1、 最值问题是初中数学中的常见问题，这类问题涉及面广，解法灵活多样，主要是考查变量之间的变化规律，具有一定的难度。从历年的中考数学看，经常会考查距离最值问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，所以同学们要引起充分重视。专题复习-“线段和-(差)的最值”课件 学习目标学习目标 1.结合线段和最小的课本原型题的知识梳理及典型例题再探，结合线段和最小的课本原型题的知识梳理及典型例题再探，能求出两定一动、两动一定、两定两动的线段和最小值。能求出两定一动、两动一定、两定两动的线段和最小值。2.通过对线段差最大课本原型知识点的梳理及例题再探，能求通过对线段差最大课本原型知识点的梳理及例题再探，能求出两点同侧
2、、两点异侧的线段差最大值。出两点同侧、两点异侧的线段差最大值。学习目标常规积累常规积累 判断线段之间关系的公理和定理有哪判断线段之间关系的公理和定理有哪些？些？1.两点之间线段最短。两点之间线段最短。2.直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短。直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短。3.三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边。三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边。常规积累 判断线段之间关系的公理和定理有哪些课本原型（八上课本原型（八上8585页）页）如图所示，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 饮马，然后到B地。木马人到河边的什么地方饮马，可是所走路径
3、最短？ABCAC 理论依据：两点之间，线段最短理论依据：两点之间，线段最短 用途：求两条线段和的最小值用途：求两条线段和的最小值l课本原型（八上8 5 页）如图所示，牧马人从A 地出发，到一条笔直 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）bNAaAMMNB课本原型（八上课本原型（八上86页）页）N N N 如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）Ab
4、NAaAMMB课本原型（八上课本原型（八上86页）页）N 如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河应用：求两条线段和的最小值应用：求两条线段和的最小值模型一：（两点同侧）：如图1，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。模型二：（两点异侧）：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。BlCA图图1BABlC图图2应用：求两条线段和的最小值模型一：（两点同侧）：如图1，点P【典型例题】例1.（“两定一动”）如图，在直角坐标系中，点A(3,4)，B(0,2)，点P为x轴上一动点，求当PA+PB最小时点P的坐标yxBAOP类型类型“两点同侧两点同侧”在x轴上确定一点P
5、使PA+PB最小，因此先作B（A）关于x轴的对称点B（A），连接AB与与x轴的交点即为所轴的交点即为所求的点求的点P。由由B(0,2)，所以B(0,-2)，因为，因为 A(3,4)，所以易求直线A B：y=2x-2,所以点所以点P（1，0）B【典型例题】例1.（“两定一动”）如图，在直角坐标系中，点变式训练如图，MN 是 O的直径，MN=2，点A 在 O 上，AMN=30，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为 ABONMPB变式训练如图，MN 是 O 的直径，MN=2，点A 在 O 上【典型例题】例2.（“两动一定”）如图，在锐角ABC中，AB=，BAC=45
6、，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，请你求出BM+MN的最小值24ABCDNMNN解析：AD是角平分线，所以具有轴对称，先作N与N关于AD对称，所以M N=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN最小，所以当B，M，N在一条直线上时最小，此时为BN的长度，而BN最小时即为B N与AC垂直时最小，易求得BM+MN的最小值为4【典型例题】例2.（“两动一定”）如图，在锐角A B C 中，A变式训练练习1，如图，正方形ABCD的边长为4，CDB的平分线DE交BC于点E，若点P,Q分别是DE和DC上的动点，则PQ+PC的最小值（）A.2 B.C.4 D.2224AB
7、CDQPE变式训练练习1，如图，正方形A B C D 的边长为4，C D B 的平【变式训练】练习2，如图，AOB=45，P是AOB内一点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的动点，求PQR周长的最小值BPAOP1P2 QR【变式训练】练习2，如图，A O B=4 5 ，P 是A O B 内一【典型例题】例3.(“两动两定”)如图，直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求作P、Q两点，使APPQ QB最小。Q QP PAB解析：由前面的知识积累可以得知：先作出点A与 A关于直线l1对称，则PA=P A，然后再作 B与B
8、关于l2对称，则QB=Q B连接AB交l1，l2于点P，Q，则AP+PQ+QB=P A+PQ+Q B，当四点共线时，AP+PQ+QB最小。ABOl1l2【典型例题】例3.(“两动两定”)如图，直线l 1、l 2 交于O【变式训练】已知,在平面直角坐标系中，点A（1,3)、B(4,2)，请问在x轴上是否存在点C，在y轴上是否存在点D，使得围成的四边形ADCB周长最短.xyAOBADCB【变式训练】已知,在平面直角坐标系中，点课本原型课本原型 任意画一个三角形ABC,从点B出发，沿三角形的变到点C有几条线路路可已选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？BA C即：三角形任意两边之差小于第三
9、边即：三角形任意两边之差小于第三边AB-ACBC课本原型B A C 即：三角形任意两边之差小于第三边A B-A C 应用：求两条线段差的最大值应用：求两条线段差的最大值A、理论依据：三角形两边之差小于第三边B、用途：求两条线段差的最大值当当P在直线运动到在直线运动到D 时，（时，（PBPC）取最大取最大PB CD应用：求两条线段差的最大值A、理论依据：三角形两边之差小于第【常见模型】模型一：两点同侧：如图1，点P在直线l上运动。画出一点P，使|PAPB|取最大值；模型二：两点异侧：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P,使|PAPB|取最大值；PBAlB BPAl图1图2ppA【常见模型】模型
10、一：两点同侧：如图1，点P 在直线l 上运动。画例例1 1：已知：点：已知：点A(0,1)A(0,1)，B(3,4)B(3,4)，点，点P P在在x x轴上运动时，当轴上运动时，当|PA-PB|PA-PB|的的值最大时，求出此时点值最大时，求出此时点P P 的坐标的坐标yxOABPP P分析：分析：“两点同侧两点同侧”当点当点P、A、B不在一条直线上时，不在一条直线上时，|PA-PB|AB，所以当所以当|PA-PB|的值最大时，此时的值最大时，此时点点p、A、B在一条直线上，即直线在一条直线上，即直线AB与与x轴的交点为轴的交点为P。解析：当解析：当|PA-PB|PA-PB|取最大时，此时点取
11、最大时，此时点P P、A A、B B在一条在一条直线上，设直线直线上，设直线ABAB：y=kx+by=kx+b将将A(0,1)A(0,1)B(3,4)B(3,4)代入解代入解得得k=1,b=1k=1,b=1所以直线所以直线ABAB：y=x+1y=x+1，又因为点，又因为点P P在在x x轴上，轴上，易求点易求点P P（-1-1，0 0）【典型例题】例1：已知：点A(0,1)，B(3,4)，点P 在x 轴上运动时例例1 1：已知：点：已知：点A(-3,-3)A(-3,-3)，B(-1,-1)B(-1,-1)，点，点P P在在x x轴上运动时，当轴上运动时，当|PA-|PA-PB|PB|的值最大时
12、，求出此时点的值最大时，求出此时点P P 的坐标的坐标yxOABPPP大显身手大显身手例1：已知：点A(-3,-3)，B(-1,-1)，点P 在x 轴【典型例题】例例2 2：已知：点：已知：点A(0,1)A(0,1)，B(3,0)B(3,0)，点，点P P在直线在直线x=2x=2上上运动时，当运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求出此时点的值最大时，求出此时点P P的的坐标坐标yxOABx=2PB1 1P分析：分析：“两点异侧两点异侧”由题知：由题知：|PA-PB|AB，所以当，所以当|PA-PB|的值最大时，先找出点的值最大时，先找出点B关于直线关于直线x=2的对称点的对称点Bl
13、，连接，连接AB与直线与直线x=2的的交点即为所求点交点即为所求点P，此时满足：此时满足：|PA-PB|的值最大；的值最大；解析：点解析：点B B与点与点B Bl l关于直线关于直线x=2x=2对称，对称，B B（3,03,0），得），得B B（1 1，0 0）；易求直线）；易求直线ABAB：y=-x+1,y=-x+1,因为点因为点P P在在x=2x=2上，所以联立可解得：上，所以联立可解得：P(2,-1)P(2,-1)【典型例题】例2：已知：点A(0,1)，B(3,0)，点P 在例例2 2：已知：点：已知：点A(0,1)A(0,1)，B(3,0)B(3,0)，点，点P P在直线在直线x=2x
14、=2上上运动时，当运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求出此时点的值最大时，求出此时点P P的的坐标坐标yxOABx=2PB1 1P大显身手大显身手例2：已知：点A(0,1)，B(3,0)，点P 在直线x=2 上 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动，求线段和的最小值或线段差的最大值时：条件变动，求线段和的最小值或线段差的最大值时：1.思路思路：找点关于线的对称点：找点关于线的对称点(作定点关于动点所作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点；同时要考虑点点、点线
15、、线线之间的最短问题点；同时要考虑点点、点线、线线之间的最短问题),实现实现“折折”转转“直直”。2.方法：方法：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称（折叠）、平移的性质求最值。）应用轴对称（折叠）、平移的性质求最值。反思总结反思总结 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定中考题哪里来？中考题哪里来？课本例题课本例题或常见题或常见题中考题中考题来来源源引申、条件变换、引申、条件变换、移植转换、增加解移植转换、增加解题层次性等
16、题层次性等如何去解？如何去解？转化转化中考题哪里来？课本例题或常见题中考题来源引申、条件变换、移植谢谢！请批评指正课外作业1.如图1，等边ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上的一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_。2.如图2，菱形ABCD中，BAD=600，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为_.图1图27232课外作业1.如图1，等边A B C 的边长为6，A D 是边B C 上的3.如图，O的半径为2，点A，B，C在 O上，OAOB,AOC=600，P是OB上一动点，PA+PC的最小值为_。4在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是 图3AOBCABCDPE图图413323.如图，O 的半径为2，点A，B，C 在 O 上，O A O B,
