1、1 1(二十四)2 2 建议复习内容建议复习内容 1。有关概念的定义、含义、性质、定理、有关概念的定义、含义、性质、定理、推论等知识要点，及各种算法、公式。推论等知识要点，及各种算法、公式。2。有关的例题、作业习题，有关的例题、作业习题，3 3随机事件的随机事件的运算运算及及原理原理：第一章第一章 概率论的基本概念（知识点）概率论的基本概念（知识点）交换交换 结合结合 分配分配 对偶对偶概率函数概率函数P(A)的定义（的定义（3）及性质（及性质（6 6）：）：条件概率条件概率定义定义样本空间的样本空间的划分，完备事件组划分，完备事件组“事件事件A与与B相互独立相互独立”的定义的定义乘法定理乘法
2、定理 加法公式加法公式 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式4 4 第一章：第一章：课件课件:例例02-1.1,例例02-1.2.即参考资料即参考资料:例例1.4.1;课件课件:例例04-1.即参考资料即参考资料:例例1.5.4;作业习题一之作业习题一之 23、25、27.5 5例例02-1.1,一批产品共十件一批产品共十件,其中两件其中两件为为不合格品，不合格品，从中任取从中任取3件，件，(1)(1)求求最多最多有有一个一个为为不合格品的概率。不合格品的概率。解解 设设 A A 表示表示“最多一个不合格品最多一个不合格品”，B B 表示表示“无无不合格品不合格品”，C C 表示表示“正好
3、一个不合格品正好一个不合格品”。则。则;CBABC15/1415/715/7/)(/)()()()(310122831038CCCCCCPBPCBPAP例例02-1.2 又又 (2)(2)求求至少有至少有一个一个为为不合格品的概率。不合格品的概率。解解 设设 D D 表示表示“至少有一个不合格品至少有一个不合格品”，则，则 表表示示“全是合格品全是合格品”，有，有D15/8)15/7(1)(1)(DPDP6 6例例04-1八支枪中，有三支未经试射校正，五支已八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。校正过的枪射击时，中靶的概率为经试射校正。校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪
4、射击时，中靶的概率为，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今，今从从8支枪中任取一支射击中靶。问所用这枪是校支枪中任取一支射击中靶。问所用这枪是校正过的概率是多少？正过的概率是多少？解解 设事件设事件 B =射击中靶射击中靶，A1 =任取一枪是校任取一枪是校正过的正过的，A2 =任取一枪是未校正过的任取一枪是未校正过的。则则故所求概率为故所求概率为3.0)|(,8.0)|(,8/5)(211ABPABPAP816.049/40)|()()|()(/)|()()|(2211111ABPAPABPAPABPAPBAP72323设有甲、乙两袋，甲袋中装有 n 只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、
5、M只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？23解.)1)(111MNmnnmNnNMNNnmmMNNnmn92525已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？0.5P(W)P(M)0.25%W)|P(S5%M)|P(S25解.21200.2555M)/P(S)|P(M)P(SS)|P(M 色盲记为 S,且知：于是有112727 某人下午 5：00 下班，他所积累的资料表明：到家时间 5:35 5:39 5:40 5:44 5:45 5:49 5:5
6、0 5:54 迟于 5:54 乘地铁到 家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是 5：47 到家的。试求他乘地铁回家的概率。12125:45 5:49 回家记为 A,且知：27解.0.20G)|P(A0.45T)|P(A0.5P(G)P(T)1390.200.450.45T)/P(A)|P(T)P(AA)|P(T 于是：1313第二章第二章 随机变量及其随机变量及其分布分布（知识点）（知识点）随机变量随机变量及其及其分布分布函数函数的的定义定义及及性质性质离散
7、随机变量离散随机变量的定义及分布律，分布函数的特点的定义及分布律，分布函数的特点 4个分布律：个分布律：二项分布、超几何分布、泊松分布、几何分布二项分布、超几何分布、泊松分布、几何分布连续型随机变量连续型随机变量的定义，的定义，其其概率密度概率密度及及分布函数分布函数的的性质性质与与关系关系 3个分布：个分布：均匀分布、指数分布、正态分布均匀分布、指数分布、正态分布。1414随机变量函数随机变量函数的的分布分布 离散随机变量离散随机变量函数函数的分布律之求法的分布律之求法 连续型随机变量连续型随机变量函数函数的的概率密度的求法，概率密度的求法，一维正态分布一维正态分布的的线性变换。线性变换。1
8、515 第二章：第二章：课件课件:例例06-2,即参考资料即参考资料:例例2.20;课件课件:例例06-6,见参考资料第见参考资料第48页页,正态分布的线性变换正态分布的线性变换;作业习题二之作业习题二之 15；28；30.1616解解 由由 X X 的概率分布为的概率分布为例例2.5.1 设随机变量设随机变量 ，求，求（1）随机变量）随机变量 的概率分布；的概率分布；（2）随机变量）随机变量 的概率分布；的概率分布；（3）随机变量）随机变量 的概率分布。的概率分布。7.0,3 BX21XY XXY222233XXY3,2,1,03.07.033kCkXPkkkX2XXX22123XX 027
9、.03.03189.03.07.032441.03.07.032343.07.03012301490030220概率例例06-206-2得到：（得到：（1）随机变量）随机变量 的概率分布的概率分布；21XY XXY222233XXY（2）随机变量）随机变量 的概率分布；的概率分布；（3）随机变量）随机变量 的概率分布。的概率分布。2Xp0149XX22p-10323XX p 020.3430.4410.1890.0270.630.370.3430.4680.1891818 例例4,随机变量随机变量X服从参数为服从参数为,的正态的正态分布分布N(,2).Y=cX+d,c非非0,求求：fY(y).
10、xexfxX,21)(222)(例例06-606-61919解解:g(x)=cx+d,g(x)=c,或或0,或或0;a=-;b=;反函数反函数存在存在,h(y)=(y-d)/c,h(y)=1/cfY(y)=fXh(y)|h(y)|=fX(y-d)/c)|1/c|yecyfcdyY,2|1)(222)(2020Y服从参数为服从参数为(c+d),(c)的正态分布的正态分布N(c+d),(c)2)。取取c=1/,d=-/,则则Y服从参数为服从参数为(0,1)的标准正态分布的标准正态分布N(0,1)。xecyfccdyY,2|1)(22)(2)(2115设连续型随机变量X的分布函数 1,110,0,0
11、2xxAxxxF（1）确定系数A；（2）求X的密度函数；（3）求9.07.0 XP。222218.其它0102xxxfxFxf)()()(111AF)(32070909070.).().().(FFxP232828某种电池的寿命235,300 NX。（1）求电池寿命在 250 小时以上的概率；（2）求 x，使9.0300300 xXxP。242428.由由:XN(,2)则则 Y=(X-)/N(0,1)于是于是,Px1 X x2 =P(x1-)/Y (x2-)/=(x2-)/)-(x1-)/)0.9233)4281Y(P).35300250P(Y250)300)35P(Y250)P(X1“查附表
12、查附表2”2525x)Y35xP(-x)300300Y35x-P(300 x)300Xx-P(300 57.575x1.64535x0.95)35x(0.91-)35x(2)35x(-)35x(0.9)35xy35x-P(0.9x)Y35xP(-263030某机器生产的螺栓长度X(cm)服从正态206.0,05.10N分布，规定长度在 10.050.12 内为合格品，求任取一个螺栓是不合格品的概率。272730.P(10.05-0.1210.050.12)-0.12X-10.050.12 P()0.060.060.06X “查附表查附表2”2(2)10.9544F 04560954401.不合
13、格品率不合格品率 P=P=28281.n维随机变量维随机变量的的定义定义，联合分布联合分布函数函数的的性质性质。第三章第三章 多维随机变量及其多维随机变量及其分布分布（知识点）（知识点）n维离散随机变量维离散随机变量的的定义定义及及分布律分布律，其，其分布函数分布函数的的特点特点n维连续型随机变量维连续型随机变量之之概率密度概率密度、分布函数分布函数的的性质与关系性质与关系 n个个离散随机变量离散随机变量函数函数的分布律之求法的分布律之求法2.n个随机变量函数个随机变量函数的的分布分布.n个个连续型随机变量连续型随机变量函数函数的的概率密度的求法概率密度的求法2929边缘分布 联合分布律联合分
14、布律与与边缘分布律边缘分布律的关系的关系 联合概率密度函数联合概率密度函数与与边缘概率密度边缘概率密度的关系的关系条件分布条件分布 随机变量的相互随机变量的相互独立性独立性 多维正态分布多维正态分布的的线性组合。线性组合。3030 第三章：第三章：课件课件:例例7-57-5;课件课件:(3.5.3)即参考资料第即参考资料第79页页:(2)极值分布极值分布;课件课件:例例7-67-6.即参考资料即参考资料:例例3.7;作业习题三之作业习题三之 1、2、5、24 3131例例3.1.1：随机变量随机变量 X 在在1，2，3，4四个整数中等四个整数中等可能地取值，另一个随机变量可能地取值，另一个随机
15、变量 Y 在在 1X 中等可能中等可能地取值。求（地取值。求（X，Y）的分布律。）的分布律。解解：用乘法公式。：用乘法公式。PX=i,Y=j=PY=j|X=iPX=i=1/4i i=1,2,3,4 j=i XY 1 2 3 4 12 23 34 41/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16例例7-57-5.3232 X Y 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16 3333 求例子中的求例子中的边缘
16、边缘分布律分布律：XY 1 2 3 4 12 23 34 41/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16 XY 1 2 3 4 p.j 12 23 34 45 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/1625/4813/48 7/48 3/486 pi.1/4 1/4 1/4 1/43434(3.5.3)、M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布的分布设设(X,Y)的是两个的是两个独立独立的随机变量的随机变量,它们的分布函数为它们的分布函数为F
17、X(x)和和FY(y),求求M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布。的分布。,)(zYzXPzMPzFM)()()(zFzFzFYXM)()(,zFzFzYPzXPzYzXPYX推广到推广到n个个独立独立的随机变量的随机变量,M=max(X1,Xn)的分布为的分布为)().()(1zFzFzFnXXMnXMzFzF)()(若为若为n个个独立同分布独立同分布的随机变量时的随机变量时,35351)(zNPzNPzFN)(1)(1 1)(zFzFzFYXN11zYPzXPzNP推广到推广到n个个独立独立的随机变量的随机变量,则则N=min(X1,Xn)的的分布为分布为)(1)(1 1)(1
18、zFzFzFnXXN nXNzFzF)(1 1)(进一步若为进一步若为n个个独立同分布独立同分布的随机变量时的随机变量时,36已知随机变量X和Y的联合概率密度为 其它 ,00,0 ,)()2(yxAex,yf yx（1）试确定常数k；（2）求),(YX的分布函数；（3）求XYP。例例7-67-6.3737(1)A=2其它 0 0y0,x),1)(1(,2yxeeyxF(2)(3)3/1)2(220)(20)(2)(2 yxyyyxxyyxdydxeedxdyedxdye3811 已知在 10 只灯泡中有 2 只次品。在其中取两次，每次任取一只，定义随机变量X和Y如下：若第二次取出的是次品若第二
19、次取出的是正品若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,0,1,0YX 考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。试分别就这两种情况，写出 X 和Y 的联合分布律。39 8（1）分别就这两种情况，写出X和Y的边缘分布律。16（1）分别就这两种情况，X和Y相互独立么？40401.8(1).16(1)xy01p.j016/254/254/514/251/251/5Pi.4/51/5 xy01p.j028/458/454/518/451/451/5Pi.4/51/5放回放回:独立独立不放回不放回:不独立不独立4122将将两两封封信信随随机机地地往往编编号号为为、的的四四个个邮邮筒筒内内投投
20、。iX表表示示第第i个个邮邮筒筒内内投投入入的的信信的的数数目目)2,1(i，写写出出),(21XX的的联联合合分分布布律律。8（2）写写出出),(21XX的的 边边缘缘分分布布律律？16（2）它它们们是是否否相相互互独独立立？4242“二封信随机投入四个邮筒，前两个邮筒内二封信随机投入四个邮筒，前两个邮筒内的信数之联合分布的信数之联合分布”。xy01 2 01/41/41/16 9/1611/41/806/1621/16001/169/16 6/16 1/16一封信落入该两邮筒之一的概率为一封信落入该两邮筒之一的概率为1/4，未落，未落入该两邮筒的概率为入该两邮筒的概率为1/2。2.8(2)
21、.16(2)不独立不独立4355已知随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 其它 ,00,0 ,)()(yxkex,yf yx（1）试确定常数 k；（2）求),(YX的分布函数；（3）求;20,10YXP （4）求YXP。4444(1)k=1)1)(1(yxeeyxF,0.55)1)(1(2121eeF,(2)(3)(4)210)(00)()(/xyxyyxyxyxdydxedxdyedxdye54524设),(YX的分布律为 Y X 0 1 2 3 0 0.10 0.04 0.13 0.08 1 0.05 0.06 0.08 0.11 2 0.01 0.02 0.01 0.05 3 0.02
22、 0.03 0.05 0.06 4 0.01 0.04 0.03 0.02 46（1）求1|13|2XYPYXP及；（2）求YXZ的分布律；（3）求YXW 2的分布律；（4）求),(YXmaxM 的分布律；（5）求),(YXminN 的分布律；（6）求NMU的分布律。474724.Z=x+y:0,1,2,3,4,5,6,7 xy0123400.10 0.05 0.01 0.02 0.0110.04 0.06 0.02 0.03 0.0420.13 0.08 0.01 0.05 0.0330.08 0.11 0.05 0.06 0.02w=2x-y:-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,
23、7,8M=Max(x,y):0,1,2,3,4N=Min(x,y):0,1,2,3Z=M+N=x+y0.320.350.300.090.160.100.190.190.30484824.Z=x+y:0,1,2,3,4,5,6,7w=2x-y:-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8M=Max(x,y):0,1,2,3,4N=Min(x,y):0,1,2,3Z=M+N=x+yZ:0.10 0.09 0.20 0.20 0.16 0.14 0.09 0.02W:0.08 0.13 0.15 0.18 0.11 0.06 0.08 0.06 0.05 0.05 0.04 0.01M:0.
24、1 0.15 0.25 0.40 0.1 N:0.44 0.34 0.14 0.08 494924.0.15625 3200503yP3y2xP3y2xP .)(),()|(0.2 3000601yP1y1xP1y1xP .)(),()|(5050第四章第四章 随机变量的数字特征（知识点）随机变量的数字特征（知识点）2.随机随机变量变量的的数学期望数学期望的的 意义、求法意义、求法及及性质，性质，7个分布个分布 的数学期望。的数学期望。1.随机随机变量函数变量函数的的数学期望数学期望 定义定义及及求法求法3.随机随机变量变量的的方差方差的的 意义、求法意义、求法及及性质，性质，7个分布个分布
25、的方差。的方差。4.变量间变量间的的协方差协方差及及相关系数相关系数的的 意义、求法意义、求法及及性质性质，二维正态分布二维正态分布的协方差及相关系数。的协方差及相关系数。5151 第四章：第四章：课件课件:例例11-4.1-4.1.即参考资料即参考资料:第第4.2.3节之节之6;课件课件:例例12-5-5.即参考资料即参考资料:第第4.2.3节之节之2;课件课件:例例12-6-6.作业习题四之作业习题四之 16；19；23.5252例例11-4.1、标准正态分布、标准正态分布 X N(0,1).则则例例11-4.2、正态分布、正态分布 Y N(,2).注意到：注意到：Y=X+，因此，因此 D
26、(Y)=D(X)+D()=2D(X)+0=20)(XE12121)()(22222222dxexedxexXEXDxxx5353例例4.2.2、均匀分布、均匀分布 X 在在(a,b)上均匀分布上均匀分布.则则2)(abXE3aabba)3(babdxab1x)E(X2233ba22 12a)(b12b3ab6a3a4ab4b42a)(b3aabbE(X)E(XD(X)2222222222 例11-5.5454试证明试证明X与与Y不相关，但两者并不相互独立。不相关，但两者并不相互独立。例例4.3.2:设设X在区间在区间 上服从均匀分布，上服从均匀分布，解：解：1,1XY 01121其它xxf02
27、1)(11dxxxXYE02111dxxXE 0,YEXEXYEYXCOV例例12-612-65555可见可见另外另外:对于一切满足对于一切满足0a10a1的实数的实数a a都有都有 因而因而1121211adxaXPa10aXP aYPaXPaYPaXPaXaXPaa,YXP，故故X与与Y两者并不相互独立。两者并不相互独立。本例的本例的X与与Y两者有明显的函数关系，但两者有明显的函数关系，但 又又是不相关的。是不相关的。0XY相关系数相关系数 反映了反映了X X与与Y Y之间的一种什么样的之间的一种什么样的“相相关关”关系呢？关系呢？实质上，相关系数刻画的只是随机变实质上，相关系数刻画的只是
28、随机变量之间线性相关的程度。量之间线性相关的程度。XY5616,1)设随机变量(,)X Y的分布律如下表。xy 1 2 3-1 0.2 0.1 0 0 0.1 0 0.3 1 0.1 0.1 0.1 5716,2)求：E(X),E(Y),D(X),D(Y),E(XY),E（X+1）（Y-1）YXCOV,，(,)X Y 585816.63)(YX,821)()()()1)(1(.XEYEXYEYXE20)ov(.,YXC84)(0)(2)(2.XEYEXE60)(80)(60)(2.YDXDYE20)(.XYE591919设二维随机变量YX,的概率密度为 其它,010,10,6,2yxxyyxf
29、 求：（1）XYE，（2）YXCOV,，（3）XY。606019.0)(YX,0433221)()()()ov(YEXEXYEYXC,181)(21)(32)(2XDXEXE1032101010221236)(dyydxxdxdyxyxyXYE803)(53)(43)(2YDYEYE612323设随机变量(,)X Y的分布律如下表。xy-1 0 1-1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 验证X，Y不相关，但XY又不相互独立。626223.)0()0(82820)00(YPXPYXPYX,081818181)(XYE0)(08383)(YEXE0)(0)
30、(YXYXCov,不独立.不相关.6363第五章第五章 大数定律即中心极限定理（知识点）大数定律即中心极限定理（知识点）1:1:几乎处处收敛几乎处处收敛、依概率收敛、依分布收敛的定义依概率收敛、依分布收敛的定义2 2：契比雪夫契比雪夫 大数定律（独立大数定律（独立、方差有界），贝努利大数定律贝努利大数定律 （二项分布二项分布的频率稳定性的频率稳定性），辛钦大数定律辛钦大数定律 （独立同分布）。（独立同分布）。3 3：林德贝格林德贝格勒维中心极限勒维中心极限 定理（独立同分布），定理（独立同分布），德莫弗德莫弗-拉普拉斯拉普拉斯 定理定理 （二项分布二项分布），李雅普诺夫李雅普诺夫 定理定理 (
31、李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件)。满足条件满足条件的的随机变量随机变量的的算术平均序列算术平均序列与它们的与它们的数学期望数学期望的的算术平均序列算术平均序列之差之差依概率收敛于零依概率收敛于零。则则随机变量和随机变量和的的标准化标准化序列序列依分布收敛依分布收敛于于N(0,1),4：引理：引理：契比雪夫不等式契比雪夫不等式6464第六章第六章 样本及抽样分布（知识点）样本及抽样分布（知识点）1.1.随机样本、随机样本、统计量统计量的的定义定义:2.2.几个常用的统计量：几个常用的统计量：样本平均值样本平均值;样本方差样本方差;样本标准差样本标准差;样本样本k k阶阶(原点原点)矩矩;样本样本k
32、 k阶阶(中心中心)矩矩;样本极差样本极差;样本中位数样本中位数;样本分布函数。样本分布函数。8个个3 3：几个：几个抽样分布抽样分布(0)正态正态分布分布(一一)2分布分布;(二二)t分布分布;(三三)F分布分布 4个个4 4：分布的分布的上上 、下下 、双侧双侧 分位点分位点5 5：正态总体的正态总体的样本均值样本均值与与样本方差样本方差的分布的分布 4个个 65651.1、矩估计法矩估计法 用用样本原点矩样本原点矩作为作为总体原点矩总体原点矩的的估计量估计量、用、用样本样本原点矩的连续函数原点矩的连续函数作为作为总体原点矩的连续函数总体原点矩的连续函数的的估计估计量，量，这种估计方法称为
33、这种估计方法称为矩估计法矩估计法.第七章第七章 参数估计（知识点）参数估计（知识点）1.待估参数的点估计待估参数的点估计1.2、极大似然估计法极大似然估计法写样本的写样本的似然似然函数函数L()，是是 的函数的函数。6666 设设 总体总体X的分布函数的分布函数F(x;)含有一个未知参数含有一个未知参数,对于给定的值对于给定的值 (0 1),若由样本若由样本 X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量 (X1,X2,Xn)和和 统计量统计量 (X1,X2,Xn),满足满足2.区间估计区间估计 我们称我们称随机区间随机区间 (,)为为 的的置信度为置信度为1-的的置信区间置信区间,分别称分
34、别称 和和 为置信度为为置信度为1-的的双侧双侧置信区间置信区间的的置信下限置信下限和和置信上限置信上限,1-称为称为置信度置信度.1),.,(),.,(11nnXXXXP6767 第七章：第七章：课件课件:例例16-6-6.即参考资料即参考资料:例例7.1.1;课件课件:例例17-02-02.即参考资料即参考资料:例例7.1.5;作业习题七之作业习题七之 5、11、20；6868例例16-6-6、X在在(a,b)上均匀分布上均匀分布.a,b则未知则未知,X1,X2,Xn是一个是一个样本样本.用用样本矩样本矩来来估计估计a,b 的值。的值。2)(abXE12)()()()(222abXDXEX
35、E解解:已知已知)(1222121AAabAbaniiniiXXnXAAAbXXnXAAAa122121122121)(3)(3)(3)(3有有:得得:6969例例1 17-02、X1,X2,Xn是来自是来自正态分布正态分布 X N(,2)的的一个一个样本样本.求求 ,2的的极大似然估计量极大似然估计量。解解:似然函数为似然函数为,),;(),;,(),(122212niinxfxxxLL,)(21exp(21),(1222niixL,)(21)ln(2)2ln(2ln1222niixnnL707001),(ln122nxLnii0)()(212),(ln2122222niixnL解解得得极大
36、似然估计值极大似然估计值为为,11XXnnii这一这一估计量估计量与与矩估计量矩估计量是是相同相同的的.B)XX(nnii12221极大似然估计量极大似然估计量为为,11xxnnii.)(1122niixxn7155设总体X服从指数分布，它的分布密度为 0,00,)(xxexfx 其中0，试用矩法和最大似然估计法求的估计量。72725.1)10dxexXEx)(X15.2)niix1(e)(Lnniix1)ln(n)ln(L)0ddln(L)n1iixnX17311X2,N 2设某批零件的长度服从正态分布 ,从这批零件中随机抽取16个，测得零件长度（单位：毫米）为 28282930303030
37、31 3131313132323333。试求总体均值的置信水平为95%的置信区间：（1）已知毫米；（2）若未知。7474nuX2111.1）625.30,2,16Xn)605.31,625.29(11.211.2）nSntX)(121625.30,1315.2)15(,5.1,16975.0XtSn)425.31,825.29(96.1975.0u75XY211,N 222,N 212222121212212220设甲乙两个品种绿化用的草皮的成活率与分别服从正态分布及，现有这两种草皮在若干个地块的成活率（%）数据如下：品种甲：90.593.295.891.289.392.6品种乙：99.596
38、.395.298.397.596.799.0要求：（1）及未知，但，计算的置信水平为0.9的置信区间；及未知，计算的置信水平为99%的置信区间。（2）20767620.1)21212121112nnSnntXXw)()(1.92,322612.41)1(,612111XSnn)813.7,987.2(5.97,83432.22)1(,722222XSnn4150.2,7959.1)11(,10.095.0wSt77 7720.2).2211222122/2121211(,)(1,1)(1,1)SSSFnnSFnn,2645224.8,6211Sn171605478.22221SS,80572.
39、3,7222Sn06891798.051.141)5,6(1)6,5(,46.11)6,5(,01.0995.0005.0995.0FFF)5100.31,1895.0(7878 提出提出关于总体的假设关于总体的假设.根据样本对所提出的根据样本对所提出的 假设做出判断假设做出判断:是接受假设是接受假设,还是拒绝假设还是拒绝假设.第八章第八章 假设检验（知识点）假设检验（知识点）1.假设检验问题假设检验问题具体作法步骤是具体作法步骤是:1.根据实际问题提出根据实际问题提出原假设原假设H0和和备择假设备择假设H1,一般是关于总体某些参数值的范围；一般是关于总体某些参数值的范围；2.确定确定检验统计
40、量检验统计量(通常是相应参数点估计的函通常是相应参数点估计的函数数)以及以及拒绝域的形式拒绝域的形式；3.给定显著性水平的值给定显著性水平的值 (0 1),以及样本容量以及样本容量n；7979 4.按按 求出求出拒绝域拒绝域,即找到拒即找到拒绝域的边界点也称绝域的边界点也称临界点临界点。5.取样，根据样本观察值做出判断取样，根据样本观察值做出判断:是接受假设是接受假设H0 (即拒绝假设即拒绝假设H1)，还是拒绝假设，还是拒绝假设H0(即接受假即接受假 设设H1)。.H|H00为真拒绝P8080 第八章：第八章：课件课件:例例19-01-01.即参考资料即参考资料:例例8.2.1;课件课件:例例
41、20-02-02.即参考资料即参考资料:例例8.2.2;课件课件:例例20-03-03.即参考资料即参考资料:例例8.2.3;作业习题八之作业习题八之 3、7、14.8181例例19-01、机器包装糖果机器包装糖果.所包袋装糖果重量近似地所包袋装糖果重量近似地服从正态分布服从正态分布.机器正常时机器正常时,均值为均值为0.5公斤公斤,标准差为标准差为 0.015 公斤公斤.某日开工后检验包装机工作是否正常某日开工后检验包装机工作是否正常.现随机取现随机取9袋袋,称的重量如下称的重量如下:解释解释:认为该日所包袋装糖果重量近似地服从正态分布认为该日所包袋装糖果重量近似地服从正态分布.长期经验表明
42、标准差比较稳定为长期经验表明标准差比较稳定为 0.015 公斤于是公斤于是认为总体服从认为总体服从 X N(,0.0152),这里这里 未知未知.497 506 518 524 498 511 520515 512问包装机工作是否正常问包装机工作是否正常?问题是问题是,根据样本值来判断根据样本值来判断:=0.5,还是还是 0.5。8282(1)我们提出假设我们提出假设 H0：=0(=0.5)；和和 H1：0。(2)而当假设为真时而当假设为真时,).1,0(0NnX8383 (3)犯错误是无法排除的。只能希望犯犯错误是无法排除的。只能希望犯错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较错误的概率控制
43、在一定限度之内，即给出一个较小的数小的数 (0 1),使犯使犯如下如下错误的概率不超过错误的概率不超过 ,即使得即使得.H|H00为真拒绝P8484212uzk 我们令我们令.|00knXP而当假设为真时而当假设为真时,).1,0(0NnX由正态分布分位点的定义得由正态分布分位点的定义得,.uzk|nX|2120.uzk|nX|2120(4)于是若满足于是若满足则拒绝则拒绝H0,而若而若则接受则接受H0.8585 (5)于是拒绝假设于是拒绝假设H0(即接受假设即接受假设H1),认为包装认为包装 机工作是不正常的。机工作是不正常的。回到本例回到本例中中,取取 =0.05,n=9,=0.015 查
44、表得查表得k=u0.975=1.96.再由样本算得再由样本算得 =0.511,既有既有X;96.12.2|0nX8686例例20-02、某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布，某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布，,2为未知。为未知。其强度标准为其强度标准为52(kg/mm2)，今抽取，今抽取6个样个样品，测得其强度数据如下品，测得其强度数据如下(单位：单位：kg/mm2)：48.5 49.0 48.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.553.5 49.5 56.0 52.5。判断这批产品的强度是否判断这批产品的强度是否合格合格(=0.05)？t未落在拒绝域中未落在拒绝域中,故
45、接受故接受H0,即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在样本提供的信息来看，产品是合格的。样本提供的信息来看，产品是合格的。在在H0成立的条件下成立的条件下解解:现在现在,n=6,t0.975(5)=2.571。又得又得 52:52:100HH)1(0ntnsXt571.24.069.8525.51|200nsXt8787例例20-03、某炼铁厂的铁水含碳量某炼铁厂的铁水含碳量 X 服从正态分布。服从正态分布。现对操作工艺进行了某种改进，从中抽取现对操作工艺进行了某种改进，从中抽取5炉铁水，测炉铁水，测得含碳量数据如下：得含碳量数据如下：4.
46、421 4.052 4.353 4.287 4.683。取取 =0.05，是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为方差仍为？否定否定H0 ，即不能认为方差是，即不能认为方差是(0.108)(0.108)2 2。在在H0成立的条件下成立的条件下解解:现在现在,n=5,=0.05，得临界值得临界值又得又得 2108.022122020108.0:108.0:HH)1()1(2222nsn1.11)4(2975.0484.0)4(2025.01.11827.17108.0228.04)1(222220sn8833 某 炼 铁 厂 的 铁 水 含 碳 量 服 从
47、 正 态 分 布2(4.45,0.108)N，现测得 9 炉铁水的平均含碳量 4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生 产 的 铁 水，其 平 均 含 碳 量 仍 为4.45(05.0)？89893.05091080454220.,.,.n0100:,:HH961975021.uuk9400.nXU,|kU 平均含碳量仍为平均含碳量仍为4.45。4844.X未落入拒绝域，不能否定未落入拒绝域，不能否定H0。9077假定新生儿的体重服从正态分布，均值为3140 克。现从新生婴儿中随机抽取 20 个，测得其平均体重为 3160 克，样本标准差为 300 克。试问 现在与过去的新 生婴儿体重有
48、无 显著差（0.01）？91917.,.,30001031602031400SXn0100:,:HH86092191995021.)()(.tntk29800.nSXT,|kT 新生儿体重无明显变化。新生儿体重无明显变化。未落入拒绝域，不能否定未落入拒绝域，不能否定H0。921414 按两种不同的配方生产橡胶，测得橡胶伸长率(%)如下：第一种配方：540 533 525 520 544 531 536 529 534 第二种配方：565 577 580 575 556 542 560 532 570 561 如果橡胶伸长率服从正态分布，两种配方生产的橡 胶 伸 长 率 的 标 准 差 是 否
49、有 显 著 差 异(05.0)？939314.050102n9n1.,20212020HH :,:29750k10498F .),(.),(1n1nFSSF212221 ,.12221k2270SS 方差有显著性变化。方差有显著性变化。197500250k22940364189F198F .),(),(.落入拒绝域，否定落入拒绝域，否定H0。94943.原假设原假设H0:=0。备择假设备择假设H1:点估计点估计、双侧、双侧区间估计区间估计和双侧和双侧假设检验假设检验的六个模式的六个模式(显著性水平为显著性水平为 、置信度为置信度为1-)1.无偏无偏点估计点估计2.相关统计量及分布相关统计量及分
50、布拒绝域拒绝域为为(1)：单个正态总体，：单个正态总体，02为已知，为已知，均值均值 0的的nXz00 N(0,1)0 21u|z|4.的的置信区间置信区间为为).(/210unX X0 95951.无偏无偏点估计点估计2.相关统计量及分布相关统计量及分布3.原假设原假设H0:=0。备择假设备择假设H1:拒绝域拒绝域(2)：单个正态总体，：单个正态总体，2为未知，为未知，均值均值 0的的01)(nt|t|21 nsXt0 )1(ntX0 1).(ntnSX(2/1 4.的的置信区间置信区间为为96961.无偏无偏点估计点估计为为2.相关统计量及分布相关统计量及分布3.原假设原假设H0:2=02
