1、 9.3 9.3 反比例函数的应用反比例函数的应用 反比例函数的应用反比例函数的应用反比例函数应用学习目标学习目标 1 1、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。2 2、能综合利用反比例函数的知识分析和解决一些简单、能综合利用反比例函数的知识分析和解决一些简单的实际问题。的实际问题。3 3、经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函、经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。数模型，进而解决问题的过程。4 4、使学生认识数学与生活的密切联系，激发学生学习数、使学生认识数学与生活的密切联系，激发学生学习数
2、学的兴趣，增强数学应用意识。学的兴趣，增强数学应用意识。探索新知 例例1 1、某自来水公司计划新建一个容积为、某自来水公司计划新建一个容积为4 410104 4m m3 3的长方体蓄水池。的长方体蓄水池。例题与评析例题与评析（1 1）蓄水池的底面积）蓄水池的底面积S S（）与其深度（）与其深度h(m)h(m)有怎样的有怎样的函数关系？函数关系？（2 2）如果蓄水池的深度设计为）如果蓄水池的深度设计为5m5m，那么蓄水池的底面，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？积应为多少平方米？（3 3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长与宽最多只能
3、分别设计为蓄水池的长与宽最多只能分别设计为100m100m和和60m60m，那么，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）位小数）点拨释疑点拨释疑 解：（解：（1 1）由）由 sh=4 sh=410104 4变形得变形得s=s=。所以蓄水池的底面积所以蓄水池的底面积s s是其深度是其深度h h的反比例函数。的反比例函数。（2 2）把）把h=5h=5代入代入s=s=，得，得s=8000.s=8000.所以当蓄水池的深度设计为所以当蓄水池的深度设计为5m5m时，蓄水池的底面积时，蓄水池的底面积应为应为8000m8000m2 2.h40
4、000 例题与评析例题与评析 540000h40000 点拨释疑点拨释疑 （3 3）根据题意，得）根据题意，得s=100s=10060=6000.60=6000.代入代入s=s=，得，得h=h=6.676.67.所以蓄水池的深度至少达到所以蓄水池的深度至少达到6.67m6.67m才能满足要求。才能满足要求。例题与评析例题与评析 h40000600040000 生活与数学1 1、已知矩形的面积为、已知矩形的面积为6 6，则它的长，则它的长y y和宽和宽x x之间的函数关系用图象大致可之间的函数关系用图象大致可表示为（表示为（）（A A）（B B）（C C）（D D）练一练练一练 B 生活与数学
5、2 2、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度度y y（m m）是面条的粗细（横截面积）是面条的粗细（横截面积）S(mmS(mm2 2)的反比例的反比例函数，其图象如图所示函数，其图象如图所示,试一试试一试 S(mm2)020406080100P(4,32)y(m)(1)(1)写出写出y y与与S S的函数的函数 关系式；关系式；(2)(2)当面条粗当面条粗1.6 mm1.6 mm2 2时，时，面条的总长度是多少米？面条的总长度是多少米？例例2 2、为了
6、预防、为了预防“传染病传染病”,某学校对教某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒室采用药熏消毒法进行消毒,已知在已知在药物燃烧时段内药物燃烧时段内,室内每立方米空气室内每立方米空气中的含药量中的含药量y(mg)y(mg)与时间与时间x(min)x(min)成正成正比例比例.药物燃烧后药物燃烧后,y,y与与x x成反比例成反比例(如如图所示图所示),),现测得药物现测得药物8min8min燃烧完燃烧完,此此时室内空气中每立方米的含药量为时室内空气中每立方米的含药量为6mg,6mg,请根据题中所提供的信息请根据题中所提供的信息,解答解答下列问题下列问题:独立独立思考思考?6?O?8?x(min)?y(
7、mg)(1)(1)药物燃烧时药物燃烧时,y,y关于关于x x 的函数关的函数关系式为系式为:_,:_,自变量自变量x x 的取的取值范围是值范围是:_,:_,药物燃烧后药物燃烧后y y关关于于x x的函数关系式为的函数关系式为_._.(2)(2)研究表明研究表明,当空气中每立方米的当空气中每立方米的含药量低于含药量低于1.6mg1.6mg时，学生方可进教时，学生方可进教室室,那么从消毒开始那么从消毒开始,至少需要经过至少需要经过_分钟后分钟后,学生才能回到教室学生才能回到教室;?6?O?8?x(min)?y(mg)(3)(3)研究表明研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于当空气中每立方米的含
8、药量不低于3mg3mg且且持续时间不低于持续时间不低于10min10min时时,才能有效杀灭空气中的病菌才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效那么此次消毒是否有效?为什么为什么?6?O?8?x(min)?y(mg).近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是斯，其主要成分是COCO在一次矿难事件的调查中发现：从在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中零时起，井内空气中COCO的浓度达到的浓度达到4mg/L4mg/L，此后浓度呈直，此后浓度呈直线型增加，在第线型增加，在第7 7小时达到最高值小时达到最高
9、值46mg/L46mg/L，发生爆炸；爆，发生爆炸；爆炸后，空气中的炸后，空气中的COCO浓度成反比例下降如图所示，根据题浓度成反比例下降如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：中相关信息回答下列问题：（1 1）求爆炸前后空气中）求爆炸前后空气中COCO浓度浓度y y与时间与时间x x的函数关系式，的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；并写出相应的自变量取值范围；（2 2）当空气中的）当空气中的COCO浓度达到浓度达到34mg/L34mg/L时，井下时，井下3km3km的矿的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/hkm/h的速度的速度撤离才
10、能在爆炸前逃生？撤离才能在爆炸前逃生？（3 3）矿工只有在空气中的）矿工只有在空气中的COCO浓浓度降到度降到4mg/L4mg/L及以下时，才能回及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？少在爆炸后多少小时才能下井？练一练练一练我反思我进步 总结总结:实际问题实际问题 数学问题（反比例函数）数学问题（反比例函数）1 1、本节课学习的数学知识：运用反比例函数的、本节课学习的数学知识：运用反比例函数的知识解决实际问题。知识解决实际问题。2 2、本节课学习的数学方法：建模思想和函数的、本节课学习的数学方法：建模思想和函数的思想。思想。小结与思
11、考小结与思考 转化转化解决解决 反思反思 1 1、本节课你有什么收获？、本节课你有什么收获？2 2、你对自己今天的表现满意吗？、你对自己今天的表现满意吗？3.3反比例函数中考数学中考数学(2014-20182014-2018年年北京北京中考题组中考题组五年中考1.(2014北京,11,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数y=(k0),使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为 .kx答案答案 y=(答案不唯一,满足0k4即可)解析解析当反比例函数的图象经过点B时,由点B的坐标为(2,2),得k的值为4,由反比例函数的图象可知,要满足题意,只需
12、00)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).(1)求k,m的值.(2)已知点P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=(x0)的图象于点N.当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;若PNPM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.kxkx解析解析(1)直线y=x-2经过点A(3,m),m=1.又函数y=(x0)的图象经过点A(3,1),k=3.(2)PM=PN.理由:当n=1时,点P的坐标为(1,1),点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(1,3),PM=PN=2.n的取值范围是00.当直线经过第一、二、三象限
13、时,如图1.图1过点P作PHx轴于点H,可得PHABOA,PA=2AB,=2.8xPHBOPABAPH=4,OB=2.点B的坐标为(0,2).由直线经过点P,B,可得k=1.当直线经过第一、三、四象限时,如图2.图2同理,由PA=2AB,可得点B的坐标为(0,-2).由直线经过点P,B,可得k=3.综上所述,k=1或k=3.思路分析思路分析 (1)由点P(2,m)在双曲线y=上求m的值.(2)通过PA与AB的数量关系画出正确的示意图,同时要关注P,A,B这三个点的相对位置关系,即要考虑分类讨论.8x解题关键解题关键 解决本题的关键是要画出正确的示意图,并通过相似三角形的判定与性质求解.教师专用
14、题组教师专用题组考点一反比例函数的图象和性质考点一反比例函数的图象和性质1.(2018辽宁沈阳,9,2分)点A(-3,2)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k的值是()A.-6 B.-C.-1 D.6kx32答案答案 A把代入y=,得2=,k=-6.3,2xy kx3k2.(2018江西,6,3分)在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)作x轴的垂线l1和l2,探究直线l1,直线l2与双曲线y=的关系,下列结论中的是()A.两直线中总有一条与双曲线相交B.当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等C.当-2m0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧D.当两直线与双曲线都有
15、交点时,这两交点的最短距离是23x错误答案答案 D由于m、m+2不同时为零,所以两直线中总有一条与双曲线相交,选项A中结论正确;当m=1时,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),当x=1时,y=3,直线l1与双曲线的交点坐标为(1,3);当x=3时,y=1,直线l2与双曲线的交点坐标为(3,1).=,当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等,选项B中结论正确;当-2m0时,0m+20)上,过点A作ABx轴,垂足为点B,分别以点O和点A为圆心,大于OA的长为半径作弧,两弧相交于D,E两点,作直线DE交x轴于点C,交y轴于点F(0,2),连接AC,若AC=1,则k的值为()A.2
16、 B.C.D.kx1232254 352 525答案答案 B设DE与AO交于点G,由题意知,DE为线段OA的垂直平分线,DEAO,OG=AG,OC=AC=1,在RtFOC中,CF=,OG=,AO=.易证FOCOBA,=,SOBA=.k=2SOBA=,故选B.22OCOF52 554 55OBAFOCSS2OAFC16253225思路分析思路分析 根据作图方法可以判定DE垂直平分线段OA,则OC=AC=1,在RtFOC中求得CF的长,从而求出OG的长,进而求出AO的长,再判定FOCOBA,通过相似三角形面积比等于相似比的平方求出SOBA,即可得到k的值.解后反思解后反思 本题考查了基本作图,勾股
17、定理,相似三角形的性质和判定以及反比例函数y=中k的几何意义.根据题意求得OBA的面积即可求得k的值.kx4.(2016天津,11,3分)若点A(-5,y1),B(-3,y2),C(2,y3)在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y3y2 B.y1y2y3C.y3y2y1 D.y2y1y3 3x答案答案 D y=的图象过第一、三象限,且在每一个象限内,y随x的增大而减小,A、B在第三象限,且-5-3,y2y10,y2y10)的图象是()kx 答案答案 D对于y=-x2+3,当y=0时,x=;当x=1时,y=2;当x=0时,y=3,所以抛物线y=-x2+3与x轴围成
18、封闭区域内(边界除外)的整点(点的横、纵坐标都是整数)为(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),共有4个,k=4,反比例函数y=的图象经过点(4,1),故选D.34x6.(2015江苏连云港,7,3分)如图,O为坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=(x0)的图象经过顶点B,则k的值为()A.-12 B.-27 C.-32 D.-36kx答案答案 C过点A作菱形ABCO的高AE,在RtAEO中,AE=4,EO=3,由勾股定理得AO=5,所以AB=5,所以B点坐标为(-8,4),又点B在y=(x0)的图象上,所以4=,得k=-32,故选C.
19、kx8k7.(2015天津,9,3分)已知反比例函数y=,当1x3时,y的取值范围是()A.0y1 B.1y2 C.2y66x答案答案 C由反比例函数的性质可得,当1x3时,y随x的增大而减小,故2y0)的图象上,且x1=-x2,则()A.y1y2 D.y1=-y2 kx答案答案 D由题意,得xy=k,因为k是定值,所以当x1=-x2时,y1=-y2,故选D.10.(2018陕西,13,3分)若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例函数的表达式为 .答案答案 y=4x解析解析设反比例函数的表达式为y=(k0),反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1)
20、,k=m2=-2m,解得m1=-2,m2=0(舍去),k=4,反比例函数的表达式为y=.kx4x方法指导方法指导 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标的特点,熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键.11.(2016广西南宁,17,3分)如图所示,反比例函数y=(k0,x0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D,若矩形OABC的面积为8,则k的值为 .kx解析解析设D(xD,yD),xD0,yD0,过D分别作DEOA,DFOC,则DF=xD,DE=yD,且DFOA,DEOC,点D为AC的中点,OA=2DF=2xD,OC=2DE=2yD.矩形OABC的面积等于8,OAOC=8,即2x
21、D2yD=8,xDyD=2.又点D在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,k=xDyD=2.kx答案答案212.(2015甘肃兰州,19,4分)如图,点P、Q是反比例函数y=图象上的两点,PAy轴于点A,QNx轴于点N,作PMx轴于点M,QBy轴于点B,连接PB、QM,ABP的面积记为S1,QMN的面积记为S2,则S1 S2.(填“”或“0)与此正方形的边有交点,则a的取值范围是 .3x答案答案 -1a 33解析解析由A(a,a)及正方形ABCD的边长为1可得C(a+1,a+1),当点A在曲线上时,a=a=(负值舍去).当点C在曲线上时,a+1=a=-1+(负值舍去).若曲线y=(x0)与正方
22、形ABCD的边有交点,则a的取值范围是-1a.3a331a 33x3314.(2014上海,14,4分)已知反比例函数y=(k是常数,k0),在其图象所在的每个象限内,y的值随着x的值增大而增大,那么这个反比例函数的解析式可以是 (只需写一个).kx答案答案 y=-(答案不唯一)1x解析解析因为反比例函数y=(k0)在其图象所在的每个象限内y的值随着x的值增大而增大,所以k0.只需满足k0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;矩形的
23、面积等于k的值.kx解析解析(1)点P(2,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,=2,即k=4.反比例函数的解析式为y=.(3分)(2)(答案不唯一,正确画出两个矩形即可)(9分)举例:如图,矩形OAPB,矩形OPCD.kx2k4x17.(2016吉林,22,7分)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x0)的图象上有一点A(m,4),过点A作ABx轴于点B,将点B向右平移2个单位长度得到点C,过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D,CD=.(1)点D的横坐标为 (用含m的式子表示);(2)求反比例函数的解析式.kx43解析解析(1)m+2.(2分)(2)CD=,点D的坐标为.点A
24、(m,4),点D在函数y=的图象上,4m=(m+2).m=1.(5分)k=4m=41=4.(6分)反比例函数的解析式为y=.(7分)4342,3m42,3mkx434x考点二反比例函数的应用考点二反比例函数的应用1.(2018重庆,11,4分)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,横坐标分别为1,4,对角线BDx轴.若菱形ABCD的面积为,则k的值为()A.B.C.4 D.5kx45254154答案答案 D连接AC,设AC与BD、x轴分别交于点E、F.已知A、B的横坐标分别为1,4,BE=3,BD=6.四边形ABCD为菱形,S菱形ABCD=A
25、CBD=,AC=,AE=.设点B的坐标为(4,m),则A点坐标为.点A、B都在函数y=的图象上,4m=1,m=.B点坐标为,k=5,故选D.12452152154151,4mkx154m5454,4思路分析思路分析 根据A、B的横坐标求出BD的长,利用菱形的面积公式求出AC的长,设点B的坐标为(4,m),用m表示出点A的坐标.利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为k构造方程求出m,进而求出k.151,4m2.(2018内蒙古包头,19,3分)以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BEAC,垂足为E.若双曲线y=(x0)经过点D,则
26、OBBE的值为 .32x答案答案3解析解析根据题意得,矩形ABCD的顶点B在双曲线y=上,顶点A,C在双曲线y=-上.设AB与x轴交于点M,BC与y轴交于点N,则SAMO=SCNO=,S矩形BMON=,SABC=3.OB=BD=AC,BEAC,SABC=BEAC=BE2OB=3,即OBBE=3.32x32x343212121212思路分析思路分析 根据图形的对称性可得点A、C在双曲线y=-上,点B在双曲线y=上,由反比例函数y=中k的几何意义得SABC=2|k|=3,即SABC=BEAC=BE2OB=BEOB=3.32x32xkx1212解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性质,反比例函数中比
27、例系数k的几何意义.要根据k的几何意义求得SABC,SABC可以表示为BEAC,又因为OB=AC,进而求得OBBE的值.12123.(2018福建,16,4分)如图,直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B两点,BCx轴,ACy轴,则ABC面积的最小值为 .3x答案答案6解析解析令=x+m,整理得x2+mx-3=0,则xA=,xB=,BCx轴,ACy轴,且直线AB为y=x+m,AC=BC=xA-xB=,SABC=(m2+12)6,当且仅当m=0时取“=”.故ABC面积的最小值为6.3x2122mm2122mm212m 12解题关键解题关键 由y=x+m知直线AB与x轴所成的锐角为45,且ABC为
28、等腰直角三角形是解本题的关键.4.(2018四川成都,25,4分)设双曲线y=(k0)与直线y=x交于A,B两点(点A在第三象限),将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移,使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移,使其经过点B,平移后的两条曲线相交于P,Q两点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线的“眸”,PQ为双曲线的“眸径”,当双曲线y=(k0)的眸径为6时,k的值为 .kxkx答案答案 32解析解析如图所示,以PQ为边,作矩形PQQP交双曲线在第一象限的一支于点P,点Q,联立得得x2=k,x=,B点坐标为(,),A点坐标为(-,-).PQ=
29、6,OP=3,由双曲线的对称性,得P的坐标为.A点平移到B点与P点平移到P的距离相同,A点向右平移2个单位,向上平移2个单位得到B,P的坐标为,kyxyxkkkkk3 2 3 2,22kk3 23 22,222kk点P在反比例函数y=的图象上,xy=k,代入得=k,解得k=.kx3 222k3 222k32思路分析思路分析 以PQ为边,作矩形PQQP交双曲线在第一象限的一支于点P,点Q,联立直线AB及双曲线解析式得方程组,即可求出点A,点B的坐标,由PQ的长度以及对称性可得点P的坐标,根据平移的性质得AB=PP,求出点P的坐标,代入y=,得出关于k的方程,解之得k值.kx疑难突破疑难突破 本题
30、考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质,难点是P点的坐标的确定,关键是根据平移的性质判断AB=PP,由A,B两点的坐标确定平移方向和距离是突破点,再把点P进行相同的平移可以求出点P的坐标.5.(2017福建,16,4分)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为 .1x答案答案 152解析解析点A在反比例函数y=的图象上,且点A的横坐标是2,y=,即点A的坐标为.如图,双曲线y=和矩形ABCD都是轴对称图形和中心对称图形,点A、B关于直线y=x对称,则B,同理,C,D.AB=.AD=.S矩形ABC
31、D=ABAD=.1x1212,21x1,2212,21,22221122223 22221122225 22152解题思路解题思路 本题主要结合双曲线和矩形的对称性求出B,C,D的坐标,再用两点之间的距离公式求出矩形的长和宽,即可求矩形的面积.6.(2016新疆乌鲁木齐,14,4分)如图,直线y=-2x+4与双曲线y=交于A,B两点,与x轴交于点C,若AB=2BC,则k=.kx答案答案 32解析解析过点A作AEx轴,垂足为E,过点B作BFx轴,垂足为F,AEBF,CBFCAE,=,AB=2BC,=,BCACBFAECFCEBFAECFCE13yB=yA,xAyA=k,xByB=k,xB=3xA
32、.由题意可知C点坐标为(2,0),则CF=2-xB,CE=2-xA,=,2-xA=3(2-xB),又xB=3xA,2-xA=3(2-3xA),解得xA=.把xA=代入y=-2x+4,得yA=3,13CFCE131212A点坐标为,k=3=.1,3212327.(2018四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),与反比例函数y=(x0)的图象交于B(a,4).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)设M是直线AB上一点,过M作MNx轴,交反比例函数y=(x0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标.
33、kxkx解析解析(1)一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),-2+b=0,b=2,一次函数的表达式为y=x+2,一次函数的图象与反比例函数y=(x0)的图象交于B(a,4),a+2=4,a=2,B(2,4),反比例函数的表达式为y=.(2)设M(m-2,m),N,m0.当MNAO且MN=AO时,以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形.故=2且m0,解得m=2或m=2+2,M的坐标为(2-2,2)或(2,2+2).kx8x8,mm8(2)mm2322338.(2018湖北黄冈,19,6分)如图,反比例函数y=(x0)的图象过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x
34、轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.(1)求k的值与B点的坐标;(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D点的坐标.kx解析解析(1)反比例函数y=(x0)的图象过点A(3,4),=4,k=12,反比例函数的解析式为y=.由题意易知点B的横坐标为6,点B在反比例函数y=(x0)的图象上,y=2,即点B的纵坐标为2.点B的坐标为(6,2).(2)如图,以A,B,C,D四点为顶点的平行四边形有3种情况,分别是 ABCD1,ACBD2和 ABD3C,根据平行四边形的性质易得D1(3,2),D2(3,6),由(1)知线段BC的中点坐标为(6,1),
35、该点是线段AD3的中点,所以点D3的坐标为(9,-2).故D点的坐标为(3,2)或(3,6)或(9,-2).kx3k12x12x1269.(2018湖北武汉,22,10分)已知点A(a,m)在双曲线y=上且m0)沿y轴折叠得到双曲线y=-(x0),将线段OA绕点O旋转,点A刚好落在双曲线y=-(x0)上的点D(d,n)处,求m和n的数量关系.8x8x8x8x8x解析解析(1)C(1,3).依题意,得点C的坐标是(t,t+2).双曲线y=经过点C,t(t+2)=8,解得t=2或-4.(2)点A,D分别在双曲线y=和y=-上,m=,n=-,即a=,d=-.OA=OD,a2+m2=d2+n2,+m2
36、=+n2,(m-n)(m+n)(mn+8)(mn-8)=0,m0,m-n0,mn-80)是其图象上的一点,过点P作PMx轴于点M,若tanPOM=2,PO=(O为坐标原点),求k的值,并直接写出不等式kx+0的解集.21kx113,2y21,2y521kx解析解析(1)-k2-10,反比例函数y=在每个象限内y随x的增大而增大,又-y2.(2)点P(m,n)在反比例函数y=的图象上,且m0,n0的解集为x-或0 x0的解集为x0.21kx12.(2017湖北黄冈,23,12分)月电科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用,成功研制出了一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售.已知
37、生产这种电子产品的成本为4元/件,在销售过程中发现:每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为z(万元).(注:若上一年盈利,则盈利不计入下一年的年利润;若上一年亏损,则亏损计作下一年的成本)(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式;(2)求出第一年这种电子产品的年利润z(万元)与x(元/件)之间的函数关系式,并求出第一年年利润的最大值;(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润z(万元)取得最大值时进行销售,现根据第一年的盈亏情况,决定第二年将这种电子产品每件的销
38、售价格x(元)定在8元以上(x8),当第二年的年利润不低于103万元时,请结合年利润z(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围.解析解析(1)当4x8时,设y=(k0),将A(4,40)代入,得k=440=160.y与x之间的函数关系式为y=.(1分)当8x28时,设y=kx+b(k0),将B(8,20),C(28,0)代入得,解得y与x之间的函数关系式为y=-x+28.(3分)综上所述,y=(4分)(2)当4x8时,z=(x-4)y-160=(x-4)-160=-.当4x8时,z随着x的增大而增大,当x=8时,z取最大值,zmax=-=-80.(5分)kx
39、160 x8 20,28 0,kbkb1,28.kb 160(48),28(828).xxxx 160 x640 x6408当8-80,当每件的销售价格定为16元时,第一年的年利润最大,最大值为-16万元.(8分)(3)第一年的年利润为-16万元,16万元应作为第二年的成本.又x8,第二年的年利润为z=(x-4)(-x+28)-16=(-x2+32x-128)万元.(10分)令z=103,则-x2+32x-128=103,解得x1=11,x2=21.(11分)在平面直角坐标系中,画出z与x的函数示意图如图.观察示意图可知:当z103时,11x21.当11x21时,第二年的年利润z不低于103万
40、元.(12分)13.(2016安徽,20,10分)如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y=的表达式;(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC.求此时点M的坐标.axax解析解析(1)将A(4,3)代入y=,得3=,a=12.(2分)OA=5.由于OA=OB且B在y轴负半轴上,所以B(0,-5),将A(4,3)、B(0,-5)代入y=kx+b,得解得故所求函数表达式分别为y=2x-5和 y=.(6分)(2)因为MB=MC,所以点M在线段BC的中垂线上
41、,即x轴上.又因为点M在一次函数的图象上,所以M为一次函数图象与x轴的交点.令2x-5=0,解得x=.所以,此时点M的坐标为.(10分)ax4a224334,5.kbb 2,5.kb 12x525,02考点反比例函数的图象与性质考点反比例函数的图象与性质1.(2017北京西城二模,7)已知反比例函数y=,当1x2时,y的取值范围是()A.1y3 B.2y3C.1y6 D.3y66x答案答案 D当1x2时,y随x的增大而减小.当x=1时,y=6;当x=2时,y=3.所以3y0时,示意图如下:当k2,则y 3(填“”或“”).6x答案答案2时,y”“”或“=”连接).6x答案答案解析解析将点A、B
42、的坐标分别代入y=中,得y1=-3,y2=6,所以y10),求m的取值范围.mxmx,myxyxm解析解析(1)函数y=(m0)的图象经过点P(2,2),2=,即m=4.(2)当点P(2,2)满足(m0)时,由不等式组得0m0)时,由不等式组得m3.P,Q两点中恰有一个点的坐标满足(m0),m的取值范围是0m3或m4.mx2m,myxyxm2,222mm,myxyxm2,21mm ,myxyxm思路分析思路分析 本题的第二问需要通过解不等式组解决,且要关注“恰有一个点”的含义.解题关键解题关键 解决本题的关键是要理解“恰有一个”的含义有且只有一个.9.(2018北京顺义一模,22)如图,在平面
43、直角坐标系xOy中,直线y=2x+4与曲线y=(k0)相交于A(-3,a),B两点.(1)求k的值;(2)过点P(0,m)作直线l,使直线l与y轴垂直,直线l与直线AB交于点M,与曲线y=(k0)交于点N,若点P在点M与点N之间,直接写出m的取值范围.kxkx解析解析(1)点A(-3,a)在直线y=2x+4上,a=2(-3)+4=-2,点A的坐标为(-3,-2).点A(-3,-2)在曲线y=(k0)上,-2=,k=6.(2)m的取值范围是0m4时,点P不在点M与点N之间,不合题意;当m0时,点P不在点M与点N之间,也不合题意.因为曲线y=(k0)与坐标轴没有交点,所以m的范围是0m0)的图象的
44、两个交点分别为A(1,5),B.(1)求k1,k2的值;(2)过点P(n,0)作x轴的垂线,与直线y=k1x+6和函数y=(x0)的图象的交点分别为点M,N,当点M在点N下方时,直接写出n的取值范围.2kx2kx解析解析(1)A(1,5)在直线y=k1x+6上,k11+6=5,k1=-1.A(1,5)在y=(x0)的图象上,k2=5.(2)0n5.提示:M点在N点下方,即一次函数图象在反比例函数图象的下方.2kx11.(2017北京丰台一模,21)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-3x+m与双曲线y=相交于点A(m,2).(1)求双曲线y=的表达式;(2)过动点P(n,0)且垂直于x轴
45、的直线与直线y=-3x+m及双曲线y=的交点分别为B和C,当点B位于点C下方时,求出n的取值范围.kxkxkx解析解析(1)点A(m,2)在直线y=-3x+m上,2=-3m+m,m=-1.A(-1,2).点A在双曲线y=上,2=,k=-2.y=-.(2)令-3x-1=-,得x1=-1,x2=.由点B位于点C下方,知反比例函数的函数值大于一次函数的函数值,-1n.kx1k2x2x2323一、填空题(共3分)B B组组2016201820162018年模拟年模拟提升题组提升题组(时间时间:30:30分钟分值分钟分值:45:45分分)1.(2017北京海淀一模,15)如图,在平面直角坐标系xOy中,
46、A(1,1),B(2,2),双曲线y=与线段AB有公共点,则k的取值范围是 .kx答案答案1k4解析解析将A(1,1)代入y=,可得k=1;将B(2,2)代入y=,可得k=4.因为双曲线与线段AB有公共点,所以1k4.kxkx二、解答题(共42分)2.(2018北京西城一模,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+m与x轴的交点为A(-4,0),与y轴的交点为B,线段AB的中点M在函数y=(k0)的图象上.(1)求m,k的值;(2)将线段AB向左平移n个单位长度(n0)得到线段CD,A,M,B对应的点分别为C,N,D.当点D落在函数y=(x0)的图象上时,求n的值;当MDMN时,结合
47、函数的图象直接写出n的取值范围.kxkx解析解析(1)直线y=x+m与x轴的交点为A(-4,0),m=4.直线y=x+m与y轴的交点为B,点B的坐标为B(0,4).M为线段AB的中点,点M的坐标为(-2,2).点M在函数y=(k0)的图象上,k=-4.(2)由题意得点D的坐标为D(-n,4).点D落在函数y=-(x0),所以点D的坐标为(-n,4),则DM=,MN=n,令(2-n)2+22n2,解得n2.kx4x22(2)2n思路分析思路分析 本题第二问的第二小问需要表示出线段MD、MN的长,然后通过不等式解决.3.(2018北京石景山一模,22)在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x0)的图
48、象与直线l1:y=x+b交于点A(3,a-2).(1)求a,b的值;(2)直线l2:y=-x+m与x轴交于点B,与直线l1交于点C,若SABC6,求m的取值范围.ax解析解析(1)函数y=(x0)的图象过点A(3,a-2),a-2=,解得a=3.直线l1:y=x+b过点A(3,1),b=-2.(2)设直线y=x-2与x轴交于点D,则D(2,0),直线y=-x+m与x轴交于点B(m,0),与直线y=x-2交于点C.当SABC=SBCD+SABD时,如图1,此时m0.令(m-2)2-(m-2)16,解得m8或m-2(舍去).综上所述,当SABC6时,m8或m-2.14124.(2018北京朝阳一模
49、,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B,与反比例函数y=(k0)的图象在第四象限交于点C,CDx轴于点D,tanOAB=2,OA=2,OD=1.(1)求该反比例函数的表达式;(2)点M是这个反比例函数图象上的点,过点M作MNy轴,垂足为点N,连接OM、AN,如果SABN=2SOMN,直接写出点M的坐标.kx解析解析(1)AO=2,OD=1,AD=AO+OD=3.CDx轴于点D,ADC=90.在RtADC中,CD=ADtanOAB=6,C(1,-6).点C在反比例函数y=(k0)的图象上,k=-6,该反比例函数的表达式是y=-.(2)点M的坐标为(-3,2)
50、或.提示:由k的几何意义可知SOMN=6=3.设点M的坐标为,则点N的坐标为,又易知点B的坐标是(0,-4),则SABN=2,由SABN=2SOMN,解得a=-3或a=.所以点M的坐标为(-3,2)或.kx6x3,105126,aa60,a126(4)a 353,105思路分析思路分析 本题的第二问需要借助点M的坐标表示出三角形ABN的面积.解题关键解题关键 解决本题的关键是列出与面积有关的方程,进而通过解方程解决问题.5.(2018北京门头沟一模,20)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与反比例函数y=(k0)的图象相交于点A(,a).(1)求a、k的值;(2)直线x=b(b0)
