1、2 2.3 3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点知识梳理-2-知识梳理双基自测23411.函数的奇偶性 f(-x)=f(x)y轴 f(-x)=-f(x)原点 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点知识梳理-3-知识梳理双基自测23412.奇(偶)函数的性质(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇函数奇函数=奇函数,偶函数偶函数=偶函数,奇
2、函数奇函数=偶函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数偶函数=奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点知识梳理-4-知识梳理双基自测23413.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:T0;对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最
3、小的正数 最小正数 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点知识梳理-5-知识梳理双基自测23414.函数周期性的常用结论对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a.(4)若f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a.(5)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a.(6)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|.(7)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|.(8)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|.第二章
4、第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)当x(0,+)时,函数y=x2是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()(4)若函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-,0)内是减函
5、数,则f(x)在区间(0,+)内是增函数.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期.()第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.已知f(x)=ax2+bx是定义在区间a-1,2a上的偶函数,则a+b的值是()答案解析解析关闭 答案解析关闭第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点知识梳理-8-知识梳理双基自测234153.下列函数为奇函数的是()答案解析解析关闭令y=f(x),选项A,定义域为0,+),不关于原点对称,所以为非奇非偶函数;选项B,f(-
6、x)=|sin(-x)|=|sin x|=f(x),为偶函数;选项C,f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x),为偶函数;选项D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),为奇函数.答案解析关闭D第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点知识梳理-9-知识梳理双基自测234154.已知f(x)满足对任意xR,f(-x)+f(x)=0,且当x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为()A.4B.-4C.6D.-6 答案解析解析关闭由题意知函数f(x)是奇函数.因为f(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-
7、ln 5)=-f(ln 5)=-eln 5+1=-5+1=-4,故选B.答案解析关闭B第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点知识梳理-10-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P39T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)=.答案解析解析关闭当x0,故f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),f(x)=x(1-x).答案解析关闭x(1-x)第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-11-考点1考点2
8、考点3考点4例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3-x;思考判断函数的奇偶性要注意什么?第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-12-考点1考点2考点3考点4解(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.(3)函数的定义域为x|x0,关于原点对称.当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+x,
9、f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-13-考点1考点2考点3考点4解题心得判断函数奇偶性的方法:(1)定义法.利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=1(f(x)0)判断函数的奇偶性.(2)图象法.利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)性质法.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理
10、核心考点核心考点-14-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练1设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案解析解析关闭由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x
11、)|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.答案解析关闭C第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-15-考点1考点2考点3考点4例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点所构成的集合为()A.1,3B.-3,-1,1,3(4)已知函数g(x)是定义在区间-2,2上的偶函数,当x0时,g(x)单调递减,若g(1-m)0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=()A.
12、x|-2x2B.x|0 x4C.x|x0或2x4D.x|x2对点训练对点训练2(1)已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1 D.-2(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)内单B D B 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-20-考点1考点2考点3考点4(4)设a,bR,且a2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg 是奇函数,则a+b的取值范围为.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-21-考点1考点2考
13、点3考点4解析：(1)设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-22-考点1考点2考点3考点4(3)当x=2时,有f(2)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-2x-22,即0 x4时,有f(x-2)0,故选B.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-23-考点1考点2考点3考点4(4)f(x)在(-
14、b,b)上是奇函数,第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-24-考点1考点2考点3考点4例3(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于()A.336 B.337C.1 678 D.2 012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)=.思考函数的周期性主要的应用是什么?2.5 B 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心
15、考点核心考点-25-考点1考点2考点3考点4解析:(1)f(x+6)=f(x),函数f(x)的周期T=6.当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(6)=1.又f(2 017)=f(1)=1,f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)=337.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-26-考点1考点2考点3考点4函数f(x)的周期为4.f(105.5)=f(427
16、-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).22.53,f(2.5)=2.5.f(105.5)=2.5.解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题进行求解.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-27-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=-f(x),当2x3时,f(x)=x,则f(2 018)=.(2)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)=.22第二章第二章
17、2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-28-考点1考点2考点3考点4解析:(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2 018)=f(4504+2)=f(2).又223,所以f(2)=2,即f(2 018)=2.(2)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期为6.故f(2 017)=
18、f(1)=2.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-29-考点1考点2考点3考点4例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在区间-1,0上是减函数,则f(x)在区间1,3上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数 D.先减后增的函数(2)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50 B.0C.2D.50思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?DC 第二章第二章2.3函数的奇偶性
19、与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-30-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由f(x)在-1,0上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在0,1上是增函数.由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期.结合以上性质,画出f(x)的部分草图,如图所示.由图象可以观察出,f(x)在区间1,2上为减函数,在区间2,3上为增函数.故选D.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-31-考点1考点2考点3考点4(2)f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4
20、)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-32-考点1考点2考点3考点4解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反
21、.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-33-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 018)的值为()A.2B.0C.-2 D.2AD 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性
22、知识梳理核心考点核心考点-34-考点1考点2考点3考点4解析:(1)g(-x)=f(-x-1),-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),f(x+1)=-f(x-1).f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,f(2 018)=f(2)=2.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性知识梳理核心考点核心考点-35-考点1考点2考点3考点4令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=1.又函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5),f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0,又函数f(x)是周期为3的周期函数,函数f(x)在区间0,6上的零点为0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9个,故选D.
