1、 平方差公式第十四章 整式的乘法与因式分解多项式与多项式是如何相乘的？（x 3)(x5）=x25x 3x 15=x28x 15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn面积变了吗？a米米5米米5米米a米米(a-5)米米平方差公式（1）（）（x 1)(x1）；）；（2）（m 2)(m2）；）；（3）（2m 1)(2m1）；）；（4）（5y z)(5yz）.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：算一算：看谁算得又快又准.x2 12m222(2m)2 12(5y)2 z2想一想：想一想：这些计算结果有什么特点？(a+b)(ab)=a2b2 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两
2、数的平方差.这个公式叫做（乘法的）平方差公式.1.（a b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2这里的两数可以是两个也可以是两个等 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为相同为a 相反为相反为b，-b适当交换适当交换合理加括号合理加括号平方差公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p=a，q=-b的特殊形式.练一练：练一练：a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2 计算：(1)(3x2)(3x2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).(2)原式(-x)2-(2y)2x2-4y2.解：（1）原式=(3x)222=9x24.应用平方差公式计算时，应注意以下几点：(
3、1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式例1【练习练习】利用平方差公式计算：(1)(3x5)(3x5)；(2)(2ab)(b2a)；(3)(7m8n)(8n7m)解：(1)原式=(3x)2529x225.(2)原式=(2a)2b24a2b2.(3)原式=(7m)2(8n)249m264n2.计算：(1)(y+2)(y-2)(y-1)(y+5);(2)10298.解：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)（2）10298=y2-4-y2-4y+5=-4
4、y+1.=y2-22-(y2+4y-5)=9996.=（1002）(1002)=1002-22=10 000 4通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.例2【练习练习】计算：(1)5149;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).解：(1)原式=（501）(501)=502-12=2500 1=2499.(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.先化简，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2y x)，其中x1，y2.原式51252215.解：原式4x2y2
5、(4y2x2)4x2y24y2x25x25y2.当x1，y2时，例3 对于任意的正整数n，整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值一定是10的整数倍解：原式9n21(9n2)10n210.(10n210)10=n2-1，n为正整数，n2-1为整数.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系例41.下列运算中，可用平方差公式计算的是()A(xy)(xy)B(xy)(xy)C(xy)(yx)D(xy)(xy)C2.计算（2x+1）（2x-1）等于（）A4x2-1 B2x2-
6、1 C4x-1 D4x2+1 A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的 面积，差是_10（1）(a+3b)(a-3b)；=4a29.=4x4y2.解：原式=(2a+3)(2a-3)=a29b2.=(2a)232 解：原式=(-2x2)2y2 解：原式=a2(3b)2（2）(3+2a)(3+2a)；（3）(2x2y)(2x2+y).4.利用平方差公式计算：5.计算：20172 20162018.解：20172 20162018=20172 (20171)(2017+1)=20172（2017212)=20172 20172+12=1.6.利用平方
7、差公式计算：（1）（）（a-2)(a+2)(a2+4)；解：原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.7.先化简，再求值：(x1)(x1)x2(1x)x3，其中x2.解：原式=x21x2x3x3=2x21.将x2代入上式，得原式=222-1=7.8.已知x1，计算：(1x)(1x)1x2，(1x)(1 xx2)1x3，(1x)(1xx2x3)1x4.(1)观察以上各式并猜想：(1x)(1xx2xn)_；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：(12)(1222232425)_；222232n_(n为正整数)；(x1)(x99x98x97x2x1)_；1xn+1-632n12x1001(3)通过以上规律请你进行下面的探索：(ab)(ab)_；(ab)(a2abb2)_；(ab)(a3a2bab2b3)_a2b2a3b3a4b4平 方 差公式内 容注 意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.字母表示：（a+b)(a-b)=a2-b2应用时，紧紧抓住“一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
