1、第五节 对数与对数函数基础知识梳理1对数对数一般地，如果一般地，如果a(a0且且a1)的的b次幂等于次幂等于N，即，即abN，那么数，那么数b叫做以叫做以a为底为底N的对的对数，记作数，记作logaNb，其中，其中a叫做叫做 ，N叫叫做做 ，式子，式子logaN叫做叫做 常用对数：通常将常用对数：通常将log10N的对数叫做常的对数叫做常用对数，为了简便，用对数，为了简便，N的常用对数记作的常用对数记作 .底数底数真数真数以以a为底为底N的对数的对数lgN基础知识梳理自然对数：通常将使用以无理数自然对数：通常将使用以无理数e2.71828为底的对数叫做自然对数，为了简便，为底的对数叫做自然对数
2、，为了简便，N的自然对数的自然对数logeN简记作简记作 .对数恒等式：对数恒等式：alogaN (a0且且a1，N0)叫做对数恒等式叫做对数恒等式对数换底公式：对数换底公式：logbN (c0，且，且c1)lnNN基础知识梳理对数的性质：对数的性质：(1)负数和零没有对数；负数和零没有对数；(2)1的对数是零，即的对数是零，即loga10；(3)底的对数等于底的对数等于1，即，即logaa1.基础知识梳理2对数的运算性质对数的运算性质如果如果a0且且a1，M0，N0，那么，那么(1)loga(MN)；(2)Loga ；(3)loganbm logab；(4)logaMn (nR)logaMl
3、ogaNlogaMlogaNnlogaM基础知识梳理3几个小结论几个小结论(1)loganbnlogab；(2)loga logaM；(3)(logab)(logba)1.基础知识梳理logax22logax是否正确？是否正确？基础知识梳理 4对数函数对数函数 函数函数ylogax(a0，且，且a1)叫做叫做对数函数其中对数函数其中x是自变量是自变量 互为反函数，互为反函数，其图象关于直线其图象关于直线 对称对称对数函数与指数函数对数函数与指数函数yx基础知识梳理解析式解析式ylogax，(a0，且，且a1)定义域定义域(0，)值域值域(，)图象图象5.对数函数的图象和性质（见下表）对数函数的
4、图象和性质（见下表）基础知识梳理单调性单调性当当a1时，在时，在(0，)上为上为 函数函数,当当0a1时，在时，在(0，)上为上为 函数函数函数值分布函数值分布当当a1时：若时：若x1，则，则 ；若若x1，则，则 ；若；若0 x1，则，则 ；当当0a1时：若时：若x1，则则 ；若；若x1，则，则 ；若若0 x1，则，则 .减减增增y0y0y0y0y0三基能力强化三基能力强化2(2009年高考湖南卷改编年高考湖南卷改编)若若log2a1，则，则a，b的取值的取值范围是范围是_解析：解析：由由log2a00a1b0.答案：答案：0a1，b1，则实数，则实数a的取值范围是的取值范围是_答案：答案：(
5、1,2)三基能力强化5函数函数ylog (x23x2)的递增区间是的递增区间是_答案：答案：(，1)课堂互动讲练简单的对数式的化简与求值是要简单的对数式的化简与求值是要求在熟练掌握对数的运算性质基础之求在熟练掌握对数的运算性质基础之上进行的，抓住化简的关键，如同底，上进行的，抓住化简的关键，如同底，换底等，才能顺利求值换底等，才能顺利求值对数运算对数运算考点一考点一课堂互动讲练计算：计算：(1)(lg2)2lg2lg50lg25；(2)(log32log92)(log43log83)；课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】把式子中的对把式子中的对数化为最简形式，再根据对数的运数化为最简形式，再根据对
6、数的运算性质计算算性质计算【解解】(1)原式原式(lg2)2(1 lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2；课堂互动讲练课堂互动讲练【点评点评】对数式的有关化简及运对数式的有关化简及运算，应熟练掌握对数的运算性质，对有算，应熟练掌握对数的运算性质，对有些对数公式及结论的应用要灵活，能结些对数公式及结论的应用要灵活，能结合变形形式，对有关条件或运算形式进合变形形式，对有关条件或运算形式进行准确地定位，从而得出结果行准确地定位，从而得出结果课堂互动讲练1计算：计算：(1)(lg2)3(lg5)33lg2lg5；(2)已知已知loga2m，lo
7、ga3n，求求a2mn的值的值解：解：(1)(lg2)3(lg5)33lg2lg5(lg2lg5)(lg2)2lg2lg5(lg5)23lg2lg5lg10(lg2lg5)23lg2lg53lg2lg51.课堂互动讲练(2)法一：法一：loga2m，am2.loga3n，an3.故故a2mn(am)2an4 312.法二：法二：loga2m，loga3n，a2mna2loga2loga3=aloga1212.课堂互动讲练要正确识别函数图象，一是熟要正确识别函数图象，一是熟悉各种基本函数的图象，二是把握图悉各种基本函数的图象，二是把握图象的性质，根据图象的性质去判断，象的性质，根据图象的性质去判
8、断，如过定点、定义域、值域、单调性、如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性奇偶性对数函数的图象对数函数的图象考点二考点二课堂互动讲练当当a1时，函数时，函数ylogax和和y(1a)x的图象只可能是的图象只可能是_课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】利用对函数的性质利用对函数的性质判断函数图象判断函数图象【解析解析】当当a1时，函数时，函数y=logax的的图象只能在和中选图象只能在和中选又又a1时，时，y=(1-a)x为减函数为减函数【答案答案】课堂互动讲练【点评点评】图象问题涉及知识面图象问题涉及知识面较广，函数的性质几乎都在图象上有较广，函数的性质几乎都在图象上有所反映，抓住图象的显著特征如
9、单调所反映，抓住图象的显著特征如单调性、奇偶性、对称性、定义域、值域性、奇偶性、对称性、定义域、值域等来判断，有时还要注意图象的变化等来判断，有时还要注意图象的变化趋势以及与趋势以及与x、y轴的交点等轴的交点等课堂互动讲练2在例在例2中中“a1”改为改为“0a1”，如果如何？如果如何？解：解：0a0，y(1a)x为增函数，为增函数，正确正确 课堂互动讲练对数函数性质中，单调性及其应对数函数性质中，单调性及其应用是重点，多数情形下，要对单调性用是重点，多数情形下，要对单调性分类讨论分类讨论对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用考点三考点三课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】化为同底，利
10、用化为同底，利用单调性比较单调性比较课堂互动讲练(2)法一：法一：00.71,1.1log0.71.1log0.71.2，即由换底公式可得即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.课堂互动讲练法二：法二：作出作出ylog1.1x与与ylog1.2x的图象的图象如图所示两图象与如图所示两图象与x0.7相交可知相交可知log1.10.7ac，而，而y2x是增函数，是增函数，2b2a2c.课堂互动讲练【点评点评】对数的大小比较，可对数的大小比较，可借助图象来研究，一般先观察正负情借助图象来研究，一般先观察正负情况，再利用单调性比较，有时还需借况，再利用单调性比较，有时还需借助中间量，如助
11、中间量，如“1”，比较大小，比较大小课堂互动讲练解析：解析：1alog232,0blog321，clog 2log32，dlog23，dcba.答案：答案：dcb0，对，对xR恒成立，恒成立，umin3a20.故故a的取值范围为的取值范围为 .4分分课堂互动讲练课堂互动讲练(3)函数函数f(x)在在1，)上有意义上有意义ug(x)0对对x1，)恒成立，恒成立，因此应按因此应按g(x)的对称轴的对称轴xa分类，则得：分类，则得：解这两个不等式组得到实数解这两个不等式组得到实数a的取值范围的取值范围是是(2，).10分分课堂互动讲练(4)函数函数f(x)的值域为的值域为(，1，g(x)的值域是的值
12、域是2，)，因此要求因此要求g(x)能取遍能取遍2，)的一切的一切值值(而且不能多取而且不能多取)由于由于g(x)是连续函数，是连续函数，所以命题等价于所以命题等价于g(x)min3a22，故故a 1.13分分课堂互动讲练(5)函数在函数在(，1上是增函上是增函数数g(x)在在(，1上是减函数，上是减函数，且且g(x)0对对x(，1恒成立，恒成立，故，故a的取值范围的取值范围为为1,2).16分分课堂互动讲练【点评点评】此题用同一个函数考查了常此题用同一个函数考查了常见的既是重要的基本问题，又是容易混淆的难见的既是重要的基本问题，又是容易混淆的难点问题做完后，应注意比较与总结如函数点问题做完后
13、，应注意比较与总结如函数在某区间上有意义与其定义域是某区间两者之在某区间上有意义与其定义域是某区间两者之间是有本质的区别函数在某区间上有意义说间是有本质的区别函数在某区间上有意义说明此区间是它的定义域的一个子集，而不一定明此区间是它的定义域的一个子集，而不一定与定义域相同第与定义域相同第(1)问与第问与第(2)问也容易混问也容易混淆定义域为淆定义域为R是指函数式对任意是指函数式对任意xR都有意都有意义；值域为义；值域为R，定义域不一定为，定义域不一定为R.这要通过分析这要通过分析所给函数的性质来解决，如：所给函数的性质来解决，如：ylgx，x的取值的取值范围只要包含范围只要包含(0，)，y便可
14、取到全体实数便可取到全体实数课堂互动讲练4(本题满分本题满分12分分)已知：已知：f(x)lg(axbx)(a1b0)(1)求求f(x)的定义域；的定义域；(2)判断判断f(x)在其定义域内的单调在其定义域内的单调性；性；(3)若若f(x)在在(1，)内恒为正，内恒为正，试比较试比较ab与与1的大小的大小 课堂互动讲练解：解：(1)由由axbx0，()x1，1，x0，f(x)的定义域为的定义域为(0，).4分分 课堂互动讲练(2)设设x2x10，a1b0，ax2ax1，bx1bx2，bx2bx1，ax2bx2ax1bx10，6分分f(x2)f(x1)0，f(x)在在(0，)内是增函数内是增函数
15、.10分分 课堂互动讲练(3)当当x(1，)时，时，f(x)f(1)，要使要使f(x)0，须，须f(1)0，ab1.12分分 规律方法总结1比较两个对数的大小的基本比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与同底数的对数，还要注意与0比较或比较或与与1比较比较规律方法总结2把原函数做变量代换化归为二次把原函数做变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最函数，然后用配方法求指定区间上的最值是求对数函数的常见题型在给定条值是求对数函数的常见题型在给定条件下，求字母的
16、取值范围也是常见题型，件下，求字母的取值范围也是常见题型，尤其是与对数函数结合在一起的高考试尤其是与对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜题更是屡见不鲜3对数方程：在对数符号后面含有对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程未知数的方程叫对数方程规律方法总结4解对数方程的基本思路是化为解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有：代数方程，常见的可解类型有：(1)形如形如logaf(x)logag(x)(a0且且a1)的方程，化成的方程，化成f(x)g(x)求解求解(2)形如形如f(logax)0的方程，用换元的方程，用换元法求解；法求解；(3)形如形如logf(x)g(x)c的方程，化成的方程，化成指数式指数式f(x)cg(x)求解求解规律方法总结5在将对数方程化为代数方程的在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数范围扩大或缩小就容易过程中，未知数范围扩大或缩小就容易产生增根或减根，因此解对数方程要注产生增根或减根，因此解对数方程要注意验根意验根6含参数的指数、对数方程在求含参数的指数、对数方程在求解时，注意将原方程等价转化为某个混解时，注意将原方程等价转化为某个混合组，并注意在等价转化的原则下化简，合组，并注意在等价转化的原则下化简，求解，并对参数进行分类讨论求解，并对参数进行分类讨论随堂即时巩固课时活页训练
