1、 形如形如(ao)的式子叫做二次根的式子叫做二次根式。在二次根式式。在二次根式 中，字母中，字母 a 必须满必须满足，即被开方数必须是非负数足，即被开方数必须是非负数.1.从形式上看，二次根式必须含有从形式上看，二次根式必须含有“”如：如：，等号左边是二，等号左边是二次根式，右边不是二次根式次根式，右边不是二次根式.a0a 2.被开方数被开方数 a 可以是一个数，也可可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是以是一个含有字母的式子，但前提是 a0.3.a0 在二次根式概念中必不可少，在二次根式概念中必不可少，因此，对于一些式子，只有在一定的因此，对于一些式子，只有在一定的条件下才是二次
2、根式条件下才是二次根式.如如 只有在只有在 x5 时，才是二次根式时，才是二次根式.分别指出下列根式是不是二次根式：分别指出下列根式是不是二次根式：二次根式必须满足的条件：二次根式必须满足的条件：有有二次根号；二次根号；被开方数大于或等于零被开方数大于或等于零.解：解：不是二次根式；不是二次根式；是二次根式是二次根式.求下列各式的值：求下列各式的值：可直接运用性质可直接运用性质 1，先利用积的乘方性质先利用积的乘方性质(ab)ab 进行进行变形，然后再计算变形，然后再计算.先化简再求值：先化简再求值：首先利用二次根式的性质将已知首先利用二次根式的性质将已知式子进行化简，脱去根号后，再把式子进行
3、化简，脱去根号后，再把 x 的值代入求值的值代入求值.算术平方根的积等于各个被开方算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根数积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的算术平方根.abba abba(a0，b0)(a0，b0)在涉及二次根式运算时，如果没有特在涉及二次根式运算时，如果没有特别说明，被开方数都是非负数别说明，被开方数都是非负数.公式中的公式中的 a、b 既可以是数，也可以既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的是代数式，但都必须是非负的.当二次根式前面有系数时，可类比单当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式的法则进行运算，
4、即系数项式乘以单项式的法则进行运算，即系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方之积作为系数，被开方数之积作为被开方数数.二次根式乘法运算的结果必须化成最二次根式乘法运算的结果必须化成最简形式简形式.a0，b0是公式成立的前提条件，是公式成立的前提条件，如果不满足这个条件，等式的左端就没有如果不满足这个条件，等式的左端就没有意义，等式也就不能成立了。意义，等式也就不能成立了。计算：计算：二次根式二次根式的乘法的乘法被开方数相被开方数相乘乘根指数不变根指数不变化为最化为最简形式简形式 两个二次根式相除，等于把被开两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数方数相除，作为商的被开方数 商的
5、算术平方根等于分子的算术商的算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根的商。平方根除以分母的算术平方根的商。二次根式的运算结果要化到最简，分二次根式的运算结果要化到最简，分母中不能带根号母中不能带根号.如果被开方数是带分数，应先将其化如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数成假分数.公式中，公式中，a 必须是非负数，必须是非负数，b 必须是必须是正数，式子才成立正数，式子才成立.如果如果 a、b 都是负数，都是负数，虽然虽然 0，有意义，但有意义，但 ，在实在实数范围内无意义数范围内无意义.计算：计算：利用二次根式除法法则进行计利用二次根式除法法则进行计算，被开方数相除时可以用除以一算
6、，被开方数相除时可以用除以一个数（不为零）等于乘以这个数的个数（不为零）等于乘以这个数的倒数这个性质约分化简倒数这个性质约分化简.二次根式的除法运算，通常采二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行，这种分母中的根号的方法来进行，这种把分母中的根号化去的变形，叫做把分母中的根号化去的变形，叫做分母有理化分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式这两个代数式互为有理化因式互为有理化因式.如：如：与与 ，()与与().分母有理
7、化：分母有理化：利用分数的基本性质，将分子、利用分数的基本性质，将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，分母同时乘以分母的有理化因式，使原数的分母中不再带有根号使原数的分母中不再带有根号.被开方数不含分母；被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式因数或因式.化简二次根式的条件：化简二次根式的条件：化简二次根式的方法：化简二次根式的方法：将被开方数中能开得尽方的因数或将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；因式进行开方；化去根号下的分母；化去根号下的分母；被开方数是多项式时要先因式分解被开方数是多项式时要先因式分解.设设a、b为任意两个实数，先求出为任意
8、两个实数，先求出a与与b的的差，再根据差，再根据“当当ab0时，时，ab；当；当ab0时，时，ab；当；当ab0时，时，ab”来来比较比较a与与b的大小的大小.求差法：求差法：求商法：求商法：如果如果a、b都是正实数，若都是正实数，若 1，则，则ab；若；若 1，则，则ab；若；若 1，则，则ab.先将两个根式各自平方，然后比较平方先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即若后的大小，再说明原数的大小，即若a0，b0，且，且ab，则，则ab；若；若a0，b0，且且ab，则，则ab.平方法：平方法：移动因式法：移动因式法：当当a0、b0时，若要比较形如时，若要比较形如 与与
9、 两数的大小，可先把根号外的正因两数的大小，可先把根号外的正因数数a与与b平方后移入根号内，再根据被开平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较方数的大小进行比较.比较下列各式的大小：比较下列各式的大小：可选用求差的方法进行比较；可选用求差的方法进行比较；可选用求商的方法进行比较；可选用移可选用求商的方法进行比较；可选用移动因式的方法进行比较动因式的方法进行比较.几个二次根式化成最简二次几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做这几个二次根式叫做同类二次同类二次根式根式.同类二次根式的定义：同类二次根式的定义：同类二次根式的判断，一般
10、首先需同类二次根式的判断，一般首先需要把所需判断的二次根式化成最简二次根要把所需判断的二次根式化成最简二次根式，再观察被开方数是否相同式，再观察被开方数是否相同.若相同，若相同，则是同类二次根式，否则不是则是同类二次根式，否则不是.几个二次根式是不是同类二次根式，几个二次根式是不是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号外只与被开方数和根指数有关，而与根号外的因式或因数无关的因式或因数无关.只有同类二次根式才可以合并，不只有同类二次根式才可以合并，不是同类二次根式的不能合并是同类二次根式的不能合并.合并同类二次根式时，将同类二次合并同类二次根式时，将同类二次根式的系数相加减，根指数与被
11、开方数根式的系数相加减，根指数与被开方数（式）保持不变（式）保持不变.二次根式加减运算的一般步骤二次根式加减运算的一般步骤 将每个二次根式化为最简二次根式；将每个二次根式化为最简二次根式；找出其中同类二次根式；找出其中同类二次根式；合并同类二次根式合并同类二次根式.1、在运算过程中要注意，根号外的因、在运算过程中要注意，根号外的因式就是这个二次根式的系数，如果系数式就是这个二次根式的系数，如果系数是带分数，还要化成假分数是带分数，还要化成假分数.2、二次根式化为最简二次根式后，被、二次根式化为最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并，但是开方数不同的二次根式不能合并，但是绝不能丢弃，它们
12、也是结果的一部分绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.计算：计算：1、先将二次根式化成最简二、先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式次根式，再合并同类二次根式.2、在进行二次根式的加减运算、在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的运算律及去时，整式加减运算中的运算律及去括号、添括号法则仍适用括号、添括号法则仍适用.二次根式混合运算顺序和有理数二次根式混合运算顺序和有理数（式）的运算顺序相同，即先算乘方，（式）的运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的括号内的.二次根式的和相乘，与多项式乘法二次根式的和相乘，与多项式乘法类似
13、，并且乘法公式仍然适用；类似，并且乘法公式仍然适用；运算结果如果是二次根式，要化为运算结果如果是二次根式，要化为最简二次根式；最简二次根式；在进行二次根式的运算时，能用乘在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的，要尽量使用乘法公式，这样法公式的，要尽量使用乘法公式，这样可以使计算过程简化可以使计算过程简化.计算：计算：二次根式的运算规律与整式的运算规二次根式的运算规律与整式的运算规律相同，且多项式乘法法则和乘法公式仍律相同，且多项式乘法法则和乘法公式仍然适用然适用.注意将结果化为最简二次根式注意将结果化为最简二次根式.1、利用二次根式的定义求所含、利用二次根式的定义求所含字母的取值范围字母的取值
14、范围.确定二次根式中字母的取值范围，确定二次根式中字母的取值范围，关键是根据二次根式的被开方数是非关键是根据二次根式的被开方数是非负数，建立关于被开方数（式）的不负数，建立关于被开方数（式）的不等式（组），通过解不等式（组）确等式（组），通过解不等式（组）确定字母的取值范围定字母的取值范围.例例 1：当：当 x 取何值时，下列各式取何值时，下列各式有意义？有意义？解决这类问题，既要考虑到二次根解决这类问题，既要考虑到二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，式有意义的条件，即被开方数是非负数，又要考虑到分式有意义的条件，即分母又要考虑到分式有意义的条件，即分母不为零不为零.把所有的条件都列成式
15、子，组成把所有的条件都列成式子，组成不等式（组），解之即可不等式（组），解之即可.2、利用二次根式的非负性化简或计算、利用二次根式的非负性化简或计算.二次根式二次根式 (a0)是一个非负数，是一个非负数，a也也是非负数是非负数.因此，我们可以利用二次根式的因此，我们可以利用二次根式的两个非负性来建立数学模型，若式子中含两个非负性来建立数学模型，若式子中含有多个二次根式，则字母的取值应确保二有多个二次根式，则字母的取值应确保二次根式中的被开方数都是非负数，最后利次根式中的被开方数都是非负数，最后利用非负性来建立方程或不等式（组），从用非负性来建立方程或不等式（组），从而使问题获得解决而使问题获得
16、解决.例例 2：已知：已知 与与 互为相反数，求互为相反数，求(xy)的平方根的平方根.由由题题意意建建立立等等式式建建立立数数学学模模型型获获得得结结果果利用二次根利用二次根式的非负性式的非负性求出求出 x、y 的值的值 3、利用二次根式的性质、利用二次根式的性质 1 分解分解因式因式.根据二次根式的性质根据二次根式的性质 1 可知实数可知实数范围内任何一个非负数都可以写成它范围内任何一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方的形式，从而可的算术平方根的平方的形式，从而可以使因式分解在实数范围内进行以使因式分解在实数范围内进行.例例 3：在实数范围内分解因式：在实数范围内分解因式：x7 4x3
17、x x2 x5在实数范围内在实数范围内分解因式分解因式 用平方差公式分解用平方差公式分解 先提取公因式，再先提取公因式，再利用平方差公式进行利用平方差公式进行分解分解 用完全平方公式进用完全平方公式进行分解行分解根据多项式根据多项式的结构特征的结构特征选择合适的选择合适的因式分解的因式分解的方法方法解题依据：二次根式的性质解题依据：二次根式的性质 1 的逆用的逆用 a()(a0)4、巧用二次根式乘除法公式简、巧用二次根式乘除法公式简化计算过程化计算过程.在有些二次根式乘除运算中，当在有些二次根式乘除运算中，当二次根式不是最简二次根式时，若逐二次根式不是最简二次根式时，若逐一将每个二次根式化成最
18、简二次根式，一将每个二次根式化成最简二次根式，再按前后顺序计算，则运算过程变得再按前后顺序计算，则运算过程变得很繁很繁.若灵活运用二次根式的乘除法公若灵活运用二次根式的乘除法公式，则使运算过程变得简单式，则使运算过程变得简单.例例 4：计算：计算 是几个二次根式相乘，可以把所有是几个二次根式相乘，可以把所有的非二次根式因式在一起相乘，所有的的非二次根式因式在一起相乘，所有的二次根式因式在一起相乘二次根式因式在一起相乘.可从左往右依次计算可从左往右依次计算.5、利用二次根式的概念求值、利用二次根式的概念求值.同类二次根式的概念与同类项类同类二次根式的概念与同类项类似，几个根式是否是同类二次根式，
19、似，几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的号前面的“系数系数”无关无关.我们利用这我们利用这些特征可以求出根式中未知字母的值些特征可以求出根式中未知字母的值.例例 5：已知：已知 和和 是同类二次根式，求是同类二次根式，求 m、n 的值的值.首先把第一个二次根式化为最首先把第一个二次根式化为最简二次根式，然后根据两个二次根简二次根式，然后根据两个二次根式的根指数都是式的根指数都是 2，被开方数相同，被开方数相同，建立数学模型建立数学模型二元一次方程组，二元一次方程组，然后解之然后解之.观察下列各式：观察下列各式：请将你猜想到的规律用含正整数请将你猜想到的规律用含正整数 n 的代的代数式表示出来：数式表示出来：.观察题中所给各式的特点，把各式观察题中所给各式的特点，把各式进行适当拆分，分析拆分后的各式，进行适当拆分，分析拆分后的各式，可从中归纳出规律，从而得到结果可从中归纳出规律，从而得到结果.解析
