1、1第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）关于上次内容的问题：关于上次内容的问题：1.动力学的抽象模型是什么？动力学的抽象模型是什么？2.什么是质点运动微分方程？与牛二定律有何关系？适用范围是什么？什么是质点运动微分方程？与牛二定律有何关系？适用范围是什么？3.叙述你知道的动力学普遍定理（三大定理）。可解决任何动力学问题吗？叙述你知道的动力学普遍定理（三大定理）。可解决任何动力学问题吗？物理中主要针对质点和转动刚体而言物理中主要针对质点和转动刚体而言，而众多的问题是具有任意运动的物体，而众多的问题是具有任意运动的物体系的动力学问题，特别是含
2、平面运动物体的物体系问题。系的动力学问题，特别是含平面运动物体的物体系问题。Fam仅对质点仅对质点引入新概念，建立新理论引入新概念，建立新理论不仅适于质点，还适于质点系：不仅适于质点，还适于质点系：注：注：这种推导仅为方便和使理论系统化，力学史上并非如此顺序。事实这种推导仅为方便和使理论系统化，力学史上并非如此顺序。事实上，三大定理是单独发现的，且早于牛顿第二定律；上，三大定理是单独发现的，且早于牛顿第二定律；仅适于惯性参考系。仅适于惯性参考系。动能定理动能定理 动能动能 功功动量定理动量定理 动量动量 冲量（力）冲量（力）动量矩定理动量矩定理 动量矩动量矩 冲量矩（力矩）冲量矩（力矩）从不同
3、方面表从不同方面表示质点系示质点系“运运动动”强度的量强度的量从不同方面表从不同方面表示示“力力”作用作用强度的量强度的量研究方法研究方法：牛顿第二定律：牛顿第二定律 质点的普遍定理质点的普遍定理 质点系的普遍定理质点系的普遍定理2第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）动能定理：动能定理：动能动能2 动能动能1 功功问题：动能与功如何求？问题：动能与功如何求？对任意质点系和力（矩、偶）对任意质点系和力（矩、偶）本部分内容：本部分内容：12-1 动能动能 12-2 功功 12-3 动能定理动能定理（质点（质点质点系）质点系）12-4 功率功
4、率 功率方程功率方程（简介）（简介）12-5 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律（自学）（自学）动能动能：描述物体（整体）机械运动强度的量。：描述物体（整体）机械运动强度的量。以下一四提问。以下一四提问。一、质点一、质点二、质点系二、质点系三、平动刚体三、平动刚体四、转动刚体四、转动刚体221mvT 221iivmT221MvT 221zIT 3第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）Cvriv五、柯尼希定理五、柯尼希定理“动能的合成动能的合成”对任意质点系，选动系为随质心平动的坐标系，应用对任意质点系，选动系为随质心平动
5、的坐标系，应用速度合成定理，易证：速度合成定理，易证：222121riiCvmMvT相对动系（质心）相对动系（质心）之相对动能之相对动能质系质系动能动能随动系（质心）随动系（质心）平动动能平动动能+“绝对动能绝对动能”“牵连动能牵连动能”“相对动能相对动能”问题：对质点系任意一点问题：对质点系任意一点A，可写上述动能表达式吗？可写上述动能表达式吗？六、平面运动刚体六、平面运动刚体由上述定理，立即得：由上述定理，立即得：222121CCIMvTCCv质系动能质系动能 随质心平动动能随质心平动动能 相对质心之转动动能相对质心之转动动能可证，对瞬心可证，对瞬心C：221CIT 以上为求平面运动刚体动
6、能的两种方法。以上为求平面运动刚体动能的两种方法。C4第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）功功：力（力偶）在位移上的累积效应。：力（力偶）在位移上的累积效应。一、功的一般表达式（提问）一、功的一般表达式（提问）元功：元功：sFsFtvFrFWddcosdd功：功：21dMMrFW直角坐标系下：直角坐标系下：zZyYxXWddd21)ddd(MMzZyYxXW二、几种常见力的功（以下二、几种常见力的功（以下14提问。）提问。）1.常力：常力：cosFsW 2.重力：重力：)(21zzPW注：注：仅仅表示元功，仅仅表示元功，既非变分，也不一
7、定为既非变分，也不一定为全微分全微分W5第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）3.弹性力：弹性力：)(212221kW21、弹簧初、末时变形。弹簧初、末时变形。4.万有引力：万有引力：)11(12rrcMmW其中其中c为引力常数，为引力常数，为二星体质心间为二星体质心间初、末时距离。初、末时距离。21rr、5.摩擦力的功：摩擦力的功：讨论讨论：静滑动摩擦力作功吗？举例。静滑动摩擦力作功吗？举例。注：对扭转注：对扭转弹簧，亦如弹簧，亦如此。此。动滑动摩擦力作功吗？若是，恒为负吗？（如书动滑动摩擦力作功吗？若是，恒为负吗？（如书p214所说）
8、。举例。所说）。举例。va6第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）CCrddAF6.力偶与力矩的功：力偶与力矩的功：21dMW21)d(FmWO力偶：力偶：力矩：力矩：注注：力偶作用的刚体可在平面内作任意运动。：力偶作用的刚体可在平面内作任意运动。注注：仅限于定轴转动刚体。：仅限于定轴转动刚体。7.平面运动刚体上力的（元）功：平面运动刚体上力的（元）功：除了除了由定义来求功由定义来求功，利用，利用力的平移定理力的平移定理 或或点的运点的运动合成动合成，通常有两种方法常用：，通常有两种方法常用：C(1)将力向质心平移将力向质心平移d)(dC
9、FrFCFmW(2)将力向瞬心平移（仅对求元功较方便）将力向瞬心平移（仅对求元功较方便）d)(FCFmW7第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）三、力系的功三、力系的功功是标量，故功是标量，故iWWiWW四、质点系内力的功四、质点系内力的功提问：内力作功吗？提问：内力作功吗？)(d ABFWA当为刚体（或几何不变体系）时，内力的功当为刚体（或几何不变体系）时，内力的功为零。否则不为零，如系统中有弹簧时。为零。否则不为零，如系统中有弹簧时。8第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）五、约
10、束力的功五、约束力的功提问提问：约束力作功吗？：约束力作功吗？在一定意义下，约束力不作功，这给我们分析解决在一定意义下，约束力不作功，这给我们分析解决问题带来很大方便。问题带来很大方便。看一下吧：看一下吧：柔性体约束柔性体约束F光滑面约束光滑面约束固定铰链固定铰链A铰链约束铰链约束可动铰链可动铰链AANrd0dr中间铰链中间铰链链杆约束链杆约束AASrd固定端约束固定端约束0dr若限定柔性体约束为若限定柔性体约束为质点系内部约束质点系内部约束理想约束理想约束0NW9第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）一、质点的动能定理一、质点的动能定理
11、Fam牛二定律牛二定律FtvmddtFvmddtvFvvmddWmv)21(d2动能定理的微分形式动能定理的微分形式Wmvmv21222121动能定理的积分形式动能定理的积分形式(有限形式有限形式)二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理将质点系受力按将质点系受力按主动力主动力和和约束力约束力分，当为理想约束时，分，当为理想约束时，对上面二式，对上面二式求和，有求和，有0NWFWTd微分形式：微分形式：FWTT12积分形式：积分形式：问题：动能定理可求什么量？求几个？用何种方程？问题：动能定理可求什么量？求几个？用何种方程？主动力、位移、速主动力、位移、速度、加速度度、加速度解题步骤：解题步骤
12、：(一一)取研究对象取研究对象（一般为整体，且不去约束，即不取分离体）；（一般为整体，且不去约束，即不取分离体）；(二二)画图画图（受力图只画主动力，理想约束不做功；运动图）；（受力图只画主动力，理想约束不做功；运动图）；(三三)列解方程。列解方程。10第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）例例12-1 典型例题，详讲。典型例题，详讲。图示系统。均质滚子图示系统。均质滚子A、滑轮滑轮B重量和半径均重量和半径均为为Q和和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为角为，重物重量重物重量P。求滚子质心求滚子质心C的加速
13、度的加速度aC 。以下四个例题均非常好。以下四个例题均非常好。分析分析：考虑整体。动能定理有两种形式：积分式和微分式。考虑整体。动能定理有两种形式：积分式和微分式。积分式显含速度，若求加速度，需考虑从初始位置到任意位置，列方程对时积分式显含速度，若求加速度，需考虑从初始位置到任意位置，列方程对时间求导；间求导；微分式显含速度微分，两边除以微分式显含速度微分，两边除以dt，即得加速度，但应考虑在任意位置列方程。即得加速度，但应考虑在任意位置列方程。一般来讲，积分式容易理解，首先考虑用积分式求解。一般来讲，积分式容易理解，首先考虑用积分式求解。PQQ COAB11第三篇第三篇 动力学动力学 第第1
14、2章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）解解：设系统从初始到任意位置，重物上：设系统从初始到任意位置，重物上升升s。画出所有主动力和相关运动量，如画出所有主动力和相关运动量，如图。图。设设初始动能：初始动能：T0=0任意位置动能：任意位置动能：PQQv avCaC ss COAB222222222212121212121CCABPvgQPrgQvgQrgQvgPTTTT所有主动力做功：所有主动力做功：sPQWF)sin(FWTT0tsPQtvvgQPCCdd)sin(0dd222sPQvgQPC)sin(0222对对t 求导：求导：12第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章
15、章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）CCCvPQavgQP)sin(2gQPPQaC2sin另解（微分式）：考虑系统在任意位：考虑系统在任意位置，系统有微小位移置，系统有微小位移ds，画出所有主画出所有主动力和相关运动量，如图。动力和相关运动量，如图。微分形式动能定理：微分形式动能定理：FWTd(1)任意位置动能：任意位置动能：222222222212121212121CCABPvgQPrgQvgQrgQvgPTTTTCCvvgQPTd2d所有主动力做元功：所有主动力做元功：sPQWFd)sin(PQQv avCaC dsds COAB 13第三篇第三篇 动力学动力学 第第
16、12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）代入代入(1)式，得式，得sPQvvgQPCCd)sin(d22两边除以两边除以dt，得，得CCCvPQavgQP)sin(22gQPPQaC2sin总结：1.应用积分式动能定理求加速度时，需要考虑从初始位置到任意位置这一应用积分式动能定理求加速度时，需要考虑从初始位置到任意位置这一有限过程（大过程）；有限过程（大过程）；2.应用微分式动能定理求加速度时，需要在任意位置考虑一无限小过程应用微分式动能定理求加速度时，需要在任意位置考虑一无限小过程（小过程），其中（小过程），其中dT由对动能由对动能T求微分得到。求微分得到。14第三篇第
17、三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）例例12-2 需用到较多运动分析，稍难。需用到较多运动分析，稍难。图示椭圆机构在铅直面内运动。图示椭圆机构在铅直面内运动。OC、AB为均质杆，为均质杆，OC=AC=BC=l，OC重重P，AB重重2P，AB受受一常力偶一常力偶M，在图示位置，在图示位置，=30，系统由静止开始运动，求，系统由静止开始运动，求当当A运动到运动到O时时A的速度的速度vA。滑块滑块质量不计，质量不计，C为铰链为铰链。ABOMCP2P CABvCO分析分析：本题求速度，显然用动能定理的积本题求速度，显然用动能定理的积分形式，考虑从初时位
18、置（分形式，考虑从初时位置（=30）到末时位置（）到末时位置（=90）。）。解：设系统从初时到末时位置：设系统从初时到末时位置。画出所有主动力和相关运动量，画出所有主动力和相关运动量，如图。如图。ABOMCP2P OC ABCABvA AB OCvCO初时动能：初时动能：T1=015第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）ABOMCP2P OC ABCABvA AB OCvCO末时动能：末时动能：2222222121212213121ABCOCABOClgPvgPlgPTTT由由OC、AB方位角相等，知方位角相等，知ABOC由由B点运动规律
19、知，点运动规律知，B在最高点时速度为在最高点时速度为0，即，即AB铅直时铅直时B为瞬心。则为瞬心。则lvlvAC2,则则系统在末时动能：系统在末时动能：2222222283212121)(2213121lgPlgPlgPlgPT16第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）ABOMCP2P OC AB所有主动力做功：所有主动力做功：由由动能定理动能定理得得PlMPlPlMWF453)30sin1(2)30sin1(23FWTT12PlMlgP45308322gPPlMl30861gPPlMlvA308312CABvA AB OCvCO17第三
20、篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）例例12-3 典型例题，亦用到较多运动分析，较难，详讲。典型例题，亦用到较多运动分析，较难，详讲。均质细杆均质细杆AB长长l=1.0m，重，重Q=30N，上端靠上端靠在光滑铅直面上，下端以铰链在光滑铅直面上，下端以铰链A和均质圆柱和均质圆柱中心相连，圆柱重中心相连，圆柱重P=20N，半径半径R=0.4m，沿水平面纯滚动。（沿水平面纯滚动。（1）当）当 =45，若系统若系统由静止开始运动，求此时由静止开始运动，求此时A点的加速度；（点的加速度；（2）在该位置，若在该位置，若A点以速度点以速度vA=1.0m/
21、s向左运动，向左运动，求该瞬时求该瞬时A点的加速度。点的加速度。分析：本题求加速度，但与前面题目不同是，求初瞬时（本题求加速度，但与前面题目不同是，求初瞬时（特定位置特定位置）的加速度。）的加速度。能否在此位置应用微分形式的动能定理？能否在此位置应用微分形式的动能定理？事实上，应用两种形式的动能定理均可以，但都要先求任意位置（事实上，应用两种形式的动能定理均可以，但都要先求任意位置（）的加）的加速度，再求初瞬时加速度（速度，再求初瞬时加速度（将将 =45代入代入）。）。书上使用微分形式动能定理，这里应用积分式求解。书上使用微分形式动能定理，这里应用积分式求解。18第三篇第三篇 动力学动力学 第
22、第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）解解：(1)设系统从初始设系统从初始 =45到任意位置到任意位置 。画画出所有主动力和相关运动量，如图。出所有主动力和相关运动量，如图。初始动能：初始动能：T0=0任意位置动能：（任意位置动能：（H为杆瞬心，为杆瞬心，D为为滚子瞬心）滚子瞬心）对对杆：杆：A222121ADABHAABIITTT(a)而而222312121lgQlgQlgQIH2222321RgPRgPRgPIDsinlvAHvAAAB对滚子：对滚子：RvAA代入代入(a)式得：式得：2243sin61AvgPgQT19第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动
23、力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）主动力只有主动力只有Q做功：做功：)sin22(2)sin245sin2(QlllQWFFWTT0对对t求导，并注意求导，并注意 A(b)动能定理：动能定理：)sin22(2043sin6122QlvgPgQAsinlvAAB得得sincos2sincos3123sin31242QvglQagPgQAA(c)将将 =45和和vA=0代入上式，得代入上式，得2m/s94.2103gaA20第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）例例12-4 用动能定理建振动方程。用动能定理建振动方程。图示系统
24、中，物块图示系统中，物块A重重P，均质圆轮均质圆轮B重重Q，半径为半径为R，沿水平面纯滚动，弹簧常数为沿水平面纯滚动，弹簧常数为k，初位置初位置y=0时，弹簧为原长，系统由时，弹簧为原长，系统由静止开始运动，滑轮静止开始运动，滑轮D质量不计，绳不可质量不计，绳不可伸长。试建立物块伸长。试建立物块A的运动微分方程，并的运动微分方程，并求其运动规律。求其运动规律。(2)将将 =45和和vA=1 m/s代入代入(c)式，得式，得2s/m605.249)243(gQPQaA分析：建立物块建立物块A的运动微分方程，即写关于的运动微分方程，即写关于y的微分方程，即求物块的微分方程，即求物块A的加速度。的加
25、速度。两种形式的动能定理应该均可用。但此题需求弹簧力做功。两种形式的动能定理应该均可用。但此题需求弹簧力做功。21第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）解：（积分式）设系统从初始到任意位置（积分式）设系统从初始到任意位置。建立建立坐标系，并画出所有主动力和相关运动量，如图。坐标系，并画出所有主动力和相关运动量，如图。初始动能：初始动能：T0=0任意位置动能：任意位置动能：222221212121BBABARgQvgQvgPTTT由运动关系：由运动关系：yBaARvRvvvABBAB2,21则：则：222228321412121412121
26、AAAAvQPgRvRgQvgQvgPT主动力做功：（注意主动力做功：（注意yB=y)2281)0(21kyPyykPyWBF22第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）yBFWTT0动能定理：动能定理：228108321kyPyvQPgA对对t求导，并注意求导，并注意yvAAAAyvkPvyvQPg281028321 ykPQPkgy4382 通常再写成标准形式：通常再写成标准形式：04382kPyQPkgy 并作坐标变换：并作坐标变换：kPyx4即标准的无阻尼振动微分方程。即标准的无阻尼振动微分方程。x为为从静平衡位置开始的坐标，固有频
27、率：从静平衡位置开始的坐标，固有频率：QPkg38200382xQPkgx (1)请你在请你在图中标图中标出出x23yBaAdyBdy第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）方程方程(1)的通解为简谐运动：的通解为简谐运动：)sin(0tAxA为振幅；为振幅；为初相位角。二者与初始条件有关。为初相位角。二者与初始条件有关。(0t+)为相位角。为相位角。以以y坐标表示的运动规律：坐标表示的运动规律：kPtAkPxy4)sin(40另解：（微分式）系统在任意位置（微分式）系统在任意位置。建立坐标建立坐标系，并画出所有主动力和相关运动量，如图。系
28、，并画出所有主动力和相关运动量，如图。任意位置动能：任意位置动能：22222832121212121ABBABAvQPgRgQvgQvgPTTTAAvvQPgTd2831d24第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）主动力的元功：（注意主动力的元功：（注意dyB=dy)ykyPykyyPWBBFd41dd注意弹性力的功注意弹性力的功微分形式动能定理：微分形式动能定理：FWTd(1)ykyPvvQPgAAd41d2831两边除以两边除以dt，注意注意 ，得，得yvAykPQPkgy4382 作坐标变换：作坐标变换：kPyx40382xQPkg
29、x (2)通解：通解：)sin(0tAx以以y坐标表示的运动规律：坐标表示的运动规律：kPtAkPxy4)sin(40QPkg3820式中式中作业：作业：12-15,16，19，21yBaAdyBdy25第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）功率方程实际是动能定理（微分形式）用功率表示的另一形式。主要用于计功率方程实际是动能定理（微分形式）用功率表示的另一形式。主要用于计算机械效率，一般不直接用于求解普通动力学问题。算机械效率，一般不直接用于求解普通动力学问题。一、功率一、功率二、功率方程二、功率方程tWNdvFvFN无用有用入WWWTd
30、无用有用入NNNtTdd动能定理动能定理功率方程功率方程定义：定义：对力：对力：MN对力偶：对力偶：26第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）物理中讲述较多，故略讲。物理中讲述较多，故略讲。一、势力场一、势力场力场力场质点在空间任意位置都受到一个大小、方向确定的力作用，该空间称质点在空间任意位置都受到一个大小、方向确定的力作用，该空间称为为力场力场。势力场或保守力场势力场或保守力场质点在力场中运动时，力对质点所作的功仅与起始位置质点在力场中运动时，力对质点所作的功仅与起始位置有关，而与路径无关，这样的力场称为有关，而与路径无关，这样的力场
31、称为势力场势力场或或保守力场保守力场；其力称为；其力称为有势力有势力或或势力势力或或保守力保守力；势力场中的振动系统称为；势力场中的振动系统称为保守系统保守系统。势力场的性质：势力场的性质：0W提问提问：常见的保守力场有哪些？：常见的保守力场有哪些？27第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）二、势能二、势能 势能函数势能函数在势力场中，质点由某一位置在势力场中，质点由某一位置M 运动到选定的参考点运动到选定的参考点M0（0势能位置）的过程势能位置）的过程中，有势力所作的功称为质点在中，有势力所作的功称为质点在M 位置的位置的势能势能：00
32、ddddMMMMzZyYxXrFV注意势能为从某点注意势能为从某点M到参考点到参考点M0势力所作的功。如果选定势力所作的功。如果选定M0为起始点，为起始点，M为终为终点，则点，则应用动能定理求势力做功，与应用机械能守恒求势能时，二者相差一负应用动能定理求势力做功，与应用机械能守恒求势能时，二者相差一负号号。如弹性力场：。如弹性力场：在在动能定理动能定理 中求弹性力的功：中求弹性力的功：)(2220kWF)(2202kV在在机械能守恒定律机械能守恒定律 中求势能：中求势能：由于势能仅与质点的位置有关，故是质点坐标的单值连续函数，故又称为由于势能仅与质点的位置有关，故是质点坐标的单值连续函数，故又
33、称为势势能函数能函数（势函数势函数），记为），记为V(x,y,z)。易知势力与势能的关系：易知势力与势能的关系：zVZyVYxVX,28第三篇第三篇 动力学动力学 第第12章章 动力学普遍定理（动能定理）动力学普遍定理（动能定理）下次课预习：下次课预习：动量定理、质心运动定理动量定理、质心运动定理三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律动能定理的另外形式动能定理的另外形式例例12-1 典型例题典型例题图示系统。均质滚子图示系统。均质滚子A、滑轮滑轮B重量和半径均重量和半径均为为Q和和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为角为，重物重量重物重量P。求滚子质心求滚子质心C的加速度的加速度aC 。PQQ COAB用机械能守恒定律重新求解例用机械能守恒定律重新求解例12-1。（自己练习）。（自己练习）
