53. 【答案】(1) 45(2) ACE=ACD-45；理由如下：由（1）得：BAC=180-2ACE，DAC=BAC-90=90-2ACE，AC=AD，ACD=12180-DAC=12180-90-2ACE=45+ACE，ACE=ACD-45(3) 连接 BH，如图 2 所示：由（2）得：ECD=45，AB=AC，AFBC，BF=CF，BH=CH，HBC=BCD=45，BHC=90，BH2+DH2=BD2ABD 是等腰直角三角形，BD2=2AD2，CH2+DH2=2AD2【解析】(1) AB=AC，ABC=ACE=18，BAC=180-1
20、8-18=144， 以 AB 为直角边作等腰直角三角形 ABD，BAD=90，AB=AD，DAC=144-90=54，AB=AC，AC=AD，ACD=12180-54=63，DCE=ACD-ACE=63-18=454. 【答案】(1) 因为 AB=3cm，BC=5cm，ACAB，所以 AC=52-32=4，由题意得：AP=t，CQ=t，CP=4-t，因为 ABMN，所以当 PQMN 时，则 ABPQ，所以 CPCA=CQCB，即：4-t4=t5，解得：t=209；所以当 t=209 时，PQMN(2) 过点 Q 作 QHAC 于点 H，所以 QHBA，所以 CQHCBA，所以 CQ:QH:CH
21、=CB:BA:CA=5:3:4，所以 QH=35t，CH=45t，所以 PH=4-t-45t=4-95t，当 CPQ=45 时，则 PQH 为等腰直角三角形，所以 PH=QH，即：35t=4-95t，解得：t=53，所以当 t=53 时，CPQ=45(3) 过点 P 作 PDBC，若 PQMQ，则 PQM=PDQ，因为 PMBC，所以 MPQ=PQD，所以 PQDMPQ，所以 PQMP=DQQP，所以 PQ2=MPDQ，所以 PD2+DQ2=PQ2=MPDQ因为 PDC=BAC=90，ACB=DCP，所以 PDCBAC，所以 CPCB=CDCA=PDBA，即：4-t5=CD4=PD3，解得：C
22、D=16-4t5，PD=12-3t5，所以 DQ=CD-CQ=16-4t5-t=16-9t5，所以 12-3t52+16-9t52=516-9t5，解得：t1=32，t2=0（舍去），所以当 t=32 时，PQMQ5. 【答案】(1) AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB(2) 小红的结论正确理由如下：因为四边形的对角线互相平分，所以这个四边形是平行四边形，因为四边形是“等邻边四边形”，所以这个四边形有一组邻边相等，所以这个“等邻边四边形”是菱形(3) 由 ABC=90，AB=2，BC=1，得：AC=5，因为将 RtABC 平移得到 RtABC，所以 BA=AA，ABAB
23、，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC=5，（）如图 1，当 AA=AB 时，BB=AA=AB=2，（）如图 2，当 AA=AC 时，BB=AA=AC=5，（）当 AC=BC=5 时，如图 3，延长 CB 交 AB 于点 D，则 CBAB，因为 BB 平分 ABC，所以 ABB=12ABC=45，所以 BBD=ABB=45，所以 BD=BD，设 BD=BD=x，则 CD=x+1，BB=2x，因为根据在 RtBCD 中，BC2=CD2+BD2 即 x2+x+12=5，解得：x=1 或 x=-2（不合题意，舍去），所以 BB=2x=2，（）当 BC=AB=2 时，如图 4，与（）方法同理可得
24、：x=-1+72 或 x=-1-72，x=-1+72 或 x=-1-72（舍去），所以 BB=2x=-2+142故应平移 2 或 5 或 2 或 -2+1426. 【答案】(1) 作 BMx 轴于点 M，A0,4，AO=4，AOB 为等边三角形，AO=BO=AB=4，OAB=AOB=ABO=60，BOM=30又 BMx 轴，BM=12OB=2，BN=BO2+NO2=42+22=23，又 B 点在第一象限，B23,2(2) 不改变APQ 为等边三角形，AP=AQ=PQ,APQ=AQP=PAQ=60，PAQ=QAB，PA=QA,PAQ=QABAO=AB，PAOQABSAS，ABQ=AOP，又 xy
25、 轴，AOP=90,ABQ=90(3) QOAB，ABQ+OQB=180，ABQ=90，OQB=90，OBQ=90-60=30，OQ=12OB=2，BO2+NO2=42+22=23，PAOQABOP=BQ，OP=23，Px=-OP=-23，P 在 x 轴上，Py=0，P-23,07. 【答案】(1) AED 是等腰直角三角形证明： 在 ABE 和 ECD 中，AB=CE,B=C=90,BE=CD,ABEECDSAS，AE=DE，AEB=EDC， 在 RtEDC 中，C=90，EDC+DEC=90AEB+DEC=90AEB+DEC+AED=180，AED=90AED 是等腰直角三角形(2) 如图
26、，以点 D 为圆心 CP 长为半径作弧交 AD 于点 F，以点 C 为圆心，DP 长为半径作弧交 BE 于点 E，连接 EF，EP，FP 点 E，F 即为所求(3) （1）1,2，3,3，52,32（2）5【解析】(3) （1）如图，当 CAB=90，CA=AB 时，过点 C 作 CFAO 于点 F，过点 B 作 BEAO 于点 E， 点 A2,0，点 B4,1，BE=1，OA=2，OE=4，AE=2，CAB=90，BEAO，CAF+BAE=90，BAE+ABE=90，CAF=ABE，且 AC=AB，AFC=AEB=90，ACFBAEAAS，CF=AE=2，AF=BE=1，OF=OA-AF=1
27、， 点 C 坐标为 1,2；如图，当 ABC=90，AB=BC 时，过点 B 作 BEOA，过点 C 作 CFBEABC=90，BEOA，ABE+CBF=90，ABE+BAE=90，BAE=CBF，且 BC=AB，AEB=CFB=90，BCFABEAAS，BE=CF=1，AE=BF=2，EF=3， 点 C 坐标为 3,3；如图，当 ACB=90，CA=BC 时，过点 C 作 CDOA 于点 D，过点 B 作 BFCD 于点 F，ACD+BCF=90，ACD+CAD=90，BCF=CAD，且 AC=BC，CDA=CFB，ACDCBFAAS，CF=AD，BF=CD=DE，AD+DE=AE=2，2=
28、AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1，DA=12，CD=32，OD=52， 点 C 坐标 52,32综上所述：点 C 坐标为：1,2，3,3，52,32（2）如图作 BHOH 于 H设点 C 的坐标为 0,m，由（1）知：OC=HB=m，OA=HC=1，则点 Bm,1+m，则：BO+BA=m-12+m+12+m2+m+12，BO+BA 的值，相当于求点 Pm,m 到点 M1,-1 和点 N0,-1 的最小值，相当于在直线 y=x 上寻找一点 Pm,m，使得点 P 到 M0,-1，到 N1,-1 的距离和最小，作 M 关于直线 y=x 的对称点 M-1,0，易知 PM+PN=PM+PNNM，
29、MN=1+12+1=5故：BO+BA 的最小值为 510. 【答案】(1) 点 A3,0，B0,1，OA=3，OB=1由折叠的性质，得 AOPAOP，OA=OA=3ABOB，ABO=90， 在 RtAOB 中，AB=OA2-OB2=2， 点 A 的坐标为 2,1(2) 在 RtAOB 中，OA=3，OB=1，AB=OA2+OB2=2P 为 AB 的中点，OP=AP=BP=12AB=1，OP=OB=BP，BOP 是等边三角形，BOP=BPO=60，OPA=180-BPO=120AOPAOP，OPA=OPA=120，PA=PA=1，OBPA又 OB=PA=1， 四边形 OPAB 是平行四边形，AB
30、=OP=1(3) 3-32,3-32 或 23-32,32【解析】(3) 分两种情况讨论：当点 A 在直线 BP 的上方时，如解图BPA=30，APO+APO=210又 APO=APO，APO=105又 OAP=30，AOP=45过点 P 作 PCOA 于点 C，设 OC=x，则 PC=x，AC=3xOA=3，x+3x=3，解得 x=3-32， 点 P3-32,3-32当点 A 在直线 BP 的下方时，如解图BPA=30，APO+APO=150又 APO=APO，APO=75又 OAP=30，AOP=75，APO=AOP，PA=OA=3过点 P 作 PDOA 于点 DOAP=30，PD=12P
31、A=32，AD=32，OD=23-32， 点 P23-32,32综上所述，当 BPA=30 时，点 P 的坐标为 3-32,3-32 或 23-32,329. 【答案】(1) 如图 1PE=BE，EBP=EPB又 EPH=EBC=90，EPH-EPB=EBC-EBP，即 PBC=BPH又 ADBC，APB=PBCAPB=BPH(2) PHD 的周长不变为定值 8证明如下：如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为 Q由（1）知 APB=BPH，又 A=BQP=90，BP=BP，ABPQBPAASAP=QP，AB=BQ又 AB=BC，BC=BQ又 C=BQH=90，BH=BH，BCHBQHHLCH=
32、QHPHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3) 如图 3，过 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FM=BC=AB又 EF 为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90EFM=ABP又 A=EMF=90，AB=ME，EFMBPAASAEM=AP=x 在 RtAPE 中，4-BE2+x2=BE2，即 BE=2+x28，CF=BE-EM=2+x28-x又 四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等，S=12BE+CFBC=124+x24-x4=12x2-2x+8=12x-22+6.0124， 当 x=2 时，S 有最小值 610. 【答案】(1) EF=
33、BE+DF(2) 结论仍然成立，理由如下：如图 2，延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AGABC+D=180，ABG+ABC=180，ABG=D， 在 ABG 与 ADF 中，AB=AD,ABG=D,BG=DF,ABGADFSAS，AG=AF，BAG=DAF，2EAF=BAD，DAF+BAE=BAG+BAE=12BAD=EAF，GAE=EAF，又 AE=AE，AEGAEFSAS，EG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD(3) 14【解析】(1) 延长 FD 到点 G使 DG=BE连接 AG，在 ABE 和 ADG 中，AB=AD,ABE=ADG=90,BE=DG,ABEADGSAS，
34、AE=AG，BAE=DAG，BAD=100，EAF=50，BAE+FAD=DAG+FAD=50，EAF=FAG=50，在 EAF 和 GAF 中，AE=AG,EAF=GAF,AF=AF,EAFGAFSAS，EF=FG=DF+DG，EF=BE+DF(3) 如图，延长 EA 到 H，使 AH=CF，连接 BH， 四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=7=AD=CD，BAD=BCD=90，BAH=BCF=90，又 AH=CF，AB=BC，ABHCBFSAS，BH=BF，ABH=CBF，EBF=45，CBF+ABE=45=HBA+ABE=EBF，EBH=EBF，又 BH=BF，BE=BE，EBHEB
35、FSAS，EF=EH，EF=EH=AE+CF，DEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14.11. 【答案】(1) 当 a=3 时，AP=t，DP=6-t，BQ=3t，CQ=6-3t，BPQD，PDBQ，APB=PBQ，PBQ=DQC，APB=DQC又 ABCD 为正方形，AB=CD，A=DCQ=90， 在 ABP 和 CDQ 中，APB=DQC,A=DCQ,AB=CD,ABPCDQAASAP=CQ，t=6-3t 或 12-t=3t-18，解得：t=32s 或 t=152s VP=1cm/s，VQ=3cm/s， 当 0t2 时，P 在 AD 上，Q 在 BC 上，即
36、 AP=tCQ=6-3t，当 ABPCDQ 时，有 AP=CQ，t=6-3t，解得：t=32s，当 2t4 时，P 在 AD 上，Q 在 CE 上，即 AP=t，CQ=3t-6， 当 ABPCDQ 时，AP=CQ，t=3t-6，解得：t=3s当 4t6 时，P 在 AD 上，Q 已经到达 E 后返回在 CE 上，AP=t，CQ=18-3t，当 ABPCDQ 时，AP=CQ，t=18-3t，解得：t=92s当 6t8 时，P 从 A 到 D 后返回 A 时，Q 从 B 到 E 后，到达 BC 上AP=12-t，CQ=3t-18， 当 ABPCDQ 时，AP=CQ，12-t=3t-18，解得：t=
37、152s， 综上，若 a=3 时，当 ABPCDQ 时，t 的值为：32s，3s，92s，152s(2) a=2【解析】(2) 要满足 ABPCDQ 时，t 的值恰好为 3 个， 当 P 到达 D 时，Q 刚好到达 E，此时，ABPCDQ 恰好有 3 个 t 值，AP=6，CQ=6，则 BQ=12，t=61=6s，6a=12，a=212. 【答案】(1) 5(2) 由折叠可得：DEAC，AF=FC=52，FCD=OCA，DFC=AOC=90，DFCAOC，DFOA=FCOC=DCACDF3=524=DC5，DF=158，DC=258，OD=OC-DC=4-258=78，D78,0， 四边形 O
38、ABC 是矩形，ABDC，EAF=DCF，在 AFE 和 CFD 中，EAF=DCF,AF=CF,AFE=CFD,AFECFDASA，EF=DF，DE=2DF=2158=154，即折痕 DE 的长为 154(3) 如图所示：由（2）可知，AE=CD=258，E258,-3，D78,0，当 DE 为菱形的边时，DP=DE=154，可得 Q558,-3，Q1-58,-3，当 DE 为菱形的对角线时，P 与 C 重合，Q 与 A 重合，Q20,-3，当点 Q 在第一象限，E 与 Q 关于 x 轴对称，Q258,3综上所述，满足条件的点 Q 坐标为 558,-3 或 -58,-3 或 0,-3 或 2
39、58,3【解析】(1) 四边形 OABC 是矩形，点 B 坐标为 4,-3，AOC=90，OA=3，OC=4，AC=OA2+OC2=513. 【答案】(1) 2.5s(2) 当点 Q 在线段 BC 上时，如图 1，因为四边形 ODPQ 是菱形，所以 OQ=OD=5，在 RtOCQ 中，CQ=52-42=3，CP=3+5=8，所以 t=4，点 Q 的坐标为 3,4；当点 Q 在射线 BC 上时，如图 2，因为四边形 ODPQ 是菱形，所以 OQ=OD=5，在 RtOCQ 中，CQ=52-42=3，CP=5-3=2，所以 t=1，点 Q 的坐标为 -3,4(3) 如图 3，连接 DM，因为 PM=
40、OD=5，PMOD，所以四边形 ODMP 是平行四边形，所以 OP=DM，所以四边形 OAMP 的周长 =OA+AM+MP+PO=15+AM+PO=15+AM+DM，作点 A 关于直线 BC 的对称点 A，连接 AM，AD，因为 AM=AM，所以四边形 OAMP 的周长 =15+AM+DM，所以，当点 A，M，D 三点在同一直线上时，四边形 OAMP 的周长最小，在 RtADA 中，AD=AA2+AD2=52+82=89，所以四边形 OAMP 的周长最小值为 15+89【解析】(1) 因为四边形 OABC 为矩形，点 B 的坐标为 10,4，所以 BC=OA=10，AB=OC=4，因为点 D 是 OA 的中点，所以 OD=12OA=5，由题意知，PC=2t，所以 BP=BC-PC=10-2t，因为四边形 PODB 是平行四边形，所以 PB=OD=5，所以 10-2t=5，所以 t=2.5，即当 t=2.5s 时，四边形 PODB 是平行四边形14. 【答案】(1) 如图中， 四边形 ABCD 是平行四边形，ADEC，ABCD，E=ADF，EFB=EDC，ED 平分 ADC，ADF=EDC，E=EFB，BE=BF(2) 如图中，结论：GOAC理由：连接 BG，AG 四边形 ABCD 是平行四边形，ADC=90， 四边形 ABCD 是矩形，ABC=ABE=90，由（1
