1、方差分析-多个样本均数比较的假设检验1.基本概念 t检验解决了推断两个总体均数是否相等的问题，但实际工作中还会遇到需要推断多个总体均数是否相等的问题。如：Ex1 为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响，将18只大鼠随机分到甲、乙、丙三个组，每组6只，分别在地面办公楼、煤碳仓库和矿井下染尘，12周后测量大鼠的全肺湿重，数据见下表，问不同环境下大鼠全肺湿重有无差别？返返回回1甲组乙组丙组样本观测值4.24.55.63.34.43.63.34.24.7 本例的问题是，要比较不同环境下大鼠的全肺湿重有无差别，即需要对下列假设作出推断：H0：1=2=3 三种不同环境对大鼠的全肺湿重无影响2ex2 为研究克拉
2、霉素的抑菌效果，对28个短小芽孢杆菌平板依据菌株的来源不同分成了7个区组，每组4个平板用随机的方式分配给标准药物高剂量组(SH)、标准药物低剂量组(SL)，以及克拉霉素高剂量组(TH)、克拉霉素低剂量组(TL)。给予不同的处理后，观察抑菌圈的直径，结果见下表，问（1）4种处理效果是否不同？（2）不同菌源之间抑菌圈的直径大小是否不同？3本例有两问，需要对如下两个假设作出推断：H0：SL=SH=TL=TH 4种处理效果相同1.H0：1=2=7 菌源对抑菌圈的直径大小没有影响区组SLSHTLTH118.0219.4118.0019.4618.72218.1220.2018.9120.3819.403
3、18.0919.5618.2119.6418.88418.3019.4118.2419.5018.86518.2619.5918.1119.5618.88618.0220.1218.1319.6018.97718.2319.9418.0619.5418.94 这两个例子都涉及到多个均数的比较问题。为了解决这类问题，我们先复习一下几个相关的概念：试验指标：试验指标：要考察的指标称为试验指标-例1为全肺 湿重，例2为抑菌圈的直径；因素：因素：影响试验指标的条件称为因素因素-例1为组别，例2为药物（及剂量）、菌株来源；水平：水平：因素所处的状态称为该因素的水平-例1组别 这个因素有3个不同的水平；例
4、2药物（及剂量）因素有4个水平，菌株来源有7个水平。在一项试验中，如果影响试验指标的因素只有一个，则称该试验为单因素试验单因素试验(例1)；如果影响试验指标的因素有多个，则称该试验为多因素试验多因素试验(例2)。52.完全随机设计的方差分析（单因素试验）完全随机设计又称为成组设计，即将受试对象随机分配到处理因素的不同水平组中，比较处理因素各个水平组间均数有无显著差别。这种设计只有一个处理因素，故称为单因素试验。现在回到例1的问题：我们在因素(组别)所处的每一水平下进行了独立试验，其结果是一随机变量。如果将因素的每一水平分别视为一个总体，各总体的均值分别为1、2、3，则表中数据可视为来自三个不同
5、总体的样本值。于是，例1的问题即为检验如下的假设：H0:1=2=3 H1:1、2、3不全相等67水平A1A2As样本观测值x11x12x1sx21x22x2s样本总和T1T2Ts样本均值总体均值1x2xsx1完全随机设计（单因素）多个均数比较的资料11nx22nxsn sx2s 一般地，对于单因素试验，假设因素A有s个水平：A1，A2，As。在水平Aj(j=1,2,s)进行nj次独立试验，得到如下的试验结果：8 假定各水平Aj均为正态总体N(j,2),方差分析的任务是对假设 H0：1=2=s进行检验。当s=2 即只有两个总体时，我们采用的是t检验，所用的检验统计量为：121212 2XXXXt
6、nnS这时，考察的是两个样本均值之间的差异。但对于多个总体的情形，我们需要分析样本数据中的变异，即对所有数据的离均差平方和进行分解。为此，考虑：9水平A1A2As样本观测值x11x12x1sx21x22x2s样本总和T1T2Ts样本均值总体均值1x2xsx1完全随机设计（单因素）多个均数比较的资料11nx22nxsn sx2s111jnsijjixxn11jnjijijxxn211()jnsijjiSSxx总总平方和（总变差）总均值各水平的均值10可将总平方和SS总分解为：SSSSSS总组内组间其中：11水平A1A2As样本观测值x11x12x1sx21x22x2s样本总和T1T2Ts样本均值
7、总体均值1x2xsx1完全随机设计（单因素）多个均数比较的资料11nx22nxsn sx2s211()jnsijjjiSSxx组内反映了各水平组内每个样本观察值与其样本均数之间的差异，故SS组内称为组内平方和(又称为误差平方和)，其自由度为n-s；1221()sjjjSSn xx组间水平A1A2As样本观测值x11x12x1sx21x22x2s样本总和T1T2Ts样本均值总体均值1x2xsx1完全随机设计（单因素）多个均数比较的资料11nx22nxsn sx2s反映了各水平下的样本均值与全部观测数据的总平均值之间的差异，即各水平之间的差异，故称SS组间为组间平方和(又称为因素A的效应平方和)其
8、自由度为s-1。13 如果假设H0：1=2=s成立，即各总体完全相同，这时，组间平方和SS组间反映的是抽样误差，它不应该很大。反之，SS组间若很大，不能用抽样误差来解释，则可认为H0不成立。根据平方和分解式：SSSSSS总组内组间我们来分析一下如下的统计量：(1)()SSsMSFSSnsMS组间组间组内组内MS组间 称为组间均方MS组内 称为组内均方 如果F值远大于1，则说明SS组间很大，SS组内很小，即SS总主要是由各水平组之间的差异引起的，即认为假设H0不成立；14 可以证明，如上定义的统计量 FF（n-s,s-1）,故可利用这个统计量来对H0进行检验。如果F值接近于1，则说明SS组间与S
9、S组内较为接近，而SS组内反映的是随机误差，SS组间是由各水平之间的差异与随机误差两部分构成的，现在SS组间与SS组内很接近，即说明SS组间主要由随机误差构成，即水平之间的差异很小，因此没有理由认为H0不成立。(1)()SSsMSFSSnsMS组间组间组内组内156.56282.52784.0350SSSSSS组内总组间下面将例完整地做一遍。1）作假设H0：1=2=3 作业环境不影响大鼠全肺湿重。确定检验水准0.052）为计算F值，先计算出相关的统计量的值21()2.5278sjjjSSnxx组间211()6.5628jnsijjiSSxx总164.03500.269183SSMSns组内组内
10、2.52781.26413 1SSMSs组间组间1.2644.700.269MSFMS组间组内3)将算得的数据及相应统计量的自由度填入下面的方差分析表：17方差分析表变异来源平方和SS自由度df均方MSF值P值组间2.52821.2644.70 0.05组内4.035150.269总6.563174)查F界值表，得 F0.05(2,15)3.68 4.70=F从而知 P 0.05于是拒绝H0，即认为不同粉尘环境影响大鼠的全肺湿重。183.随机区组设计资料的方差分析 随机区组设计又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。其设计方法是按两个因素分组，一个是区组因素，一个是处理因素。具体做法是：按实验对象
11、的自然属性或对实验结果有影响的非研究因素设置区组，先将具有某种共同属性的实验对象分配到同一个区组内，再将各区组内的实验对象随机分配到各个不同的处理组中，每个实验对象接受一种处理，各处理组的实验对象数量相等。如ex219ex2 为研究克拉霉素的抑菌效果，对28个短小芽孢杆菌平板依据菌株的来源不同分成了7个区组，每组4个平板用随机的方式分配给标准药物高剂量组(SH)、标准药物低剂量组(SL)，以及克拉霉素高剂量组(TH)、克拉霉素低剂量组(TL)。给予不同的处理后，观察抑菌圈的直径，结果见下表，问（1）4种处理效果是否不同？（2）不同菌源之间抑菌圈的直径大小是否不同？20本例有两问，需要对如下两个
12、假设作出推断：H0：SL=SH=TL=TH 4种处理效果相同1.H0：1=2=7 菌源对抑菌圈的直径大小没有影响区组SLSHTLTH118.0219.4118.0019.4618.72218.1220.2018.9120.3819.40318.0919.5618.2119.6418.88418.3019.4118.2419.5018.86518.2619.5918.1119.5618.88618.0220.1218.1319.6018.97718.2319.9418.0619.5418.94随机区组的试验结果区组序号处理因素区组合计样本均数总体均数1组2组g组1x11x12x1gB112x21
13、x22x2gB22nxn1xn2xngBnn处理组合计T1T2Tg样本均数总体均数12gnx1x2xgx1x2x 一般地，随机区组设计的试验结果见下表：22 假定处理组各水平Aj均为正态总体N(j,2),区组各水平Bk均为正态总体N(k,2),方差分析的任务是：对假设：H0：1=2=g H0：1=2=n进行检验。与完全随机设计的情形类似，我们将总平方和分解为：+SSSSSSSS处理组区组总误差2321()处理组gjjjSSn xx SS处理组表示各处理组的样本均值与全部观测数据的总平均值之间的差异，这种差异是由不同处理组及随机误差所引起的，故称SS处理组为处理组间平方和(又称为处理因素的效应平
14、方和)其自由度为g-1。其中21()区组niiiSSn xx SS区组表示各区组的样本均值与全部观测数据的总平均值之间的差异，这种差异是由不同区组及随机误差所引起的，故称SS区组为区组间平方和(又称为区组因素的效应平方和)其自由度为n-1。v=g-1v=n-124 SS误差表示处理和区组两个因素各水平组内每个样本观察值与其样本均数之间的差异，故SS误差称为误差平方和，其自由度为(g-1)(n-1)。于是，得检验统计量(1)(1)(1)SSgMSFSSgnMS处理处理误差误差(1)(1)(1)SSnMSFSSgnMS区组区组误差误差-处理区组总误差SSSSSSSSv=(g-1)(n-1)25例2
15、即是一个随机区组的方差分析问题。1）作假设 本例有两问，需要对如下两个假设作出推断：H0：SL=SH=TL=TH 4种处理效果相同H0：1=2=7 菌源对抑菌圈的直径大小没有影响 检验水准：=0.052）计算相应的统计量，填入方差分析表中变异来源平方和SS自由度df均方MSF值P值处理16.117535.3725116.895 0.01区组1.095260.18253.970.05误差0.8273180.04596总18.04273）确定P值，作出推断结论查F界值表，得F0.01(3,18)=5.09116.859=F处理 F0.05(6,18)=2.663.97=F区组 从而对于处理组，按0
16、.01的检验水准拒绝H0，可认为4种处理效果不全相同。对于区组，按0.05的检验水准拒绝H0，可认为菌源对抑菌圈的直径大小有影响。方差分析的应用条件：1).各观察值相互独立，且服从正态分布；2).各组资料总体方差相等。27注1：对于两种不同设计的平方和分解，有：完全随机设计：SS总SS处理SS组内 随机区组设计：SS总SS处理SS区组SS误差 由此可见，随机区组设计的优点是：从组内变异中分离出区组变异，使误差变异减小，因而更容易发现处理组间的差别，提高统计效率。每个区组内的若干个受试对象间具有良好的同质性，组间的均衡性较强。注2：当g=2时，完全随机设计方差分析的结果与两样本均数比较的t 检验
17、等价，理论上有 t 2=F。当g=2时，随机区组设计方差分析与配对设计资料的t 检验等价，理论上有 t 2=F。284.拉丁方设计资料的方差分析 由g个拉丁字母排成的g*g方阵，方阵的每行每列中每个字母都只出现一次，这样的方阵称为g阶拉丁方。如：DBCAACDBBDACCABDABCDBCDACDABDABC基本拉丁方拉丁方随机调换某两列（行）29 利用g阶拉丁方可按行、列、拉丁字母分别安排3个因素，每个因素有g个水平。如4阶拉丁方可安排3个因素：一二三四1DBCA2ACDB3BDAC4CABD 30Ex3 研究A、B、C、D四种食品以及甲、乙、丙、丁四种加工方法对小白鼠体重增加的影响。拟用4
18、窝小白鼠，每窝4只，每只小白鼠随机喂养一种食品、随机采用一种加工方法，8周后观察小白鼠的体重增加情况。实验结果如下表。问食品种类是否影响小白鼠体重的增加？食品加工方法是否影响小白鼠体重的增加？不同窝别的小白鼠体重增加是否不同？窝别甲乙丙丁1D80B70C51A482A47C75D78B453B48D80A47C524C46A81B49D7731本例有三问，需要对如下三个假设作出推断：H0：A=B=C=D 四种食品对体重增加作用相同H0：1=2=3=4 窝别对体重增加无影响1.H0：甲=乙=丙=丁 食品加工方法对体重增加无影响 与完全随机设计的情形类似，我们将总平方和（总变异）分解为：+SSSS
19、SSSSSS处理组列总行误差其中 SS处理组表示各处理组的样本均值与全部观测数据的总平均值之间的差异，这种差异是由不同处理组及随机误差所引起的，故称SS处理组为处理组间平方和(又称为处理因素的效应平方和)其自由度为g-1。SS行表示行因素各水平组的样本均值与全部观测数据的总平均值之间的差异，其自由度为g-1。SS列表示列因素各水平组的样本均值与全部观测数据的总平均值之间的差异，其自由度为g-1。SS误差表示各因素各水平组内每个样本观察值与其样本均数之间的差异，其自由度为(g-1)(g-2)。于是，得检验统计量(1)(1)(2)SSgMSFSSggMS处理处理误差误差(1)(1)(2)SSgMSFSSggMS行行误差误差(1)(1)(2)SSgMSFSSggMS列列误差误差33计算相应的统计量，填入方差分析表中变异来源平方和SS自由度df 均方MSF值P值处理1726.25 3575.4179.85 0.05列区组1304.2 3434.7507.44 0.05误差350.50 6 58.417总3479.75 15根据P值，作出推断：1.拒绝H0，认为食品种类会影响大鼠体重增加；2.不拒绝H0，不能认为窝别可影响大鼠体重增加；3.拒绝H0，认为食品加工方法会影响大鼠体重增加。34
