1、数数 列列第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前n项和项和第三节第三节 等比数列及其前等比数列及其前n项和项和第四节第四节 数列求和数列求和第五节第五节 数列的综合应用数列的综合应用目 录数 列知识能否忆起知识能否忆起1数列的定义、分类与通项公式数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列的定义：数列：按照数列：按照 排列的一列数排列的一列数数列的项：数列中的数列的项：数列中的 一定顺序一定顺序每一个数每一个数(2)数列的分类：数列的分类：分类标分类标准准类型类型满足条件满足条件项数项数有穷数列有穷数列 项数项数 无穷数列无穷数
2、列 项数项数项与项项与项间的大间的大小关系小关系递增数列递增数列an1 an其中其中nN*递减数列递减数列an1 an常数列常数列an1an有限有限无限无限(3)数列的通项公式：数列的通项公式：如果数列如果数列an的第的第n项与项与 之间的关系可以用一个式之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 2数列的递推公式数列的递推公式 如果已知数列如果已知数列an的首项的首项(或前几项或前几项)，且，且 与它与它的的 (n2)(或前几项或前几项)间的关系可用一个公式来表示，间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式那么
3、这个公式叫数列的递推公式任一项任一项an序号序号n前一项前一项an1答案：答案：B小题能否全取小题能否全取2设数列设数列an的前的前n项和项和Snn2，则，则a8的值为的值为 ()A15 B16 C49 D64 解析：解析：a8S8S7644915.答案：答案：A答案：答案：AA递增数列递增数列 B递减数列递减数列C常数列常数列 D摆动数列摆动数列解析解析：a4a3233(235)54.答案：答案：541.对数列概念的理解对数列概念的理解(1)数列是按一定数列是按一定“顺序顺序”排列的一列数，一个数列不仅排列的一列数，一个数列不仅与构成它的与构成它的“数数”有关，而且还与这些有关，而且还与这些
4、“数数”的排列顺序有关，的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别复出现，这也是数列与数集的区别2数列的函数特征数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解
5、析式，即函数解析式，即f(n)an(nN*)答案答案C 1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或或(1)n1来调整来调整 2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般从特殊到一般”的思想
6、的思想由由an与与Sn的关系求通项的关系求通项an(1)Sn2n23n；(2)Sn3n1.已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn，求数列的通项公式，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：其求解过程分为三步：(1)先利用先利用a1S1求出求出a1；(2)用用n1替换替换Sn中的中的n得到一个新的关系，利用得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当便可求出当n2时时an的表达式；的表达式；(3)对对n1时的结果进行检验，看是否符合时的结果进行检验，看是否符合n2时时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该
7、分如果不符合，则应该分n1与与n2两段来写两段来写答案：答案：D 例例3已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为ann221n20.(1)n为何值时，为何值时，an有最小值？并求出最小值；有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前为何值时，该数列的前n项和最小？项和最小？数列的性质数列的性质 1数列中项的最值的求法数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数anf(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值值2前前n项和最值的求法项和最值的求法(1)先求出数
8、列的前先求出数列的前n项和项和Sn，根据，根据Sn的表达式求解最值；的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若根据数列的通项公式，若am0，且，且am10，则，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值号确定最值.答案：答案：C 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法求通项公式的几种方法 1累加法累
9、加法 典例典例1(2011四川高考四川高考)数列数列an的首项为的首项为3，bn为等差数列且为等差数列且bnan1an(nN*)若若b32，b1012，则，则a8()A0B3C8 D11解析解析由已知得由已知得bn2n8，an1an2n8，所以所以a2a16，a3a24，a8a76，由累，由累加法得加法得a8a16(4)(2)02460，所，所以以a8a13.答案答案B(1)求求a2，a3；(2)求求an的通项公式的通项公式2累乘法累乘法 3构造新数列构造新数列 典例典例3已知数列已知数列an满足满足a11，an13an2；则则an_.答案答案23n11 教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有
10、能力的学生加餐）解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测（三十）测（三十）”答案：答案：C答案：答案：B答案：答案：C知识能否忆起知识能否忆起 第第2项项 差差an1and 一、等差数列的有关概念一、等差数列的有关概念等差中项等差中项 a1(n1)d 二、等差数列的有关公式二、等差数列的有关公式三、等差数列的性质三、等差数列的性质1若若m，n，p，qN*，且，且mnpq，an为为等差数列，则等差数列，则amanapaq.2在等差数列在等差数列an中，中，ak，a2k，a3k，a4k，仍为仍为等差数列，公差为等差数列，公差为kd.3若若an为等差数列，则为等差数列，则Sn，S2n
11、Sn，S3nS2n，仍为等差数列，公差为仍为等差数列，公差为n2d.4等差数列的增减性：等差数列的增减性：d0时为递增数列，且当时为递增数列，且当a10时前时前n项和项和Sn有最小值有最小值d0时前时前n项和项和Sn有最大值有最大值小题能否全取小题能否全取1(2013福建高考福建高考)等差数列等差数列an中，中，a1a510，a47，则，则数列数列an的公差为的公差为 ()答案：答案：B答案：答案：D 答案：答案：BA58 B88C143 D176答案：答案：2n1 1.与前与前n项和有关的三类问题项和有关的三类问题(1)知三求二：已知知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，中的任
12、意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想即可求得其余两个，这体现了方程思想(3)利用二次函数的图象确定利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值小值2设元与解题的技巧设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为为，a2d，ad，a，ad，a2d，；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为
13、，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元数列的定义进行对称设元 例例1 在数列在数列an中，中，a13，an2an12n3(n2，且，且nN*)(1)求求a2，a3的值；的值；等差数列的判断与证明等差数列的判断与证明 自主解答自主解答(1)a13，an2an12n3(n2，且且nN*)，a22a12231，a32a223313.1证明证明an为等差数列的方法：为等差数列的方法：(1)用定义证明：用定义证明：anan1d(d为常数，为常数，n2)an为等差数列；为等差数列；(2)用等差中项证明：用等差中项证明：2an1anan2an为等差为等差数
14、列；数列；(3)通项法：通项法：an为为n的一次函数的一次函数an为等差数列；为等差数列；2用定义证明等差数列时，常采用的两个式子用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an1and和和anan1d，但它们的意义不同，后者必须，但它们的意义不同，后者必须加上加上“n2”，否则，否则n1时，时，a0无定义无定义1已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn是是n的二次函数，且的二次函数，且a1 2，a22，S36.(1)求求Sn；(2)证明：数列证明：数列an是等差数列是等差数列 解：解：(1)设设SnAn2BnC(A0)，例例2(2012重庆高考重庆高考)已知已知an为等差数列，且为等差数列，且a
15、1a38，a2a412.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)记记an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a1，ak，Sk2成等比数成等比数列，求正整数列，求正整数k的值的值 等差数列的基本运算等差数列的基本运算 2数列的通项公式和前数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变项和公式在解题中起到变量代换作用，而量代换作用，而a1和和d是等差数列的两个基本量，用它们是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法表示已知和未知是常用方法答案：答案：(1)44(2)6 答案答案(1)B(2)A 1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前式以及前
16、n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题决许多等差数列问题2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系项的序号之间的关系A6 B7C8 D9(2)(2013海淀期末海淀期末)若数列若数列an满足：满足：a119，an1an3(nN*)，则数列，则数列an的前的前n项和数值最大时，项和数值最大时，n的值的值为为 ()“题型技法点拨题型技法点拨快得分快得分”系列之（六）系列之（六）特值法解等差数列问题特值
17、法解等差数列问题答案答案n 2特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到，特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到，就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的；用特殊值法解题时特殊图形等来求解或否定问题的目的；用特殊值法解题时要注意，所选取的特例一定要简单，且符合题设条件要注意，所选取的特例一定要简单，且符合题设条件答案：答案：C解析：法一：解析：法一：a2a11a1a14，a12，a9a81a8a12a4a14a2a118.法二：法二：a2a11a1a14，a12，令，令pn，q1，所以所以an1ana1
18、，即，即an1an2，an是等差数列，是等差数列，且首项为且首项为2，公差为，公差为2，故，故a92(91)218.答案：答案：B法二：法二：令令n1，只有，只有B项符合项符合教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）(1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求数列求数列an中的最大项和最小项，并说明理由中的最大项和最小项，并说明理由解题训练要高解题训练要高效见效见“课时跟课时跟踪检测（三十踪检测（三十一）一）”2已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，且满足：，且满足：a2a414，S770.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；所以所以
19、an3n2.(2)在在(1)的条件下是否存在常数的条件下是否存在常数，使，使Cn1Cn是等是等差数列？如果存在，求出满足条件的差数列？如果存在，求出满足条件的，如果不存在，如果不存在，请说明理由请说明理由知识能否忆起知识能否忆起 2同一个常数同一个常数公比公比1等比数列的有关概念等比数列的有关概念(1)定义：定义：G a1qn1 2等比数列的有关公式等比数列的有关公式(1)通项公式：通项公式：an .(2)等比中项：等比中项：3等比数列等比数列an的常用性质的常用性质(1)在等比数列在等比数列an中，若中，若mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则，则amanapaqa.特别地，特别地，a1
20、ana2an1a3an2.(2)在公比为在公比为q的等比数列的等比数列an中，数列中，数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列，公比为仍是等比数列，公比为 ；数列数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列仍是等比数列(此时此时q1)；anamqnm.qk小题能否全取小题能否全取1(教材习题改编教材习题改编)等比数列等比数列an中，中，a44，则，则a2a6等于等于()答案：答案：C答案：答案：C 答案：答案：AA64 B81C128 D243 1.等比数列的特征等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比的
21、，公比q也是非零常数也是非零常数(2)由由an1qan，q0并不能立即断言并不能立即断言an为等比数列，为等比数列，还要验证还要验证a10.2等比数列的前等比数列的前n项和项和Sn(1)等比数列的前等比数列的前n项和项和Sn是用错位相减法求得的，注是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用意这种思想方法在数列求和中的运用(2)在运用等比数列的前在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对项和公式时，必须注意对q1与与q1分类讨论，防止因忽略分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题这一特殊情形导致解题失误失误例例1已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且anSnn.
22、(1)设设cnan1，求证：，求证：cn是等比数列；是等比数列；(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明等比数列的判定方法等比数列的判定方法(1)令令bnan1an，证明：，证明：bn是等比数列；是等比数列；(2)求求an的通项公式的通项公式例例2(2011全国高考全国高考)设等比数列设等比数列an的前的前n项和项和为为Sn，已知，已知a26,6a1a330，求，求an和和Sn.等比数列的基本运算等比数列的基本运算1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量本问题，数列中有五个量a1，n，q，
23、an，Sn，一般可，一般可以以“知三求二知三求二”，通过列方程，通过列方程(组组)可迎刃而解可迎刃而解2在使用等比数列的前在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公项和公式时，应根据公比比q的情况进行分类讨论，切不可忽视的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目的取值而盲目用求和公式用求和公式2(2013山西适应性训练山西适应性训练)已知数列已知数列an是公差不为零的是公差不为零的等差数列，等差数列，a12，且，且a2，a4，a8成等比数列成等比数列(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列3an的前的前n项和项和等比数列的性质等比数列的性质例例3(1)(2012威海模拟
24、威海模拟)在由正数组成的等比数列在由正数组成的等比数列an中，若中，若a3a4a53，则，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为的值为 ()(2)设等比数列设等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S6 S31 2，则则S9 S3等于等于 ()A1 2 B2 3C3 4 D1 3答案答案(1)B(2)C 等比数列与等差数列在定义上只有等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的中的“和和”“倍数倍数”可以与等比数列中的可以与等比数列中的“积积”“幂幂”相类相类比关注
25、它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广对于等差数列项的和或等时也有利于类比思想的推广对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式比数列项的积的运算，若能关注通项公式anf(n)的下的下标标n的大小关系，可简化题目的运算的大小关系，可简化题目的运算3(1)(2012新课标全国卷新课标全国卷)已知已知an为等比数列，为等比数列，a4a72，a5a68，则，则a1a10()A7B5C5 D7答案答案(1)D (2)C 典例典例设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q，前，前n项和项和Sn0(n1,2,3，)则则q
26、的取值范围为的取值范围为_答案答案(1,0)(0，)教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）1(2012大纲全国卷大纲全国卷)已知数列已知数列an的前的前n项和项和 为为Sn，a11，Sn2an1，则，则Sn ()解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测（三十二）测（三十二）”答案：答案：B2等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知S1，S3，S2成成等等差数列差数列(1)求求an的公比的公比q；(2)若若a1a33，求，求Sn.3已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a11，公差，公差d0，且第，且第2项、第项、第5项、项、第第14项分别是等
27、比数列项分别是等比数列bn的第的第2项、第项、第3项、第项、第4项项(1)求数列求数列an与与bn的通项公式；的通项公式；知识能否忆起知识能否忆起 一、公式法一、公式法1如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列项和公式，注意等比数列公比公比q的取值情况要分的取值情况要分q1或或q1.2一些常见数列的前一些常见数列的前n项和公式：项和公式：(1)1234n；(2)13572n1 ；(3)24682n .n2n2n二、非等差、等比数列求和的常用方法二、非等差、等比数列求和的常用方
28、法1倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列an，首末两端等，首末两端等“距离距离”的两项的和相的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒项和即可用倒序相加法，等差数列的前序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的项和即是用此法推导的2分组转化求和法分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减求和而后相加减3错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数
29、列和一个等比如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可项和即可用此法来求，等比数列的前用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的项和就是用此法推导的4裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和项可以相互抵消，从而求得其和小题能否全取小题能否全取1(2012沈阳六校联考沈阳六校联考)设数列设数列(1)n的前的前n项和为项和为Sn，则对任意正整数则对任意正整数n，Sn()答案：答案：D答案：答案：C A120
30、B70C75 D1003数列数列a12，ak2k，a1020共有十项，且共有十项，且其和为其和为240，则，则a1aka10的值为的值为 ()A31 B120C130 D185答案：答案：C 4若数列若数列an的通项公式为的通项公式为an2n2n1，则数列，则数列an的前的前n项和为项和为_答案答案：2n1n22数列求和的方法数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和种方法适用特
31、点的形式，从而选择合适的方法求和(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和消法、错位相减法、倒序相加法等来求和 例例1(2011(2011山东高考山东高考)等比数列等比数列an中，中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一
32、个数，且分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列中的任何两个数不在下表的同一列.分组转化法求和分组转化法求和第一列第一列第二列第二列第三列第三列第一行第一行3210第二行第二行6414第三行第三行9818(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列bn满足：满足：bnan(1)nln an，求数，求数列列bn的前的前2n项和项和S2n.自主解答自主解答(1)当当a13时，不合题意；时，不合题意；当当a12时，当且仅当时，当且仅当a26，a318时，符合题意；时，符合题意；当当a110时，不合题意时，不合题意因此因此a12，a26
33、，a318.所以公比所以公比q3，故，故an23n1.分组转化法求和的常见类型分组转化法求和的常见类型 (1)若若anbncn，且，且bn，cn为等差或等比数列，为等差或等比数列，可采用分组求和法求可采用分组求和法求an的前的前n项和项和1已知数列已知数列xn的首项的首项x13，通项，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数为常数)，且，且x1，x4，x5成等差数列求：成等差数列求：(1)p，q的值；的值；(2)数列数列xn前前n项和项和Sn的公式的公式解：解：(1)由由x13，得，得2pq3，又因为，又因为x424p4q，x525p5q，且，且x1x52x4，得，得325p5q25p8q，解
34、得解得p1，q1.例例2(2012(2012江西高考江西高考)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Snkcnk(其中其中c，k为常数为常数)，且，且a24，a68a3.(1)求求an；(2)求数列求数列nan的前的前n项和项和Tn.错位相减法求和错位相减法求和用错位相减法求和应注意：用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；数的情形；(2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错项对齐错项对齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式的表达式(
35、3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于参数，应分公比等于1和不等于和不等于1两种情况求解两种情况求解2(2012济南模拟济南模拟)已知等比数列已知等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且满足满足Sn3nk.(1)求求k的值及数列的值及数列an的通项公式；的通项公式；解：解：(1)当当n2时，由时，由anSnSn13nk3n1k23n1，得等比数列，得等比数列an的公比的公比q3，首项为，首项为2.a1S13k2，k1，数列数列an的通项公的通项公式为式为an23n1.裂项相消法求和裂项相消法求和例例3已知数列已知数列an
36、的前的前n项和为项和为Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；自主解答自主解答(1)Snnann(n1)，当，当n2时，时，Sn1(n1)an1(n1)(n2)，anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)(n2)，即即anan12.数列数列an是首项是首项a11，公差，公差d2的等差数列，的等差数列，故故an1(n1)22n1，nN*.利用裂项相消法求和应注意利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；可能前面剩两项，后面也剩两项；3(
37、2012(2012“江南十校江南十校”联考联考)在等比数列在等比数列an中，中，a10，nN*，且，且a3a28，又，又a1、a5的等比中项为的等比中项为16.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；解：解：(1)设数列设数列an的公比为的公比为q，由题意可得，由题意可得a316，a3a28，则，则a28，q2.an2n1.数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式
38、联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力“大题规范解答大题规范解答得全分得全分”系列之系列之(五五)利用错位相减法解决数列求和的答题模板利用错位相减法解决数列求和的答题模板课件演示更丰富，见配套光盘课件演示更丰富，见配套光盘超链接超链接(1)确定常数确定常数k，求，求an；教你快速规范审题教你快速规范审题1审条件，挖解题信息审条件，挖解题信息2审结论，明解题方向审结论，明解题方向3建联系，找解题突破口建联系，找解题突破口1审条件，挖解题信息审条
39、件，挖解题信息9 22nna 可可化化列列简简数数2审结论，明解题方向审结论，明解题方向12nn 分分析析通通的的特特项项点点3建联系，找解题突破口建联系，找解题突破口22123112222nnnnnT 件件具具，代代入入求求和和：+条条备备3232222122nnnTnn +21211122 121124422222nnnnnnnTTnnn ：+教你准确规范解题教你准确规范解题常见失分探因常见失分探因 错位相减时，易漏项或求错项数错位相减时，易漏项或求错项数.利用利用anSnSn1时，易忽视条件时，易忽视条件n2，即不验证，即不验证a1 是否适合是否适合an .7292n 教你一个万能模板教
40、你一个万能模板 利用错位相减法求数列的前利用错位相减法求数列的前n项和，一般可用以下项和，一般可用以下几步解答：几步解答：第一步第一步将数列将数列cn写成写成两个数列的积两个数列的积的形式的形式cnanbn，其中，其中an为等为等差数列，差数列，bn为为等比数列等比数列 第二步第二步写出数列写出数列cn的前的前n项和项和Sna1b1a2b2anbn 第三步第三步第三步：第三步：Sna1b1a2b2anbn的两边同乘以公的两边同乘以公比比q，得，得qSnqa1b1qa2b2qanbn 第四步第四步两式错位相两式错位相减得减得(q1)Sn 第五步第五步等式两边等式两边同时除以同时除以q1，得，得S
41、n 第六步第六步反思回顾，查看反思回顾，查看关键点、易错点关键点、易错点及解题规范及解题规范.如本如本题错位相减时，题错位相减时，是否有漏项是否有漏项 教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）1已知已知an是公差不为零的等差数列，是公差不为零的等差数列，a11，且且a1，a3，a9成等比数列成等比数列(1)求数列求数列an的通项；的通项；(2)求数列求数列2an的前的前n项和项和Sn.解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测（三十三）测（三十三）”(1)求求an的通项公式和的通项公式和Sn；3已知二次函数已知二次函数f(x)x25x10，当，当x(n，n1(nN*
42、)时，把时，把f(x)在此区间内的整数值的个数表示为在此区间内的整数值的个数表示为an.(1)求求a1和和a2的值；的值；(2)求求n3时时an的表达式；的表达式；(2)当当n3时，时，f(x)是增函数，故是增函数，故anf(n1)f(n)2n4.知识能否忆起知识能否忆起 1数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：本步骤，可用图表示如下：2数列应用题常见模型数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加等差模型：如果增加(或减少或减少)的量是一个固定量时，的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加该模型是等差模型，增加(或减少或减
43、少)的量就是公差的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与与an1的的递推关系，还是前递推关系，还是前n项和项和Sn与与Sn1之间的递推关系之间的递推关系小题能否全取小题能否全取1某学校高一、高二、高三共计某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年名学
44、生，三个年级级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是是 ()A800B820C840 D860答案：答案：B2(教材习题改编教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有个，现在有一个这样的细菌和一个这样的细菌和100个这样的病毒个这样的病毒(假设病毒不繁殖假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要问细菌将病毒全部杀死至少需要 ()A6秒钟秒钟 B7秒钟秒钟C8秒钟秒钟 D9秒钟秒钟答案：答案：B3数列数列an是各项均为
45、正数的等比数列，是各项均为正数的等比数列，bn是等差数是等差数列，且列，且a6b7，则有，则有 ()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10 Da3a9与与b4b10的大小不确的大小不确定定答案：答案：B答案：答案：95设曲线设曲线yxn1(nN*)在点在点(1,1)处的切线与处的切线与x轴的交点轴的交点的横坐标为的横坐标为xn，xn_，令，令anlg xn，则，则a1a2a99的值为的值为_1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差些数列题目条件已指明是等差(或等比或等比)数列，有的数列并没数
46、列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题2数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，
47、随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注来越多的关注 例例1在等比数列在等比数列an(nN*)中，中，a11，公比，公比q0，设，设bnlog2an，且，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求求bn的前的前n项和项和Sn及及an的通项的通项an.等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题试比较试比较(2)求出的求出的Sn与与an的大小的大小 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果
48、同一数列中部分项成等差数列，部两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解再进行求解1(2012河南调研河南调研)已知已知an是一个公差大于是一个公差大于0的等差数的等差数列，且满足列，且满足a3a655，a2a716.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；解：解：(1)设
49、等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，则依题意知，则依题意知d0，由由a2a716，得，得2a17d16，由由a3a655，得，得(a12d)(a15d)55，由得由得2a1167d，将其代入得，将其代入得(163d)(163d)220，即，即2569d2220.d24，又，又d0，d2，代入得，代入得a11，an1(n1)22n1.例例2(2011湖南高考改编湖南高考改编)某企业在第某企业在第1年初购买年初购买一台价值为一台价值为120万元的设备万元的设备M，M的价值在使用过程中逐的价值在使用过程中逐年减少从第年减少从第2年到第年到第6年，每年初年，每年初M的价值比上年初减的价值比上年初
50、减少少10万元；从第万元；从第7年开始，每年初年开始，每年初M的价值为上年初的的价值为上年初的75%.则第则第n年初年初M的价值的价值an_.等差数列与等比数列的实际应用等差数列与等比数列的实际应用1数列实际应用题的解题策略数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解2处理分期付款问题的注意事项处理分期付款问题的注意事项(1)
