1、第2章 离散傅里叶变换 数字信号处理数字信号处理Digital Signal Processing(DSP)信息学院电子系信息学院电子系第2章 离散傅里叶变换 第2章 离散傅里叶变换 2.1 引言引言2.2 周期序列的离散傅里叶级数（周期序列的离散傅里叶级数（DFS）2.3 离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DFS）的性质）的性质 2.4 有限长序列离散傅里叶变换（有限长序列离散傅里叶变换（DFT）2.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）的性质）的性质 2.6 频域采样理论频域采样理论 第2章 离散傅里叶变换 2.1 引言引言计算机只能处理有限长离散序列，因而无法直接利用ZT与FT进行数
2、值计算针对有限长序列,还有一种更有用的数学变换,即离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行DFT的实质：有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，即频域离散化DFT有多种快速算法(Fast Fourier Transform),因此不仅在理论上有重要意义,在各种数字信号处理算法中亦起着核心作用第2章 离散傅里叶变换 傅里叶变换的几种可能形式xa(t)txp(t)ootTpx(nT)oN点xp(n)oN点nTn(a)(b)(c)(d)|Xa(j)|10o0|Xp(jk)|ok|X(ej)|1/T|X(ejk)|sooN点s
3、T连续和非周期 连续和周期离散和非周期离散和周期非周期和连续非周期和离散周期和连续周期和离散xa(t)txp(t)ootTpx(nT)oN点xp(n)oN点nTn(a)(b)(c)(d)|Xa(j)|10o0|Xp(jk)|ok|X(ej)|1/T|X(ejk)|sooN点sT第2章 离散傅里叶变换 结论 一个域的离散对应另一个域的周期延括 一个域的连续对应另一个域的非周期数字信号处理涉及的变量和运算都是离散(数字)的，因此在作傅里叶变换时，时间函数和频率函数都应该是离散的前三种傅里叶变换对中，时域或频域中至少有一种是连续函数，所以都不可能在计算机上进行运算和实现信号在时域上采样形成频率的周期
4、函数，而在频域上采样则导致时域的周期函数前三种形式最后都能成为第四种形式我们先讨论周期序列的DFS，在此基础上讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的DFT第2章 离散傅里叶变换 2.2 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)周期序列不是绝对可和的，因此FT是不存在的，但由于是周期性的，可以展成DFS)()(rNnxnx r为任意整数 设 是一个周期为N的周期序列，即)(nx2jknknNNWe 周期序列中应用最广泛的序列为：第2章 离散傅里叶变换()()knk N nk n NNNNWWW周期性*()()knknN k nk N nNNNNWWWW对称性2100NjknN
5、kNen=mN,m为整数 其他n 正交性 上述特性为离散傅里叶变换的分析与计算提供了方便 周期序列(N)可以用离散傅里叶级数来表示，即用周期为N的复指数序列 来表达nkNW第2章 离散傅里叶变换 一个周期为N的周期序列有N个独立值，其离散傅里叶级数也只有N个独立分量。其离散傅里叶级数变换对可表示为nkNNknkNjNknkNNnnkNjNnWkXNekXNkXIDFSnxWnxenxnxDFSkX)(1)(1)()()()()()(1021010210第2章 离散傅里叶变换 例例已知周期序列 其周期N=8,试求解DFS()x n()X k 43422284888sin1()2sin1()8jk
6、jkjkjkjkjkjkjkjkkeeeeekeeee10()NnkNnx n W2738400()jknknnnx n ee第2章 离散傅里叶变换 的幅度特性如下图所示()X k第2章 离散傅里叶变换 可看成是对 的第一个周期x(n)傅里叶变换的等间隔采样)(kX)(nx通常称x(n)为 的主值区序列)(nx DFS的物理意义0)()()()(nxnRnxnxN0nN-1 其他n 令10)()()(NnnnnznxznxzXx(n)的Z变换为第2章 离散傅里叶变换 21100()()()()NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W10)()()(Nnnnnznxznxz
7、X比较上面两式，可以得到22()(),0-1()(),0-1jkNz ejkNX kX zkNX kX ekN第2章 离散傅里叶变换 结论：2()(),0-1jkNz eX kX zkN 当0kN-1 时，是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变化，的值呈周期变化)(kX)(kXjImz234567(N1)k02/NRezo图2-4|z|11第2章 离散傅里叶变换 结论：2()(),0-1jkNX kX ekN 也可解释为 的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。采样频率为2/N)(kX)(nx第2章 离散傅里叶变换 2.3 离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DF
8、S）的性质）的性质 离散博里叶级数的某些性质已成功地应用于信号处理问题2.3.1 线性线性)()()()(2121kXbkXanxbnxaDFS两个离散周期序列线性组合成一个新周期序列的DFS(频域序列)也是周期为N的离散周期序列第2章 离散傅里叶变换 令 i=n+m 2.3.2 序列的移位序列的移位 2()()()()()jmkmkNNnlNDFS x nmWX keX kDFS Wx nX kl或)()()(2nxenxWlkXIDFSnlNjnlN(时域移位)(频域移位)1()NmkimkNNi mx i W W 10()()NnkNnDFS x nmx nm W10()()()NnkN
9、nX kDFS x nx n W已知 时域移位证明第2章 离散傅里叶变换 由于 都是以N为周期的周期函数,因此kiNWix及)()()()(10kXWWixWmnxDFSmkNkiNNimkN10()NnlknNNnW x n W1()0()Nl k nNnx n W()nlNDFS W x n()X kl频域移位证明()()nlNDFS W x nX kl第2章 离散傅里叶变换 2.3.3 周期卷积周期卷积 证证 12()()()y nIDFS X k Xk11201()NknNkX k XkWN（）如果)()()(21kXkXkY则）（mnxmxkYIDFSnyNm2101)()()(或）
10、（mnxmxnyNm1102)()(时域周期卷积1011)()(NmmkNWmxkX第2章 离散傅里叶变换 得 11()12001()()NNn m kNkmy nx m XkWN（）交换求和次序 1210()()Nmy nx m x nm（）11()12001()NNn m kNmkx mXkWN（）1120()()Nmx m x nm将变量进行简单换元，即可得等价的表示式 第2章 离散傅里叶变换 11122100()()()NNmmy nx m x nmx m x nm（）（）说明:上述周期序列的卷积公式，与非周期序列的线性卷积不同 乘积 也是周期为N的周期序列()y n 求和只在一个周期
11、上进行，所以称为周期卷积 周期卷积的计算过程反转、相乘、求和 计算出一个周期n=0,1,N-1的结果后，进行周期延拓第2章 离散傅里叶变换 n0n(a)(c)(1mxm)(1nx NN)(2nx10 NN0N 1(d)周期卷积的过程图示n0n(a)(c)(1mxm)(1nx NN)(2nx10 NN0N1(d)n0n(a)(c)(1mxm)(1nx NN)(2nx10 NN0N 1(d)*(d)(e)mn 1N10)1(2mx)0(2mxN10mn 0(d)(e)mn 1N10)1(2mx)0(2mxN10mn 0(f)(g)N0Nn)(ny1123 320)2(2mxmn 2N11120()
12、()Nmy nx m x nm（）第2章 离散傅里叶变换(f)(g)N0Nn)(ny1123 320)2(2mxmn 2N 1第2章 离散傅里叶变换 时域周期序列的乘积对应频域周期序列的周期卷积 频域周期卷积)()()(21nxnxny则)()(1)()(1)()()(1102210110lkXlXNlkXlXNWnynyDFSkYNlNlNnnkN如果 第2章 离散傅里叶变换 2.4 有限长序列离散傅里叶变换（有限长序列离散傅里叶变换（DFT）2.4.1 DFT的定义的定义nNnnxnx其他010)()(周期序列与有限长序列有着本质的联系,有限长序列的离散频域表示(DFT)可由周期序列的DF
13、S导出 设x(n)为有限长序列，长度为N 为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列 的一个周期，而把 看成x(n)的以N为周期的周期延拓)(nx)(nx第2章 离散傅里叶变换 nNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()(图2-80N1n)(nx N0N1n主值区间x(n)主值区间:的第一个周期n=0 到n=N-1)(nx 当r为不同值时,x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式也可写成 NnxNnxnx)()mod()(mod表示取余数 mNnn10n1N-1,m为整数 第2章 离散傅里叶变换 例如，是周期为N=9的序列，则有：)(nx9999(8)(89*0)(8)(1
14、3)(49*1)(4)(22)(49*2)(4)(1)(19*1)(8)xxxxxxxxxxxx)()()(nRnxnxN也可写成第2章 离散傅里叶变换 同样，频域的周期序列 与有限长序列X(k)也有类似的表示)(kX重写时域周期序列与有限长序列的表示nNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()()()()(nRnxnxN()()Nx nx n)()()()()(kRkXkXkXkXNN第2章 离散傅里叶变换 DFT与IDFT产生思路X(k)(kXx(n)(nxX(k)(kX)(nxx(n)DFSIDFS1010()()()1()()()NnkNnNnkNkX kDFS x nx n
15、Wx nIDFS X kX k WN1010()()()1()()()NnkNnNnkNkX kDFT x nx n Wx nIDFT X kX k WN0kN-1 0nN-1 第2章 离散傅里叶变换 离散离散傅里叶(DFT)实际上来自于离散傅里叶级数(DFS),只不过仅在时域与频域对周期序列各取一个周期而已 说明 在进行DFT时，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来考虑的。因此，凡是涉及DFT关系，都隐含有周期性意义 长度为N的有限长序列x(n)与周期序列 ，都有N个独立值，因此其信息量相等)(nx第2章 离散傅里叶变换 例例 已知序列x(n)=(n)，求它的N点DFT10()()NnkN
16、nX kn W 不论对(n)进行多少点DFT，结果都是矩形序列 单位脉冲序列的DFT：k=0,1,N-1 01NW10n(n)X(k)10 12N1k第2章 离散傅里叶变换 例例 x(n)=cos(n/6)是长度N=12的有限长序列，求它的N点DFT11120()cos6nknnX kW61,110,0,11kk k其他由DFT的定义式0 1 211x(n)n01X(k)11n第2章 离散傅里叶变换 2.4.2 DFT与序列与序列FT、ZT间的关系（间的关系（DFT的物理意义）的物理意义）设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为比较上面二式可得关系式1010()()()()()()0-
17、1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n WkN22()(),0-1()(),0-1jkNz ejkNX kX zkNX kX zkN第2章 离散傅里叶变换 2.4.2 DFT与序列与序列FT、ZT间的关系（间的关系（DFT的物理意义）的物理意义）22()(),0-1()(),0-1jkNz ejkNX kX zkNX kX zkN 结论（频域离散化）序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 X(k)为x(n)的傅里叶变换X(ej)在区间0,2上的N点等间隔采样 DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ej)在区间0,2上的采样间隔与采
18、样点数不同，因此DFT的变换结果不同第2章 离散傅里叶变换 图示DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系 jIm(z)o2NW1NW0NWk0)2(NNW)3(NNWRezoX(ej)X(k)时域采样理论实现了时域离散化，使得可在时域上进行数字处理DFT理论实现了频域离散化，因而开辟了用数字技术在频域处理信号的新途径第2章 离散傅里叶变换 例例 有限长序列x(n)为 01)(nx0n4 其余n 求N=5,10 点的DFTx(n)(nx(a)(b)(c)40nn(d)(kX50 1 012345678910 11k|X(ej)|5X(k)k01234O24x(n)104nn1)(nx0410 100
19、10 1053.241.2411.243.24k|X(k)|(a)(b)(c)X(k)是频谱的等间隔采样。210()()NjnkNnX kx n e问题：采样点之间的频谱如何得到？采样点K、数字角频率、模拟频率f的关系？第2章 离散傅里叶变换 2.5 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 以下讨论的序列都是N点有限长序列，用DFT表示N点DFTDFTx1(n)=X1(k)DFTx2(n)=X2(k)2.5.1 线性线性)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFTa,b为任意常数第2章 离散傅里叶变换 2.5.2 圆周移位（循环移位）圆周移位（循环移位）y(n)=x(n+m)NRN
20、(n)长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为 1.定义定义第2章 离散傅里叶变换 图示圆周（循环）移位过程(e)x(n)21n 0N1N2on 0N1N221n 0N2N1(f)(g)210 x(n)n0n)(nxNnxnx)2()2(0n)()2(nRnxNN0N1n(a)(b)(c)(d)N1N1N1(e)x(n)21n 0N1N2on 0N1N221n 0N2N1(f)(g)210 x(n)n0n)(nxNnxnx)2()2(0n)()2(nRnxNN0N1n(a)(b)(c)(d)N1N1N1(e)x(n)21n 0N1N2on 0N1N221n 0N2N1(f)(g)210 x
21、(n)n0n)(nxNnxnx)2()2(0n)()2(nRnxNN0N1n(a)(b)(c)(d)N1N1N1(e)x(n)21n 0N1N2on 0N1N221n 0N2N1(f)(g)210 x(n)n0n)(nxNnxnx)2()2(0n)()2(nRnxNN0N1n(a)(b)(c)(d)N1N1N1比较移位前后：x(n)排列前面的按照顺序移到后面即得到。(e)x(n)21n 0N1N2on 0N1N221n 0N2N1(f)(g)210 x(n)n0n)(nxNnxnx)2()2(0n)()2(nRnxNN0N1n(a)(b)(c)(d)N1N1N1第2章 离散傅里叶变换 2.时域
22、圆周移位定理时域圆周移位定理证证则圆周移位后的DFT为)()()()()(kXWnRmnxDFTnyDFTkYmkNNN)()()(nRmnxnyNN设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位)()()(kXWmnxDFSmnxDFSmkNN利用周期序列的移位性质加以证明 有限长序列的DFT就是周期序列DFS在频域中的主值序列,即()()()NX kX k Rk第2章 离散傅里叶变换 ()()()()NNNDFT x nmRnDFS x nm Rk)()()(kXWmnxDFSmnxDFSmkNN()()()NX kX k Rk()()mkNNWX k Rk()mkNWX k
23、第2章 离散傅里叶变换 3.频域圆周移位定理频域圆周移位定理频域有限长序列X(k)，长度N由于频域与时域的对偶关系，有如下性质则)()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN)()(nxDFTkX若第2章 离散傅里叶变换 2.5.3 圆周卷积圆周卷积若)()()(21kXkXkY则 10121021)()()()()()()()(NmNNNmNNnRmnxmxnRmnxmxkYIDFTny1122()()()()DFT x nX kDFT x nXk设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0nN-1），且有：上式所表示的运算称为x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积
24、第2章 离散傅里叶变换 222122212221(0)(1)(1)(0)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)(1)(1)xx Nxxyxxxxyx Nx Nxx Ny N 圆周卷积矩阵计算公式21()()()y nx nx nN1021)()()(NmNNnRmnxmx第2章 离散傅里叶变换 频域圆周卷积定理x1(n)，x2(n)皆为N点有限长序列)()()(21nxnxny若N)()(1)()()(1)()()(1)()(2111022101kXkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyDFTkYNNNlNNNl则 例题 已知x(n)=4,3,2,1,y(n)=4,3,0,
25、1,1;分别用图解法和矩阵法计算两序列的5点圆周卷积。21，27，18，14，10第2章 离散傅里叶变换 2.5.4 有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积 有限长序列存在两种形式的卷积：线性卷积和圆周卷积圆周卷积:计算速度快。在频域上相当于两序列的DFT乘积，DFT有快速算法FFT线性卷积：实际需要（LTI系统）能否实现线性卷积的快速计算？因此下面讨论两种卷积间的关系以及相等的条件第2章 离散傅里叶变换 两序列的线性卷积 1111212120()()()()()()()Nmmy nx nx nx m x nmx m x nm设x1(n)是N1点的有限长序列，x2(n)是
26、N2点的有限长序列例 N1=4的矩形序列x1(n)与N2=5的矩形序列x2(n)L1=N1+N2-1第2章 离散傅里叶变换 两序列的圆周卷积 假设进行L 点圆周卷积，(L maxN1,N2)将x1(n)与x2(n)补零，使之均成为长度为L的序列 两序列可做长度为L的圆周卷积102121)()()()()()(LmLLnRmnxmxnxnxnyL第2章 离散傅里叶变换 不同L 点的圆周卷积 两种卷积有相同结果的条件LN1+N2-1第2章 离散傅里叶变换 两种卷积间的关系)()()(1021nRmnxmxLLNm102121)()()()()()(LmLLnRmnxmxnxnxnyL)()()(1
27、021nRrLmnxmxLNmrrNmLnRrLmnxmx1021)()()()()()(21nRrLnxrLnxLr第2章 离散傅里叶变换)()()(1nRrLnynyLr圆周卷积与线性卷积关系 当LN1+N2-1时,有 x1(n)x2(n)=x1(n)*x2(n)L 即圆周卷积等于线性卷积圆周卷积为线性卷积以L为周期延拓后求和而得。y1(n)长度为N1+N2-1，只有当LN1+N2-1时，y1(n)的周期延拓才无混叠现象。第2章 离散傅里叶变换 两种卷积的DFT计算法(频域计算)两种卷积既可在时域直接计算,也可在频域中计算,当N很大时,在频域计算的速度快得多 DFT计算圆周卷积第2章 离散
28、傅里叶变换 两种卷积的DFT计算法(频域计算)DFT计算线性卷积补L N个零点L点DFT补L M个零点L点DFTL点IDFTy(n)h(n)x(n)第2章 离散傅里叶变换 例例 一个有限长序列为)5(2)()(nnnx（2）若序列y(n)的DFT为)()(1022kXekYkj式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。（1）计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换圆周移位性质()()()()mkNNNY kDFT x nmRnWX k10()()NnkNnX kx n W定义第2章 离散傅里叶变换（3）若10点序列y(n)的10点DFT是)()()(kWkXkY X(k)是
29、序列x(n)的10点DFT，W(k)是序列w(n)的10点DFT 01)(nw0n6 其他 求序列y(n)频域相乘，时域圆周卷积计算w(n)与 x(n)10点的圆周卷积计算方法：利用与线性卷积关系 圆周卷积的矩阵计算 圆周卷积的图解法题中线性卷积长度为67-1，所以10点的圆周卷积有混叠现象)()()(1nRrLnynyLr第2章 离散傅里叶变换 2.5.5 复共轭序列的复共轭序列的DFT证证 DFTx*(n)=X*(N-k)0kN-1 且 X(N)=X(0)设x*(n)为x(n)的共轭复序列，已知X(k)=DFTx(n)则 1()0()()NN k nNnXNkx n W1()0()NN k
30、 nNnx n W10()NknNnx n W()DFT x n122njnNNjnNNeeW由于 因为X(k)的隐含周期性，故有X(N)=X(0)(*)(*kXnNxDFT 用同样的方法可以证明 第2章 离散傅里叶变换 2.5.6 共轭对称性共轭对称性序列FT的对称性是关于坐标原点的纵坐标的对称性;有限长序列DFT也有类似的对称性，但是关于N/2 点的对称性 有限长共轭对称序列xep(n)和共轭反对称序列xop(n)定义(圆周共轭对称分量)(圆周共轭反对称分量)()()()(*nNxnxnNxnxopopepepnN-1 nN-1 当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n ，得到第2章 离散
31、傅里叶变换()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn 上式更清楚表明有限长序列的对称性是关于N/2 点的对称性共轭对称与共轭反对称序列示意图 第2章 离散傅里叶变换 任何有限长序列x(n)可表示成xep(n)和xop(n)之和，即 x(n)=xep(n)+xop(n)0nN-1)()(21)()()(21)(*nNxnxnxnNxnxnxopep式中 DFT的共轭对称性如果序列x(n)的DFT为X(k)，则 x(n)的实部与虚部(包括j)的DFT分别为X(k)的共轭对称分量与共轭反对称分量 x(n)共轭对称分量与共轭反对称分量的DFT分别为X(k)
32、的实部与虚部乘以j第2章 离散傅里叶变换 用公式表示为：()Re()()Im()epopDFT xnX kDFT xnjX k()()()()repiopDFT x nXkDFT jx nXk证明*1()()()2epDFT xnDFTx nx Nn*11()()22DFT x nDFT x Nn(复共轭序列的性质)*1()()Re()2X kXkX k同理可证()Im()opDFT xnjX k第2章 离散傅里叶变换 有限长实序列DFT的共轭对称性设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT x(n),有如下结论 X(k)共轭对称,即 X(k)=X*(N-k),0kN-1 如果 x(n)
33、=x(N-n),则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k)如果 x(n)=-x(N-n),则X(k)纯虚奇对称,即X(k)=-X(N-k)实际中经常要对实序列进行DFT，利用上述对称性质，可减少DFT运算量(只需计算一半数目的X(k)，从而提高运算效率第2章 离散傅里叶变换 利用共轭对称性，一个N点DFT同时运算两个不同实序列的N点DFTStep1:x1(n)和x2(n)为两个实序列，新序列 x(n)=x1(n)+jx2(n)Step2:X(k)=DFT x(n)=Xep(k)+Xop(k)X1(k)=DFT x1(n)=1/2 X(k)+X*(N-k)X2(k)=DFT x2(n)=-j1
34、/2 X(k)-X*(N-k)Step3:Xep(k)=DFT x1(n)=1/2 X(k)+X*(N-k)Xop(k)=DFT jx2(n)=1/2 X(k)-X*(N-k)2.6 实序列的实序列的DFT第2章 离散傅里叶变换 2.5.6 DFT形式下的帕塞伐定理形式下的帕塞伐定理 1*0()()Nnx n y n 序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的或 1010*)(*)(1)()(NkNnkYkXNnynx102102|)(|1|)(|NkNnkXNnx证11*001()()NNknNknYkx n WN*1010)1()NNnknNkx nY k WN111*00011()(
35、)()()NNNknNknnYkx n WX k YkNN第2章 离散傅里叶变换 已知序列例题：例题：),3()2(2)1(3)(4)(nnnnnx X(k)是x(n)的6点DFT。（1）若有限长序列y(n)的6点DFT是 求y(n)（2）若有限长序列w(n)的6点DFT等于X(k)的实部，求w(n)（3）若有限长序列q(n)的3点DFT满足：求q(n)。),()(46kXWkYk),(Re)(kXkW2,1,0),2()(kkXkQ第2章 离散傅里叶变换 2.6 频域采样理论频域采样理论 时域采样定理表示：一定条件下，可由时域离散采样信号恢复原连续信号；那么能否也可由频域离散采样恢复原信号？
36、其条件是什么？内插公式又是什么形式？设任意绝对可和非周期序列x(n)的Z变换为nnznxzX)()(收收敛域包括单位圆)在单位圆上对X(z)进行N点等距采样得到 1,1,0)()()(NkWnxzXkXnkNnWzkN第2章 离散傅里叶变换 下面讨论频率采样后，X(k)反变换xN(n)能否代表原序列x(n)？()()NxnIDFS X k X(k)反变换xN(n)与原序列x(n)的关系分析X(k)的周期延拓序列 的IDFS)(kX)(nxN110011()()NNnknkNNkkX k WX k WNN1,1,0)()()(NkWnxzXkXnkNnWzkN(定义)rNrNnxnx)()(得到
37、第2章 离散傅里叶变换 rNrNnxnx)()(进一步，将上式写成xN(n)与x(n)间的关系式()()()()()NNNrxnx n Rnx nrN Rn结论：X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的IDFT，为原非周期序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列第2章 离散傅里叶变换 显然如果序列x(n)长度为M，则只有当频域采样点数NM时，才有rNNNNnxnRrNnxnRnxnx)()()()()()(即由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。这就是频域采样定理 频域采样定理第2章 离散傅里叶变换 用频域采样X(k)来表示X(z)与频率响应X(ej)的内插公式
38、N个频域采样X(k)能不失真代表N点有限长序列x(n)，因此X(k)也能够完全地表达整个X(z)及频率响应X(ej)10)()(NnnznxzX10)(1)(NknkNWkXNnx11010()()()1(11)NkNkkkNNzzNX zX kWzX k 右式称为用X(k)表示X(z)的内插公式，k(z)称为内插函数。第2章 离散傅里叶变换 当 z=e j时,上式即为x(n)的傅里叶变换X(ej)的内插函数(公式)1110011()()()1)NNkNNkkkzzNWX zkX kzX(21100/)11()()()()1NNj NkjkkkNjeNeX eX kX k 频域采样理论及相关公式为FIR滤波器结构设计以及逼近FIR滤波器传递函数提供了一种有效途径第2章 离散傅里叶变换
