1、 第 1 页 共 13 页 2020 年 3 月南海区 2020 届高三年级期初线上综合能力测试 理科数学理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知全集为R，集合 1 2 2 (1), |20Ax yxBx xx = ，则()AB = R I（ ） A(0,2) B(1,2 C0,1 D(0,1 1答案：D 解析： 1 2 1 (1) |1, |1 1 Ax yxx yx xAx x x = R ， 2 |20 | (2)0 |02Bx xxx x xxx=，()(0,1AB= R I 2复数满足48izz
2、+=+，则复数z在复平面内所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2答案：B 解析：设i ( ,)zaba b=+R，则 22 i48izzabab+=+=+， 22 6 4 ,68i 8 8 a aab z b b = += = + = = ，所以复数z在复平面内所对应的点在第二象限 3已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 28 2,10aa= =，则 9 S =（ ） A45 B42 C25 D36 3答案：D 解析： 1928 9 9()9()9 ( 2 10) 36 222 aaaa S + + = 4函数 xx x y ee = + 的图象大致为（
3、 ） 4答案：A 解析：设( ) xx x f x ee = + ，则()( ) xx x fxf x ee = + ，所以函数( )f x是奇函数，其图象关于原点对 称，排除 B，C，且当x +时，( )0 xx x f x ee = + ，排除 D，选 A 第 2 页 共 13 页 5音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味著名数学家傅立叶研究了乐 声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sinabx的简单正弦函数的和， 其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频 率的整数倍，称为基本音的谐波下
4、列函数中不能与函数0.06sin180000yt=构成乐音的是（ ） A0.02sin360000yt= B0.03sin180000yt= C0.02sin181800yt= D0.05sin540000yt= 5答案：C 解析：由 1 2 f T =，可知若 12 ()fnfn =N，则必有 12 ()nn =N，故选 C 6已知, a b r r 为非零向量， “ 2 2 a bb a= rr rr ”为“a ab b= rr r r ”的（ ） A充分不必要条件 B充分必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6答案：B 解析：若 2 2 a bb a= rr rr 成立，则
5、 2 2 a bb a= rr rr ，则向量a r 与b r 的方向相同，且 2 2 abba= rr rr ，从而ab= rr ， 所以ab= r r ；若a ab b= rr r r ，则向量a r 与b r 的方向相同，且 22 ab= rr ，从而ab= rr ，所以ab= r r 所以“ 2 2 a bb a= rr rr ”为“a ab b= rr r r ”的充分必要条件 7把函数 2 ( )sinf xx=的图象向右平移 12 个单位，得到函数( )g x的图象给出下列四个命题 ( )g x的值域为(0,1 ( )g x的一个对称轴是 12 x = ( )g x的一个对称中心
6、是 1 , 3 2 ( )g x存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 7答案：C 解析： 2 12 1 cos2 1 cos21112 ( )sin( )cos 2 22262 x x f xxg xx = = + 向右平移个单位 ， cos 2 1,1 6 x Q，( )g x的值域为0,1，错误； 当 12 x =时，20 6 x =，所以 12 x =是函数( )g x的一条对称轴，正确； 当 3 x =时，2 62 x =，所以( )g x的一个对称中心是 1 , 3 2 ，正确； 第 3 页 共 13 页 ( )sin 2 1,1 6 g xx
7、= ，则 121212 ,( )1,()1,( )()1x xg xg xg xg x= = R，则( )g x在 1 xx=和 2 xx=处的切线互相垂直，正确 8窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神 兽人们喜爱右图即是一副窗花，是把一个边长为 12 的大正方形在四个角处都剪去边长为 1 的小正方形 后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为 1 的一些小正方形若在这个窗花内部随机 取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ） A 3 7 B 4 7 C 5 7 D 6 7 8答案：D 解析：窗花的面积为 2 124
8、1140 =，其中小正方形的面积为5 420=， 所以所求概率 140206 1407 P = 9已知三棱锥,2,1,PABCACBCACBC=且2,PAPBPB=平面ABC，其外接球体积 为（ ） A 4 3 B4 C 32 3 D4 3 9答案：A 解析： 22 3ABACBC=+=，设PBh=，则由2PAPB=，可得 2 32hh+=，解得1h =，可将 三棱锥PABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥PABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球 的半径为R，则 222 21( 2)12,1RR=+=，所以外接球的体积 3 44 33 VR = A B C P 1 2 3 h 10一个盒子
9、里有 4 个分别标有号码为 1，2，3，4 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子 中，共取 3 次，则取得小球标号最大值是 4 的取法有（ ） A17 种 B27 种 C37 种 D47 种 10答案：C 第 4 页 共 13 页 解析：所有可能的情况有 3 464=种，其中最大值不是 4 的情况有 3 327=种，所以取得小球标号最大值是 4 的取法有642737=种 11已知双曲线 22 22 :1(0) xy Mba ab =的焦距为2c，若M的渐近线上存在点T，使得经过点T所作 的圆 222 ()xcya+=的两条切线互相垂直，则双曲线M的离心率的取值范围是（ ） A(1,
10、2 B( 2, 3 C( 2, 5 D( 3, 5 11答案：B 解析：baQ， 所以离心率 2 12 cb e aa =+ ， 圆 222 ()xcya+=是以( ,0)F c为圆心， 半径ra= 的圆，要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TFa=，而焦点( ,0)F c到双曲线渐近线 的距离为b，所以2TFab=，即2 b a ，所以 2 13 cb e aa =+ ，所以双曲线M的离心 率的取值范围是( 2, 3 b T FO 12点M在曲线:3lnG yx=上，过M作x轴垂线l，设l与曲线 1 y x =交于点N， 3 OMON OP + = uuuu ruuu r uuu
11、 r ， 且P点的纵坐标始终为 0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点” ，则曲线G上的“水平黄金点”的个数 为（ ） A0 B1 C2 D3 12答案：C 解析：设( ,3ln )M tt，则 1 ,N t t ，所以 21 ,ln 333 OMONt OPt t + =+ uuuu ruuu r uuu r ，依题意可得 1 ln0 3 t t +=， 设 1 ( )ln 3 g tt t =+，则 22 1131 ( ) 33 t g t ttt =，当 1 0 3 t 时，( )0,( )g tg t单调递减，当 1 3 t 时， ( )0,( )g tg t单调递增，所以 min 1
12、( )1 ln30 3 gtg = ，且 2 2 11 20,(1)0 33 e gg e = += ， 第 5 页 共 13 页 1 ( )ln0 3 g tt t =+=有两个不同的解，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13抛物线 2 4yx=上到其焦点F距离为 5 的点有 个 13答案：2 解析：设符合条件的点 00 (,)P xy，则 000 15,4,4PFxxy=+ = ，所以符合条件的点有 2 个 14已知数列 n a的前n项和为 n S且满足2 nn Sa+= ，则数列 n a的通项 n
13、a = 14答案： 1 1 2 n 解析：当1n =时， 1111 221Saaa+= = ，由2 nn Sa+= ，可知当2n时， 11 2 nn Sa += ， 两式相减，得 1 20 nn aa =，即 1 1 (2) 2 nn aan =，所以数列 n a是首项为1，公比为 1 2 的等比数列， 所以 1 1 2 n n a = 15对任意正整数n，函数 32 ( )27cos1f nnnnn=，若(2)0f，则的取值范围是 ；若不等式( )0f n 恒成立，则的最大值为 15答案： 13 , 2 ， 13 2 解析：由(2)1628210f= ，解得 13 2 当n为奇数时，cos1
14、n= ，由 32 ( )2710f nnnn=+ ，得 2 1 27nn n +， 而函数 2 1 ( )27g nnn n =+为单调递增函数，所以 min ( )(1)8g ng=，所以8 当n为偶数时，cos1n=，由 32 ( )2710f nnnn= ，得 2 1 27nn n ， 设 2 1 ( )27(2)h xxxx x =，则 2 1 2,( )470xh xx x =+Q，( )h x单调递增， min 13 ( )(2) 2 h xh= 所以 13 2 ，综上可知，若不等式( )0f n 恒成立，则的最大值为 13 2 16 正方体 1111 ABCDABC D中，E是棱
15、 1 DD的中点，F是侧面 11 CDDC上的动点， 且 1 /B F平面 1 ABE， 记 1 B与F的轨迹构成的平面为 F，使得 11 B FCD； 第 6 页 共 13 页 直线 1 B F与直线BC所成角的正切值的取值范围是 2 1 , 42 ； 与平面 11 CDDC所成锐二面角的正切值为2 2； 正方体 1111 ABCDABC D的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 16答案： 解析： 取CD中点G， 连接EG， 则 1 /EGAB， 所以平面 1 ABE即为平面 1 ABGE， 取 11 C D中点M， 1 CC 中点
16、N，连接 11 ,BM B N MN，则易证得 111 /,/BMBG B NAE，从而平面 1 /BMN平面 1 ABGE，所 以点F的运动轨迹为线段MN，平面 1 B MN即为平面 取F为MN中点， 因为 1 BMN是等腰三角形， 所以 1 B FMN， 又因为 1 /MNCD， 所以 11 B FCD， 故正确； 设正方体的棱长为 2，当点F为MN中点时，直线 1 B F与直线BC所成角最小，此时 1 2 2 C F =， 1 11 11 2 tan 4 C F C B F BC =，当点F与点M或点N重合时，直线 1 B F与直线BC所成角最大，此时 11 1 tan 2 C B F=
17、，所以直线 1 B F与直线BC所成角的正切值的取值范围是 2 1 , 42 ，正确； 取F为MN中点，则 1111 ,MNC F MNB FB FC即为与平面 11 CDDC所成的锐二面角， 11 11 1 tan2 2 BC B FC C F =，所以正确； 正方体 1111 ABCDABC D的各个侧面中，平面ABCD，平面 1111 ABC D，平面 11 BCC B，平面 11 ADD A 与平面所成的角相等，所以正确 A B C D D1A1 B1 C1E G M N F 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 第 7 页
18、 共 13 页 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中， 5 , cos 43 BC = （1）求cosA的值； （2）点D为边BC上的动点（不与C点重合） ，设ADDC=，求的取值范围 17解： （1）在ABC， 5 cos 3 C =，所以 2 2 sin1 cos 3 CC=.1 分 所以 coscoscossinsincoscos 4444 ACCCC = += 22252 210 23236 =5 分 （2）由（1）可知 2 210 cos0 6 A =，所以 2 A 因为 sinsin ADD
19、C CDAC = ，所以 sin2 sin3sin ADC DCDACDAC = 8 分 因为0DACBAC，所以 sin(0,1DAC11 分 所以 2 , 3 + 12 分 C A B D 18 （本小题满分 12 分） 在四棱锥PABCD中， 1 ,/, 2 ABPA ABCD ABCDPAD=是等边三角形，点M在棱PC上， 平面PAD 平面ABCD （1）求证：平面PCD 平面PAD； （2）若ABAD=，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值的最大值； （3）设直线AM与平面PBD相交于点N， 若 ANPM AMPC =，求 AN AM 的值 P A B C D M 第 8 页 共 1
20、3 页 18解析： （1）证明：取AD中点为O，连接PO PAD是等边三角形，所以POAD 因为PADABCD平面平面且相交于AD，所以PO 平面ABCD，所以PODC 因为/,ABCD ABPA，所以CDPA因为POPAP=I在平面PAD内，所以CDPAD 平面 所以PCDPAD平面平面 3 分 （2）以O为原点，过O作AB的平行线OF，分别以OA, OF，OP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直 角坐标系设2ABAD=，则(1,0,0)A，(1,2,0)B，( 1,4,0)C ，(0,0, 3)P 5 分 因为M在棱PC上，可设(1)(,4 , 3(1),0,1OMt OPtOCtttt=+=
21、 uuuu ruuu ruuu r ， 所以(1,4 , 3(1)AMttt= uuuu r 设平面PBC的法向量为( , , )nx y z= r ，因为( 2,2,0),( 1,4,3)BCPC= = uuu ruuu r ， 所以 220 430 xy xyz += + = 令1x =，可得 1 1 3 x y z = = = ，即(1,1, 3)n = r 设直线AM与平面PBC所成角为，所以 2 1 sincos, 5(51) AM n AM n AM ntt = + uuuu r r uuuu r r uuuu r r 可知当 1 10 t =时， sin取最大值 2 19 19
22、；8 分 （3）设2,ADDCm=，则有(0,0, 3), ( 1,0)PCm，得( 1,3)PCm= uuu r 设 ANPM k AMPC =， 那么,PMkPC ANkAM= uuuu ruuu r uuu ruuuu r ，所以(,3 )PMk mkk= uuuu r 所以(, 3(1)Mk mkk 因为(1,0,0),(1, 3(1)AAMkmkk= uuuu r 所以 22 ,(, 3 (1)ANkAMANkk mkkk= uuu ruuuu ruuu r 因为所以所以 22 (1, 3 (1)Nkkmkkk+ 又因为( 1,0,0),1,0 2 m DB ，所以 22 (2, 3
23、 (1)DNkkmkkk= + uuur 第 9 页 共 13 页 ( 1,0,3),2,0 2 m PDDB = = uuu ruuu r ，设平面PDB的法向量为( , , )nx y z= r ， 有 30 20 2 xz m xy = += 3x = 令，可得 3 4 3 1 x y m z = = = ，即 4 3 3,1n m = r 10 分 因为N在平面PDB内，所以DNn uuurr 所以0DN n= uuur r 所以 22 4 3 3(2)3 (1)0kkmkkk m +=即 2 210kk+ =， 所以 1 2 k =或者1k = （舍） ，即 1 2 AN AM =1
24、2 分 P A B C D M x y z O F 19 （本小题满分 12 分） 某精密仪器生产车间每天生产n个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取 50 个零件进行检查是否合 格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服 从正态分布 2 (10,0.1 )N（单位：微米m） ，且相互独立若零件的长度d满足9.710.3mdm， 则认为该零件是合格的，否则该零件不合格 （1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X，求(2)P X 及X的数学期望EX； （2） 小张某天恰好从 50 个零件中检查出 2 个不合格的零件， 若以此频率作为当天生产零件
25、的不合格率 已 知检查一个零件的成本为 10 元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为 260 元假设n充分大，为了 使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由 附：若随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则 5049 (33 )0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P+= 19解（1） 14950 50 (2)1(1)(0)10.99870.0013 0.99870.003P XP XP XC= = =， 由于X满足二项分布，故0.0013 500.065EX = -5 分 （2）由题意可知不合格率为 2 50 ，若不检查，损失的期望为 2
26、52 ( )2602020 505 E Ynn= =，若检 第 10 页 共 13 页 查， 成本为10n， 由于 522 ( ) 1020 1020 55 E Ynnnn=， 当n充分大时， 2 ( ) 10200 5 E Ynn= 所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab +=经过点(0, 2)A，离心率为 3 3 （1）求椭圆M的方程； （2）经过点(0,1)E且斜率存在的直线l交椭圆于,Q N两点，点B与点Q关于坐标原点对称连接 ,AB AN求证：存在实数，使得 ANAB kk=成立
27、20解： （1）由题意可知2b =， 3 3 c a =，又由 222 acb=，得6,2ac=， 所以椭圆M的方程为 22 1 64 xy +=；4 分 （2）证明：设直线l的方程为为：1ykx=+， 联立 22 1 1 64 ykx xy =+ += ，消元可得： 22 (23)690kxkx+=，设 1122 ( ,),(,)Q x yN xy 则有 1212 22 69 , 2323 k xxx x kk += = + -8 分 因为 12 12 22 , AQAN yy kk xx + =， 所以 2 222 121212 Q 1212 223 ()9 2232 AAN yyk x
28、xk xx kkkkk xxx x + =+= 又因为点 B 与点 Q 关于原点对称，所以 11 (,)Bxy，即 1 1 2 AB y k x + = ， 则有 2 111 2 111 224 AQAB yyy kk xxx + = ，由点Q在椭圆 22 :1 64 xy C+=上，得 22 11 2 4 3 yx=， 所以 2 3 AQAB kk= ，所以 2 3 2 3 AQAN AN ABAQAB kk k kkk = ，即3 ANAB kk=， 所以存在实数3=，使 ANAB kk=成立12 分 B Q A E O N 第 11 页 共 13 页 （2）解法二：证明：设直线l的方程为
29、为：1ykx=+， 联立 22 1 1 64 ykx xy =+ += ，消元可得： 22 (23)690kxkx+=，设 1122 ( ,),(,)Q x yN xy，则 11 (,)Bxy， 则有 1212 22 69 , 2323 k xxx x kk += = + 8 分 12 12 2 3 xxk x x + =， 12 12 3() 2 xx kx x + =， 2 2 2 AN y k x + =， 1 1 2 AB y k x =， 所以 12 1 212112112 12 212112212 2 3() 3 (2)(3)393 2 3 3() (2)(1)3 2 AN AB
30、xx x kyxkxxkx xxxx xx kxyx kxkx xxxx x + + = + + ， 所以存在实数3=，使 ANAB kk=成立12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知 2 ( )(0) kx f xkxek =+ （1）当 1 2 x 时，判断函数( )f x的极值点的个数； （2）记 2 1 ( )( )ln 2 g xf xxmx x =+ ，若存在实数t，使直线yt=与函数( )g x的图象交于不同的 两点 12 ( , ),(, )A x tB x t，求证： 12 2mx x 21解析： （1）当 1 2 x 时，( )(2) kx fxkxe=，( )(2)
31、0 kx fxkke = +，所以( )fx在 1 , 2 + 递 增所以 2 1 ( )(1)0 2 k fxfke = 所以( )f x在 1 , 2 + 递增，所以函数( )f x没有极值点； 4 分 （2） 22 ( )( )ln(1)ln kx g xf xxmxkxmxe=+=+，存在实数t，使直线yt=与函数( )g x的图象 交于不同的两点 12 ( , ), (, )A x t B x t，即存在 12 1 , 2 x x + 且 12 xx，使 12 ( )()g xg x= 6 分 第 12 页 共 13 页 由 12 ( )()g xg x=可得： 21 22 2121
32、 (lnln)(1)()() kxkx mxxkxxee =+， 12 xx， 由（1）可知 21 ()( )f xf x，可得： 21 22 21 () kxkx eek xx 所以 22 2121 (lnln)mxxxx，即 22 21 2 1 2 2ln xxm x x 8 分 下面证明 22 21 12 2 1 2ln xx x x x x ,只需证明： 2 2 1 2 2 1 1 1 2ln x xx x x x 令 2 1 1 x s x =,则证： 2 1 2ln s s s ，即 1 2ln0ss s 10 分 设 1 ( )2lnh sss s =，那么 2 2 (1) (
33、)0 s h s s = 所以( )(1)0h sh=所以 12 2 m x x，即 12 2mx x12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 已知曲线M的参数方程为 1 cos 2 1 sin 2 x y = = （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线N的极坐标方程为 2 2sin2 = （1）写出曲线M的极坐标方程； （2）点A是曲线N上的一点，试判断点A与曲线M的位置关系 22解析：（1）曲线M的极坐标方程是 1 2 =4 分
34、 （2）当 3 4 =时，线段OA取得最小长度为 22 3 3 2sin(2) 4 = 6 分 因为曲线M是以原点为圆心，半径为 1 2 的圆，所以 1 2 OA 所以点A与曲线M的位置关系是点A在曲线M外10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知0,abacd ，且abcd （1）请给出, , ,a b c d的一组值，使得2()abcd+成立； 第 13 页 共 13 页 （2）证明不等式abcd+恒成立 23解析： （1）2,1,1,1abcd= （答案不唯一）4 分 （2）证明：由题意可知，0a 因为acd ，所以()()0ac ad 所以 2 ()0acd acd+，即 2 ()acdcd a+-7 分 因为0ab ，所以 cd acd a +因为abcd，所以 cd b a 所以 cd abacd a +10 分
