1、第1讲实数的有关概念第2讲实数的运算与实数的大小比较第3讲整式及因式分解第4讲分式第5讲数的开方及二次根式第第1讲讲 实数的有关概念实数的有关概念第第1讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦1按定义分类：按定义分类：考点考点1 1 实数的概念及分类实数的概念及分类有理数有理数整数整数正整数正整数零零负整数负整数正分数正分数负分数负分数2按正负分类：零零正整数正整数正分数正分数负整数负整数负分数负分数第第1讲讲 考点聚焦考点聚焦第第1讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 实数的有关概念实数的有关概念名称名称定义定义性质性质数轴数轴规定了规定了_、_、_的直线的直线数轴上的点与实数一一对应数轴上的
2、点与实数一一对应相反数相反数只有只有_不同的两个数互为不同的两个数互为相反数相反数若若a a、b b互为相反数，则有互为相反数，则有a ab b0 0，|a a|b b|.0|.0的相反数的相反数是是0 0倒数倒数_为为1 1的两个数互为倒的两个数互为倒数数0 0没有倒数，倒数等于本身的没有倒数，倒数等于本身的数是数是1 1或或1 1原点原点正方向正方向单位长度单位长度符号符号乘积乘积第第1讲讲 考点聚焦考点聚焦名称名称定义定义性质性质绝对值绝对值数轴上表示数数轴上表示数a a的点与原点的的点与原点的_，记作，记作|a a|数法数法把一个数写成把一个数写成_的形式的形式(其中其中1|1|a a
3、|10.|00a a b b；a ab b00a a 1 1a a b b；a/a/b b 1 1a ab b；a/a/b b 11a a|b b|a a b b；|a a|b b|a ab b；|a a|b b其他方法其他方法除此之外，还有平方法、倒数法等方法除此之外，还有平方法、倒数法等方法第第2讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一实数的运算类型之一实数的运算 命题角度：命题角度：1 1实数的加减乘除乘方开方运算；实数的加减乘除乘方开方运算；2 2实数的运算在实际生活中的应用实数的运算在实际生活中的应用 例例1 1 20122012丽水丽水 计算：计算：第第2讲讲 归类示例归类
4、示例第第2讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关的概念、在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样的运算顺序进行中考中性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样的运算顺序进行中考中常常把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起考查常常把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起考查 (2)(2)要注意零指数幂和负指数幂的意义负指数幂的运算：要注意零指数幂和负指数幂的意义负指数幂的运算：(a a00，且，且p p是正整数是正整数)，零指数幂的运算：，零指数幂的运算：1(1(a a0)0)类型之二实数的大小比较类型之二
5、实数的大小比较 命题角度：命题角度：1 1利用实数的比较大小法则比较大小；利用实数的比较大小法则比较大小；2 2实数的大小比较常用方法实数的大小比较常用方法第第2讲讲 归类示例归类示例C 第第2讲讲 归类示例归类示例第第2讲讲 归类示例归类示例 变式题变式题 如图如图2 21 1，若，若A A是实数是实数a a在数轴上对应的点，则关于在数轴上对应的点，则关于a a、a a、1 1的大小关系表示正确的是的大小关系表示正确的是()图图2 21 1A Aa a1 1a a B Ba aa a1 1C C1 1a aa a D Da aa a1 1A 解析解析 互为相反数所表示的点关于原点对称，所以互
6、为相反数所表示的点关于原点对称，所以a a，a a 所表示的点关所表示的点关于原点对称，故于原点对称，故a a1 1a a.两个实数的大小比较方法有：两个实数的大小比较方法有：(1)(1)正数大于零，负数小于零；正数大于零，负数小于零；(2)(2)利用数轴；利用数轴；(3)(3)差值比较法；差值比较法；(4)(4)商值比较法；商值比较法；(5)(5)倒数法；倒数法；(6)(6)取特殊取特殊值法，值法，(7)(7)计算器比较法等计算器比较法等第第2讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 实数与数轴实数与数轴 第第2讲讲 归类示例归类示例D命题角度：命题角度：1实数与数轴上的点一一对应关系；实数
7、与数轴上的点一一对应关系；2数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合；数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合；3数轴与实数大小比较、实数运算结合；数轴与实数大小比较、实数运算结合；4利用数轴进行代数式的化简利用数轴进行代数式的化简 例例3 3 20122012聊城聊城 在如图在如图2 22 2所示的数轴上，点所示的数轴上，点B B与点与点C C关于点关于点A A对称，对称，A A、B B两点对应的实数分别是两点对应的实数分别是3 3和和1 1，则点，则点C C所对应的实数是所对应的实数是()A A1 13 B3 B2 23 3C C23231 D1 D23231 1图图22 解析解析 设点设点 C
8、C 所对应的实数是所对应的实数是x x，则有则有x x3 33 3(1)1)，解得，解得x x23231.1.第第2讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)互为相反数所表示的点关于原点对称；互为相反数所表示的点关于原点对称；(2)(2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等；绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等；(3)(3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表示实数的字母在数轴上实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表示实数的字母在数轴上表示出来，然后结合相反数、绝对值及数轴上数的符号特征等相关知识来解决表示出来，然后结合相反数、绝对值及数轴上数的符号特征等相关知识来解决实数的有关问
9、题实数的有关问题第第2讲讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 探索实数中的规律探索实数中的规律 命题角度：命题角度：1.1.探究实数运算规律；探究实数运算规律；2.2.实数运算中阅读理解问题实数运算中阅读理解问题 第第2讲讲 归类示例归类示例例例4 4 20122012广东广东 观察下列等式：观察下列等式：例例4 4 20122012广东广东 观察下列等式：观察下列等式：第第2讲讲 归类示例归类示例请解答下列问题：请解答下列问题：(1)(1)按以上规律列出第按以上规律列出第5 5个等式：个等式：a a5 5_；(2)(2)用含用含n n的代数式表示第的代数式表示第n n个等式：个等式：a a
10、n n_(_(n n为正整数为正整数)；(3)(3)求求a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a100100的值的值 第第2讲讲 归类示例归类示例 关于数式规律性问题的一般解题思路：关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)(1)先对给出的特殊数式进先对给出的特殊数式进行观察、比较；行观察、比较；(2)(2)根据观察猜想、归纳出一般规律；根据观察猜想、归纳出一般规律；(3)(3)用得到的规用得到的规律去解决其他问题律去解决其他问题对数式进行观察的角度及方法：对数式进行观察的角度及方法：(1)(1)横向观察：看等号左右两边什么不横向观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数
11、字或式子间的关系；变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系；(2)(2)纵向观察：将连纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在续的几个式子上下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系变，以及变化的数字或式子间的关系第第2讲讲 归类示例归类示例第第2讲讲 回归教材回归教材硬币在数轴上滚动得到的启示硬币在数轴上滚动得到的启示 回归教材回归教材教材母题人教版八上教材母题人教版八上P87T6P87T6比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：第第2讲讲 回归教材回归教材第第2讲讲 回归教材回归教材 点析点析 实数大小比较的常用方
12、法有二次根式被开方数大小比较法，实数大小比较的常用方法有二次根式被开方数大小比较法，如如(1)(1)；求近似值法，如；求近似值法，如(3)(3)；平方法，如；平方法，如(4)(4)1 120112011威海威海 在实数在实数0 0、3 3、2 2、2 2中，最小的数是中，最小的数是()A A2 B2 B3 C3 C0 D.20 D.2第第2讲讲 回归教材回归教材中考变式A 2 220102010嘉兴嘉兴 比较大小：比较大小：22_(22_(填填“”“”“”或或“”)3 320102010郴州郴州 比较大小：比较大小：7_3(7_3(填写填写“”)”)第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解 第第
13、3讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 整式的概念整式的概念 单单项项式式定义定义数与字母的数与字母的_的代数式叫做单项式，单独的的代数式叫做单项式，单独的一个一个_或一个或一个_也是单项式也是单项式次数次数一个单项式中，所有字母的一个单项式中，所有字母的_叫做这个单项叫做这个单项式的次数式的次数系数系数单项式中的数字因数叫做单项式的系数单项式中的数字因数叫做单项式的系数防错提醒防错提醒字母字母x x的次数是的次数是1 1而不是而不是0 0，单项式的系数包括它前，单项式的系数包括它前面的符号，如面的符号，如 的系数为的系数为乘积乘积 数数 字母字母 指数的和指数的和 第第3讲讲
14、 考点聚焦考点聚焦多多项项式式定义定义几个单项式的几个单项式的_叫做多项式叫做多项式次数次数一个多项式中，一个多项式中，_的次数，叫做这个多项的次数，叫做这个多项式的次数式的次数项项多项式中的每个多项式中的每个_叫做多项式的项叫做多项式的项整式整式_统称整式统称整式次数最高的项次数最高的项 和和 单项式单项式 单项式和多项式单项式和多项式 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 同类项、合并同类项同类项、合并同类项 名称名称概念概念防错提醒防错提醒同类项同类项所含字母所含字母_，并且相同字母，并且相同字母的指数也分别的指数也分别_的项叫做同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项类项，几个常数
15、项也是同类项同类项与系数无关，也与字同类项与系数无关，也与字母的排列顺序无关，如母的排列顺序无关，如7 7xyxy与与yxyx是同类项是同类项合并同类项合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后，所做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变数的和，且字母部分不变只有同类项才能合并，如只有同类项才能合并，如x x2 2x x3 3不能合并不能合并相同相同 相同相同 考点考点3 3 整式的运算整式的运算 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦类别类别法则法则整式的加整式的加减减整式的加
16、减实质就是整式的加减实质就是_一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项，再合并同类项幂幂的的运运算算同底数幂相乘同底数幂相乘底数不变，指数相加底数不变，指数相加.即：即：a am ma an n_(_(m m，n n都是整数都是整数)幂的乘方幂的乘方底数不变，指数相乘底数不变，指数相乘.即：即：(a am m)n n_(_(m m，n n都是整数都是整数)积的乘方积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即：(abab)n n_(_(n n为整数为整数)同底数幂相除同底数
17、幂相除底数不变，指数相减底数不变，指数相减.即：即：a am ma an n_(_(a a00，m m、n n都为整数都为整数)合并同类项合并同类项 amn amn anbn amn 整整式式的的乘乘法法单项式与单项式单项式与单项式相乘相乘把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式因式单项式与多项式单项式与多项式相乘相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即加，即m m(a ab bc c)ma
18、mambmbmcmc多项式与多项式多项式与多项式相乘相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即再把所得的积相加，即(m mn n)()(a ab b)mama mbmbnananbnb第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦整式的整式的除法除法单项式除以单项式单项式除以单项式把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式为商的一个因式多项式除以单项式多项式除以单项式先把这
19、个多项式的每一项分别除以这个单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加然后把所得的商相加乘法公乘法公式式平方差公式平方差公式 (a ab b)()(a ab b)_完全平方公式完全平方公式(a ab b)2 2_常用恒等变换常用恒等变换(1)(1)a a2 2b b2 2_(2)(2)(a ab b)2 2(a ab b)2 24 4ababa2b2 a22abb2(ab)22ab(ab)22ab考点考点4 4 因式分解的概念因式分解的概念 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦因因式式分分解解定义定义把一个多项式化为几个把一个多项式化为几个_的形式，像这样的形式，像这样的式子
20、变形，叫做多项式的因式分解的式子变形，叫做多项式的因式分解防错防错提醒提醒(1)(1)因式分解专指多项式的恒等变形；因式分解专指多项式的恒等变形；(2)(2)因式分因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；解的结果必须是几个整式的积的形式；(3)(3)因式分因式分解与整式乘法互为逆变形解与整式乘法互为逆变形整式的积整式的积 考点考点5 5 因式分解的相关概念及基本方法因式分解的相关概念及基本方法 第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦公因式公因式定义定义一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式项式各项的公因式提取公因提取公因式法式法定义定义一
21、般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即形式，即mamambmbmcmc_应用注意应用注意(1)(1)提公因式时，其公因式应满足：提公因式时，其公因式应满足：系数是各项系数是各项系数的最大公约数；字母取各项相同字母的最低系数的最大公约数；字母取各项相同字母的最低次幂；次幂；(2)(2)公因式可以是数字、字母或多项式；公因式可以是数字、字母或多项式；(3)(3)提取公因式时，若有一项全部提出，括号内的项应提取公因式时，若有一项全部提出，括号内的项应是是“1
22、”1”，而不是，而不是0 0m(abc)第第3讲讲 考点聚焦考点聚焦运用公式法运用公式法平方差公式平方差公式a a2 2b b2 2_完全平方公完全平方公式式a a2 22 2ababb b2 2_ a a2 22 2ababb b2 2_因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤一提一提(提取公因式提取公因式)；二套二套(套公式法套公式法)；一直分解到不能分解为止一直分解到不能分解为止(ab)(ab)(ab)2(ab)2 第第3讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一同类项类型之一同类项 命题角度：命题角度：1.1.同类项的概念；同类项的概念；2.2.由同类项的概念通过列方程组求解同类项的
23、指数中字母的值由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数中字母的值 例例1 1 20122012雅安雅安 如果单项式如果单项式 是同类项，那么是同类项，那么a a，b b的值分的值分别为别为()A A2 2，2 B2 B3 3，2 C2 C2 2，3 D3 D3 3，2 2D D 解析解析 依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程，得，得 第第3讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可字母的指数相同，
24、两者缺一不可 (2)(2)根据同类项概念根据同类项概念相同字母的指数相同列方程相同字母的指数相同列方程(组组)是解是解此类题的一般方法此类题的一般方法 类型之二整式的运算类型之二整式的运算 命题角度：命题角度：1.1.整式的加减乘除运算；整式的加减乘除运算；2.2.乘法公式乘法公式 第第3讲讲 归类示例归类示例例例2 2 20122012湛江湛江 下列运算中，正确的是下列运算中，正确的是()A A3 3a a2 2a a2 22 B2 B(a a2 2)3 3a a5 5C Ca a3 3a a6 6a a9 9 D D(2(2a a2 2)2 22 2a a4 4C 解析解析 A A是合并同
25、类项应为是合并同类项应为2 2a a2 2；B B为幂的乘方，底数不变，指数相乘为幂的乘方，底数不变，指数相乘，故不正确；，故不正确；C C是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；D D是是积的乘方与幂的乘方综合运用，不正确积的乘方与幂的乘方综合运用，不正确第第3讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号果的符号(2)(2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a a3 3a a5 5 a
26、 a8 8和和a a3 3a a3 32 2a a3 3.(.(a am m)n n和和a an na am m也容易混淆也容易混淆(3)(3)单项式的除法关键：注意区别单项式的除法关键：注意区别“系数相除系数相除”与与“同底数幂相除同底数幂相除”的的含义，如含义，如6 6a a5 53 3a a2 2(6(63)3)a a5 52 22 2a a3,3,一定不能把同底数幂的指数相除一定不能把同底数幂的指数相除第第3讲讲 归类示例归类示例例例3 3 20122012湛杭州湛杭州 化简：化简：2(2(m m1)1)m mm m(m m1)(1)(m m1)1)m mm m(m m1)1)若若m
27、m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？一个什么数？解：解：2(m1)mm(m1)(m1)mm(m1)2(m2mm2m)(m2mm2m)8m3.原式原式(2m)3，表示，表示3个个2m相乘相乘第第3讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想 (2)(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否在应用
28、乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件符合乘法公式的条件 类型之三类型之三 因式分解因式分解 第第3讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1 1因式分解的概念；因式分解的概念；2 2提取公因式法因式分解；提取公因式法因式分解；3 3运用公式法因式分解：运用公式法因式分解：(1)(1)平方差公式；平方差公式；(2)(2)完全平方公式完全平方公式 例例4 4 20122012无锡无锡 分解因式分解因式(x x1)1)2 2 2(2(x x1)1)1 1的结果是的结果是()A A(x x1)(1)(x x2)B.2)B.x x2 2C C(x x1)1)2 2 D.
29、(D.(x x2)2)2 2D 解析解析 首先把首先把x x1 1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解利用完全平方公式进行分解(x x1)1)2 22(2(x x1)1)1 1(x x1 11)1)2 2(x x2)2)2 2.(1)(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解他方法继续分解(2)(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换换
30、y yx x(x xy y)，(y yx x)2 2(x xy y)2 2.(3)(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点(4)(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止第第3讲讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 整式运算与因式分解的应用整式运算与因式分解的应用 命题角度：命题角度：1.1.整式的有关规律性问题；整式的有关规律性问题；2.2.利用整式验证公式或等式；利用整式验证公式或等式；3.3.新定义运算；新定义运算；4.4.利用因式分解进行计算与化简；利用因
31、式分解进行计算与化简；5.5.利用几何图形验证因式分解公式利用几何图形验证因式分解公式第第3讲讲 归类示例归类示例例例5 5 20122012宁波宁波 用同样大小的黑色棋子按如图用同样大小的黑色棋子按如图31所示的规律摆所示的规律摆放：放：图图1图图1第第3讲讲 归类示例归类示例(1)(1)第第5 5个图形有多少颗黑色棋子？个图形有多少颗黑色棋子？(2)(2)第几个图形有第几个图形有20132013颗黑色棋子？请说明理由颗黑色棋子？请说明理由 解析解析(1)(1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；(2)(2)
32、根据根据(1)(1)所找出的规律，列出式子，即可求出答案所找出的规律，列出式子，即可求出答案解：解：(1)(1)第一个图需棋子第一个图需棋子6 6颗，颗，第二个图需棋子第二个图需棋子9 9颗，颗，第三个图需棋子第三个图需棋子1212颗，颗，第四个图需棋子第四个图需棋子1515颗，颗，第五个图需棋子第五个图需棋子1818颗，颗，第第n n个图需棋子个图需棋子3(3(n n1)1)颗颗答：第答：第5 5个图形有个图形有1818颗黑色棋子颗黑色棋子(2)(2)设第设第n n个图形有个图形有20132013颗黑色棋子，颗黑色棋子，根据根据(1)(1)得得3(3(n n1)1)20132013，解得，解
33、得n n670670，所以第所以第670670个图形有个图形有20132013颗黑色棋子颗黑色棋子 解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述第第3讲讲 归类示例归类示例第第3讲讲 回归教材回归教材完全平方式大变身完全平方式大变身回归教材回归教材教材母题人教材母题人教版八上教版八上P157T7 已知已知ab5，ab3
34、，求，求a2b2的值的值(提示：利用公式提示：利用公式(ab)2a22abb2)解：解：a ab b5 5，abab3 3，(a ab b)2 22525，即即a a2 22 2ababb b2 22525，a a2 2b b2 225252 2abab25252 23 319.19.第第3讲讲 回归教材回归教材 点析点析 完全平方公式的一些主要变形：完全平方公式的一些主要变形：(a ab b)2 2(a ab b)2 22(2(a a2 2b b2 2)，(a ab b)2 2(a ab b)2 24 4abab，(a ab b)2 22 2abab(a ab b)2 22 2abab，在四
35、个量，在四个量(a ab b)2 2 、(a ab b)2 2、ab ab 和和a a2 2b b2 2中，知中，知道其中任意的两个量，就能求出道其中任意的两个量，就能求出(整体代换整体代换)其余的两个量其余的两个量12012南昌南昌 已知已知(mn)28，(mn)22，则，则m2n2()A10 B6 C5 D3 22010黄冈黄冈 已知已知ab1，ab2，则式子，则式子 _.第第3讲讲 回归教材回归教材中考变式C 6 第第4讲讲分式分式 第第4讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 分式的概念分式的概念 分分式式的的概概念念定义定义形如形如_(_(A A、B B是整式，且是整式
36、，且B B中含有字母，中含有字母，且且B B0)0)的式子叫做分式的式子叫做分式有意义的有意义的条件条件分母不为分母不为0 0值为值为0 0的条件的条件分子为分子为0 0，但分母不为，但分母不为0 0第第4讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 分式的基本性质分式的基本性质 分子分子分母分母M M 考点考点3 3 分式的运算分式的运算 第第4讲讲 考点聚焦考点聚焦分式的分式的加减加减同分母分式相同分母分式相加减加减分母不变，把分子相加减，即分母不变，把分子相加减，即 _异分母分式相异分母分式相加减加减先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即 _ 分式的分式
37、的乘除乘除乘法法则乘法法则分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即分母，即 _除法法则除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即除式相乘，即 _ (b b0,0,c c0,0,d d0)0)第第4讲讲 考点聚焦考点聚焦分式的分式的乘方乘方 法则法则 分式乘方是把分子、分母各自乘方分式乘方是把分子、分母各自乘方 公式公式 _(_(n n为整数为整数)分式的分式的混合运混合运算算 法则法则 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘在分式的混合运算中，应先算
38、乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，遇有括号，法，进行约分化简，最后进行加减运算，遇有括号，先算括号里面的先算括号里面的 特别说特别说明明 (1)(1)实数的各种运算律也符合分式的运算实数的各种运算律也符合分式的运算(2)(2)分式运算分式运算的结果要化成最简分式的结果要化成最简分式 第第4讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一分式的有关概念类型之一分式的有关概念 命题角度：命题角度：1.1.分式的概念；分式的概念；2.2.使分式有使分式有(无无)意义、值为意义、值为0(0(正或负正或负)的条件的条件 例例1 1 （1 1）20122012宜昌宜昌 若分式若分式
39、有意义，则有意义，则a a的取值范围是的取值范围是()A Aa a0 B0 Ba a1 C1 Caa1 D1 Da 0a 0(2)(2)20122012温州温州 若代数式若代数式 的值为零，则的值为零，则x x_._.C C 3 第第4讲讲 归类示例归类示例 解析解析(1)(1)分式有意义，分式有意义，a a1010，a a1.1.第第4讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义义 (2)(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零零 (3)(
40、3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异号分式的值为正的条件是：分子与分母异号分式的值为正(负负)经常与不等式组结经常与不等式组结合考查合考查 类型之二分式的基本性质的运用类型之二分式的基本性质的运用 命题角度：命题角度：1.1.整式的加减乘除运算；整式的加减乘除运算；2.2.乘法公式乘法公式 第第4讲讲 归类示例归类示例例例2 2 20122012义乌义乌 下列计算错误的是下列计算错误的是()A 第第4讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意在应用分式基本性质进行变形时，要注
41、意“都都”，“同一个同一个”，“不等于不等于0”0”这些字眼的意义，否则容易出现错误这些字眼的意义，否则容易出现错误 (2)(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式时，则在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解先要将这些多项式进行因式分解 类型之三类型之三 分式的化简与求值分式的化简与求值 第第4讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.1.分式的加减、乘除、乘方运算法则；分式的加减、乘除、乘方运算法则；2.2.分式的混合运算及化简求值分式的混合运算及化简求值 例例3 3 20122012六盘水六盘水 先化简代数式先化简代数式 ，再从
42、，再从2 2，2 2，0 0三三个数中选一个恰当的数作为个数中选一个恰当的数作为 a a 的值代入求值的值代入求值 第第4讲讲 归类示例归类示例 分式化简求值题的一般解题思路为：分式化简求值题的一般解题思路为：(1)(1)利用因式分解、通分、约利用因式分解、通分、约分等相关知识对原复杂的分式进行化简；分等相关知识对原复杂的分式进行化简；(2)(2)选择合适的字母取值代入选择合适的字母取值代入化简后的式子计算得结果注意字母取值时一定要使原分式有意义，化简后的式子计算得结果注意字母取值时一定要使原分式有意义，而不是只看化简后的式子而不是只看化简后的式子第第4讲讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四
43、 分式的创新应用分式的创新应用 命题角度：命题角度：1.1.探究分式中的规律问题；探究分式中的规律问题；2.2.有条件的分式化简有条件的分式化简 第第4讲讲 归类示例归类示例例例4 4 20122012凉山州凉山州 2011.5 第第4讲讲 归类示例归类示例 此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜想一般性的结论，此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜想一般性的结论，再利用分式的性质及运算予以证明再利用分式的性质及运算予以证明 第第4讲讲 归类示例归类示例第第4讲讲 回归教材回归教材分式化简有高招分式化简有高招 回归教材回归教材教材母题教材母题人教版八下人教版八下P23T6 计算计算第第
44、4讲讲 回归教材回归教材第第4讲讲 回归教材回归教材 点析点析 在进行分式的加、减、乘、除、乘方混合运算时在进行分式的加、减、乘、除、乘方混合运算时，要注意运算法则与运算顺序此类问题是中考的热点考题，要注意运算法则与运算顺序此类问题是中考的热点考题 2011南京南京 计算：计算：第第4讲讲 回归教材回归教材中考变式第第5讲讲数的开方及二次根式数的开方及二次根式 第第5讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1平方根、算术平方根与立方根平方根、算术平方根与立方根 数的开数的开方方平方根平方根一个数一个数x x的的_等于等于a a，那么，那么x x叫做叫做a a的平方根，的平方根，记作记
45、作22算术平算术平方根方根一个正数一个正数x x的的_等于等于a a，则，则x x叫做叫做 a a 的算术的算术平方根，记作平方根，记作2 2，0 0的算术平方根是的算术平方根是0 0立方根立方根一个数一个数x x的的_等于等于a a，那么，那么x x 叫做叫做a a的立方的立方根根立方立方 平方平方 平方平方 第第5讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 二次根式的有关概念二次根式的有关概念 二次根式二次根式定义定义形如形如a(_)a(_)的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式防错提醒防错提醒a a中的中的a a可以是数或式，但可以是数或式，但a a一定要大于或一定要大于或等于等于0 0最简二次
46、根式最简二次根式同时满足下列两个条件的二次根式叫做最同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：简二次根式：(1)(1)被开方数中不含能开得尽被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；方的因数或因式；(2)(2)被开方数不含分母被开方数不含分母a a00 考点考点3 3 二次根式的性质二次根式的性质 第第5讲讲 考点聚焦考点聚焦二次根式二次根式的性质的性质两个重要的性两个重要的性质质 ()()2 2=a a(a a_)_)积的算术平方积的算术平方根根 ababaab b(a_，b_)商的算术平方商的算术平方根根 (a_，b_）0 a a a a 0 0 0 0 考点考点4 4 二次根式的运算二
47、次根式的运算 第第5讲讲 考点聚焦考点聚焦0 0 0 0 考点考点5 5 把分母中的根号化去把分母中的根号化去 第第5讲讲 考点聚焦考点聚焦常用形式及方法常用形式及方法第第5讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一求平方根、算术平方根与立方根类型之一求平方根、算术平方根与立方根 命题角度：命题角度：1.1.平方根、算术平方根与立方根的概念；平方根、算术平方根与立方根的概念；2.2.求一个数的平方根、算术平方根与立方根求一个数的平方根、算术平方根与立方根例例1(1)1(1)20122012雅安雅安 9 9的平方根是的平方根是()A A3 B3 B3 C3 C3 D3 D6 6(2)(2)
48、20112011日照日照 (2)2)2 2的算术平方根是的算术平方根是()A A2 B.2 B.2 C2 C2 D.22 D.2C A 解析解析 9 9的平方根是的平方根是3 3，(2)2)2 2的算术平方根是的算术平方根是2.2.第第5讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)(2)平方根等平方根等于本身的数是于本身的数是0 0，算术平方根等于本身的数是，算术平方根等于本身的数是1 1和和0 0，立方根等于本，立方根等于本身的数是身的数是1 1、1 1和和0 0；(3)(3)一个数的立方根与它同号；一个数的立方根
49、与它同号；(4)(4)对一个式对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简再进行开方运算子进行开方运算时，要先将式子化简再进行开方运算 类型之二二次根式的有关概念类型之二二次根式的有关概念 命题角度：命题角度：1 1二次根式的概念；二次根式的概念；2 2最简二次根式的概念最简二次根式的概念第第5讲讲 归类示例归类示例例例2 2012德阳德阳使代数式使代数式 有意义的有意义的x的取值范围是的取值范围是()Ax0 BxCx0且且x D一切实数一切实数 C 第第5讲讲 归类示例归类示例 此类有意义的条件问题主要是根据：二次根式的被开方数大于或此类有意义的条件问题主要是根据：二次根式的被开方数大于或等于零
50、；分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集等于零；分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集 类型之三类型之三 二次根式的化简与计算二次根式的化简与计算 第第5讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.1.二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2.2.二次根式的加减乘除运算二次根式的加减乘除运算 例例3 3 计算计算解：解：原式原式 利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指
