1、10-1 10-1 引言引言10-2 10-2 梁变形的基本方程梁变形的基本方程10-3 10-3 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形10-4 10-4 梁的刚度校核梁的刚度校核提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施10-5 10-5 简单静不定梁简单静不定梁第十章第十章 弯曲变形弯曲变形 在梁的设计过程中，我们不仅要研究载荷引起在梁的设计过程中，我们不仅要研究载荷引起的应力，还要研究载荷引起的弯曲变形。的应力，还要研究载荷引起的弯曲变形。一、工程中的弯曲变形问题一、工程中的弯曲变形问题 弯曲变形的计算是结构分析和设计的重要内容，弯曲变形的计算是结构分析和设计的重要内容，计算弯曲变形是静定
2、结构分析的基本要素，有时要计算弯曲变形是静定结构分析的基本要素，有时要校验弯曲变形是否在容许极限内。校验弯曲变形是否在容许极限内。10-1 10-1 引引 言言梁式起重机的变形梁式起重机的变形钻床摇臂的变形钻床摇臂的变形齿轮轴的变形齿轮轴的变形卡车弹簧片的变形可以较大。卡车弹簧片的变形可以较大。变形计算的目的：变形计算的目的：（1 1）验算梁的刚度，确保梁在使用过程中不致发）验算梁的刚度，确保梁在使用过程中不致发生过大的变形。生过大的变形。（2 2）为超静定梁的计算打下基础。）为超静定梁的计算打下基础。在计算超静定梁的在计算超静定梁的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑梁的位移反力和
3、内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑梁的位移条件，根据变形协调条件建立补充方程。这样，位移的计算是条件，根据变形协调条件建立补充方程。这样，位移的计算是求解超静定梁时必然会遇到的问题。求解超静定梁时必然会遇到的问题。那么，怎么样来度量梁的弯曲变形那么，怎么样来度量梁的弯曲变形?梁的变形位移梁的变形位移挠度及转角挠度及转角变形后的轴线称作变形后的轴线称作挠曲线挠曲线AB挠度挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的位移，：横截面形心在垂直于轴线方向的位移，用用w表示（表示（y、f、v）。）。wc转角转角：横截面绕中性轴转过的角度，：横截面绕中性轴转过的角度，用用 表示。表示。讨论：讨论：AB是轴线，
4、就是中性层，既不伸长也不缩短，是轴线，就是中性层，既不伸长也不缩短，变形后变形后C点在点在 x方向也有位移，但在小变形条件下，方向也有位移，但在小变形条件下，挠曲线是一条很平坦的曲线，挠曲线是一条很平坦的曲线，x方向的位移相对挠度方向的位移相对挠度很小，所以略去不计。很小，所以略去不计。挠度挠度w就是轴线上就是轴线上 x的函数的函数挠曲线方程挠曲线方程 )x(fw讨论：讨论：据平面截面假设：梁变形后，横截面仍保持为平据平面截面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面并与挠曲线正交，作面并与挠曲线正交，作C点的切线，则此切线与点的切线，则此切线与x轴的轴的夹角就夹角就等于等于C截面截面的转角的转角。小
5、变形时，梁的挠曲线为一条很平坦的曲线，小变形时，梁的挠曲线为一条很平坦的曲线，角很小，故：角很小，故：wdxdwtan wdxdwtan w (在上图所示坐标系中在上图所示坐标系中)挠度及转角挠度及转角正负号规定正负号规定:挠度挠度:向上为正，向下为负；向上为正，向下为负；转角转角:逆时针转为正，顺时针转为负。逆时针转为正，顺时针转为负。w纯弯曲时，纯弯曲时，挠曲线的挠曲线的曲率方程为：曲率方程为：一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程MMMM zEIM 110-2 10-2 梁变形的基本方程梁变形的基本方程横力弯曲时，横力弯曲时，挠曲线的挠曲线的曲率方程为：曲率方程为：弹性力学分析得：
6、弹性力学分析得：zEIxMx)()(1 （略去了剪力的影响）（略去了剪力的影响）232221)(1 dxdwdxwdx w (x)数学推导：若有一方程数学推导：若有一方程w=f(x)，则此曲线方程的曲率方程为：则此曲线方程的曲率方程为：zEIxMx)()(1 232221)(1 dxdwdxwdx wdxwddxdwdxwdx 22232221)(1)030(rad.dxdw小小于于很很小小小小变变形形时时，极小，略去不计。极小，略去不计。相比，相比，在分母上，与在分母上，与21 dxdw )(xfw (x)wzEIM(xdxwdw)22 这里正负号根据挠度这里正负号根据挠度w的方向而定：的方
7、向而定：称为挠曲线近似微分方程。称为挠曲线近似微分方程。略去了剪力的影响略去了剪力的影响不不计计略略去去了了2 dxdw (x)wzEIxMdxwdw)(22 zEIxMdxwdw)(22 00dd22 M,xw00dd22 M,xw在选定的坐标系中，挠曲线微分方程的最终形式为在选定的坐标系中，挠曲线微分方程的最终形式为zEIxMdxwdw)(22 w对方程积分一次可得：对方程积分一次可得：这里这里C和和D 是积分常数，是积分常数，可由梁的边界条件确定。可由梁的边界条件确定。挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程对于等截面梁对于等截面梁,微分方程可写为微分方程可写为:两次积分可得两次积分可得二、
8、二、用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形)(22xMdxwdEIwEIzz CdxxMdxdwEIwEIzz)(DCxdxdxxMwEIz)(梁的边界条件：梁的边界条件：支承条件支承条件AAAAAAAAAAAAAAAAAA0 A -弹簧变形弹簧变形wA=0wA=0wA=梁的边界条件：梁的边界条件：连续光滑条件连续光滑条件0 右右左左AAww右右左左AA 右右左左AAww 右右左左AAww 右右左左AA 讨论：讨论：)()(xqdxxdFS )()(22xqdxxMd )()(xFdxxdMS)(xMwEIz 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程对方程求导：对方程求导：)()(xFdxxdMwE
9、ISz 再求导：再求导：)()()(22)4(xqdxxdFdxxMdwEISz 例例1 1.求梁的挠度和转角方程，并计算求梁的挠度和转角方程，并计算 B、wB及及wl/2。求支反力求支反力解：解：（坐标原点只能放在左端）（坐标原点只能放在左端）x1 11 1)0()()(lxmFlFxmxlFxM 由由1-11-1右侧：右侧：列挠曲线近似微分方程列挠曲线近似微分方程列弯矩方程列弯矩方程 )(mFlFxxMwEIz mFlFxwEIz lABFmzEIx1 11 1lABFmzEI积分积分 mFlFxwEIz (1)22CmxFlxxFEIwEIzz (2)226223DCxxmxFlxFwE
10、Iz 确定积分常数确定积分常数(边界条件边界条件:固定端约束固定端约束)000 AAwx，时时，当当 21）式式得得（）代代入入（、0 0 DC，x1 11 1lABFmzEI确定转角和挠度方程确定转角和挠度方程 21）式式得得（）代代入入（、0 0 DC，(3)212 mxFlxxFEIwz(4)2261223 xmxFlxFEIwzx1 11 1lABFmzEI(3)212 mxFlxxFEIz(4)2261223 xmxFlxFEIwz计算计算 B、wB及及wl/2。(4)(3)方方程程得得代代把把入lx 212 mlFlEIzB 23123 mlFlEIwzB 42）方方程程得得代代入
11、入（把把/lx 84851232 mlFlEIwz/l例例2 2.求梁的挠度和转角方程，并计算求梁的挠度和转角方程，并计算 max及及wmax。解：解：求支反力求支反力0 0 bFlFmAB0 0 aFlFmBAFlaFB FlbFA ACBlb baFzEIFlbFA FlaFB x11 1x22 2列弯矩方程列弯矩方程AC段段BC段段)0()(111axxlbFxM )()()(2222lxaaxFxlbFxM 列挠曲线近似微分方程列挠曲线近似微分方程)(111xlbFxMwEIz 11xlbFwEIz )()(2222axFxlbFxMwEIz )(222axFxlbFwEIz ACBl
12、b baFFlbFA FlaFB 积分积分 11xlbFwEIz )(222axFxlbFwEIz (1)21211CxlbFwEIz (2)(22222222CaxFxlbFwEIz (3)6111311DxCxlbFwEIz (4)(6622232322DxCaxFxlbFwEIz x11 1x22 2ACBlb baFFlbFA FlaFB (1)21211CxlbFwEIz (2)(22222222CaxFxlbFwEIz (3)6111311DxCxlbFwEIz (4)6622232322DxCa(xFxlbFwEIz 确定积分常数确定积分常数边界条件：边界条件：支承条件支承条件连
13、续光滑条件连续光滑条件 0011 Awx时时，当当 022 Bwlx时时，当当 2 12121ccccwwaxx 时时，当当 4321）式式得得）（）（）（代代入入（021 DD )(62221bllbFCC x11 1x22 2ACBlb baF 021，DD )(62221bllbFCC 确定转角和挠度方程确定转角和挠度方程 4321）式式得得）（）（）（代代入入（)1()3(6222111 xbllEIbFwz )2()(3)3(622222222 axblxbllEIbFwz)3()3(63121211 xxbxllEIbFwz)4()()3(632222222 axblxxbllEI
14、bFwzx11 1x22 2ACBlb baF计算计算 max分析：分析：应在应在 =0的位置来求的位置来求求求 的极值的极值 0 0 w即即 0)M(xwEIz从弯矩图可知从弯矩图可知A、B截面的弯矩为截面的弯矩为0 A、B截面的截面的 有极值，有极值，则则 max 在在A截面或者截面或者B截面截面ab，max应在应在B截面截面 22maxwlx 的的方方程程即即可可求求出出代代入入把把 x11 1x22 2ACBlb baFMFlab 计算计算wmax类似分析：类似分析：应在应在w=0的位置来求的位置来求求求w 的极值的极值 0 0 即即w从挠曲线上可知：从挠曲线上可知：CBA,=0的截面
15、应在的截面应在AC段上段上 01得得，令令 w 3220blx x11 1x22 2ACBlb baF 10maxwwx方方程程即即可可求求出出代代入入结论：在简支梁上，若挠曲线无拐点，则最大挠度结论：在简支梁上，若挠曲线无拐点，则最大挠度wmax可用中点处的挠度值来代替。可用中点处的挠度值来代替。x11 1x22 2ACBlb baF求求wmax 211maxwwlx方方程程即即可可求求出出代代入入把把 m思考思考：根据连续性和边界限制条件，画出近似挠曲线。：根据连续性和边界限制条件，画出近似挠曲线。以下各图中哪个是正确的以下各图中哪个是正确的?用积分法求梁的变形：用积分法求梁的变形：优点：
16、可以求得挠度和转角的普遍方程式优点：可以求得挠度和转角的普遍方程式缺点：列弯矩方程，求积分常数比较麻繁缺点：列弯矩方程，求积分常数比较麻繁10-3 10-3 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形x1 11 1lABFmzEI用积分法求得挠度和转角方程用积分法求得挠度和转角方程 212 mxFlxxFEIz 2261223 xmxFlxFEIwz从方程可看出挠度和转角与载荷是成线性齐次关系从方程可看出挠度和转角与载荷是成线性齐次关系 可用叠加原理求梁的变形可用叠加原理求梁的变形叠加原则叠加原则：当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，且应力不超
17、过比列极限，则梁上任一横截面的总位移即且应力不超过比列极限，则梁上任一横截面的总位移即等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和。等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和。lABFmzEIlABmlABFmFl/2ABl/2CFqqmzEI zBEIml 2 2zBEImlw 6 3 zBzAEImlEIml 16 2zCEImlw 2 2zBEIFl 3 3zBEIFlw 16 2zBAEIFl 48 3zCEIFlw 6 3zBEIql 8 4zBEIqlw 24 3zBAEIql 3845 4zCEIqlw 注意：注意：除最后一个分子系数为除最后一个分子系数为5以外，其它均为以
18、外，其它均为1；分母是抗弯刚度乘以分母是抗弯刚度乘以一个系数一个系数；载荷：载荷：m、F、q均为均为一次方一次方；梁的长度梁的长度 l 的的方次方次分成单个载荷作用的梁；分成单个载荷作用的梁；画出单个载荷作用下的梁的挠曲线；画出单个载荷作用下的梁的挠曲线；命名单个载荷作用下引起的命名单个载荷作用下引起的、w；计算。计算。叠加法的步骤：叠加法的步骤：lABFmzEI例例3 3.求梁求梁B截面的转角截面的转角 B及挠度及挠度wB。分成分成m和和F单独作用的梁；单独作用的梁；解：解：画单个载荷作用下的挠曲线；画单个载荷作用下的挠曲线；AmAF命名命名、w；1Bw2Bw1B 计算。计算。2B 计算。计
19、算。1zBEIml 2 21zBEImlw 2 22zBEIFl 3 32zBEIFlw 2 221zzBBBEIFlEIml 32 3221zzBBBEIFlEImlwww Am1Bw1B AF2Bw2B 例例5 5.求梁求梁B截面的转角截面的转角 B及挠度及挠度wB。CB 解：解：画挠曲线；画挠曲线；命名命名、w；计算。计算。AFCBBw1Bw2BwB CwAFl/2CBl/2zEI解：解：画挠曲线；画挠曲线；命名命名、w；计算。计算。8 22 22zzCBEIFlEIlF 2432 331zzCBEIFlEIlFww 16282 322zzBBEIFllEIFllw 485 1624 3
20、3321zzzBBBEIFlEIFlEIFlwww CB AFCBBw1Bw2BwB CwqaAB2aCzEI例例6 6.求梁求梁B截面的转角截面的转角 B及挠度及挠度wB。刚化法：整根梁的变形等刚化法：整根梁的变形等于梁分为几段单独产生变于梁分为几段单独产生变形之和。形之和。(一个力作用时才考虑）一个力作用时才考虑）分析：分析：刚化刚化AC段；段；qABC1Bw1B刚化刚化BC段；段；qABC刚化刚化AC段；段；刚化刚化BC段；段；qABC2Bw2B ABCqa221qaABC221qa2C qABC1Bw1B 刚化刚化AC段；段；计算。计算。刚化刚化BC段；段；6 31zBEIqa 8 4
21、1zBEIqaw qABC1Bw1B a2a2Bw2B qaABC221qa2C a2a解：解：332213 3222zzzCBEIqaEIaqaEIml 33 4322zzBBEIqaaEIqaaw qABC1Bw1B a2a2Bw2B qaABC221qa2C a2a 2411 38 44421zzzBBBEIqaEIqaEIqawww 236 33321zzzBBBEIqaEIqaEIqa 3B lBAaCqm例例7 7.求梁求梁B截面的转角截面的转角 B及挠度及挠度wB。BACmBACq1Bw1B 1C BACmBACm2Bw2B 3Bw3C 321BBBBwwww 321BBBB 1
22、1CB 33CB 33awBB 11awBB qlABlC例例8 8.求梁求梁B截面的转角截面的转角 B及挠度及挠度wB。qlABlCqABqABC1Bw1B 22CB Bw 2B 2Cw3Bw2Bw 321BBBBwwww 21BBB 22CB 22CBww 23lwBB 10-4 10-4 梁的刚度校核梁的刚度校核提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施一、梁的刚度校核一、梁的刚度校核 即梁在荷载作用下产生的最大挠度即梁在荷载作用下产生的最大挠度wmaxmax与跨长与跨长l的比值不的比值不能超过能超过 w/l 梁的刚度条件梁的刚度条件:检查梁在荷载作用下产生的位移是否超过容许值。在机械检查梁在
23、荷载作用下产生的位移是否超过容许值。在机械工程中，一般对转角和挠度都进行校核；在建筑工程中，大多工程中，一般对转角和挠度都进行校核；在建筑工程中，大多只校核挠度。只校核挠度。校核挠度时，通常是以挠度的容许值与跨长校核挠度时，通常是以挠度的容许值与跨长l l的比值的比值 w/l 作为校核的标准。作为校核的标准。max lwlwmax 梁的刚度条件梁的刚度条件(另一种形式）另一种形式）:wwmax max 许许可可挠挠度度w 许许可可转转角角 一般情况下，梁要同时满足强度条件和刚度条件：一般情况下，梁要同时满足强度条件和刚度条件：wwmax max max max 二、提高梁的刚度的措施二、提高梁
24、的刚度的措施 znEIplw qFmP、1 1.Ew 材料的弹性模量材料的弹性模量E与挠度成反比，但由于同类材料的与挠度成反比，但由于同类材料的E值都值都相差不多，故从材料方面来提高刚度的作用不大。如普通钢材相差不多，故从材料方面来提高刚度的作用不大。如普通钢材与高强度钢材的与高强度钢材的E值基本相同，从刚度角度上看，采用高强度值基本相同，从刚度角度上看，采用高强度材料是没有什么意义的。材料是没有什么意义的。（刚度不够，不考虑更换材料。）（刚度不够，不考虑更换材料。）1 2.zIw 挠度与截面的惯性矩挠度与截面的惯性矩Iz成反比，故应增大成反比，故应增大Iz。增加截面的面积，但不可取。增加截面
25、的面积，但不可取。故应采用惯性矩比较大的工字形、槽形等故应采用惯性矩比较大的工字形、槽形等形状的截面，不仅在强度方面是合理的，在刚形状的截面，不仅在强度方面是合理的，在刚度方面也是合理的。度方面也是合理的。应尽量使面积分布在离中性轴较远的地方。应尽量使面积分布在离中性轴较远的地方。432(3.）、nlwn 控制梁的跨度是提高刚度的有效措施。控制梁的跨度是提高刚度的有效措施。FlFl/2qq 4.改改善善载载荷荷作作用用方方式式FF/2F/210-5 10-5 简单静不定梁简单静不定梁一、静不定梁一、静不定梁 梁上的约束反力仅由静力平衡方程不能求解。梁上的约束反力仅由静力平衡方程不能求解。FxF
26、yFFmFxFyF二、出现静不定梁的原因二、出现静不定梁的原因 静不定梁在几何组成上具有所维持几何平衡的更静不定梁在几何组成上具有所维持几何平衡的更多的联系，也就是有了多余的约束。多的联系，也就是有了多余的约束。但是从梁的工作需要并不多余，因为增加约束可但是从梁的工作需要并不多余，因为增加约束可以提高梁的强度和刚度。以提高梁的强度和刚度。FF三、求解静不定问题的一般关系三、求解静不定问题的一般关系建立并解建立并解平衡方程平衡方程变形协调关系方程变形协调关系方程力力-位移关系方程位移关系方程求解求解平衡方程平衡方程补充方程补充方程由变形协调方程和力由变形协调方程和力-位移位移关系方程组合而成关系
27、方程组合而成方程数等于静不定次数方程数等于静不定次数例例9 9.求梁的约束反力。求梁的约束反力。静不定度的判定；静不定度的判定；解：解：解除多余的约束解除多余的约束静定基（能维持几何平衡）；静定基（能维持几何平衡）；找找变形协调条件变形协调条件。在去掉的多余约束处代之在去掉的多余约束处代之相应的反力，再加上原载荷相应的反力，再加上原载荷相当系统；相当系统；静定基静定基FBF相当系统相当系统 0 BwABCFl/2l/2ABCzEIFl/2l/2ABC找找变形协调条件变形协调条件;FBF 0 BwFBF1Bw22CB2B2Cw3Bw2Bw 321BBBBwwww 0 321 BBBwww计算计算
28、FB ;Fl/2l/2ABCFBF计算计算FB ;FB1BwF22CB2B2Cw3Bw2Bw 822 2222zzCBEIFlEIlF zBBEIFllw162 323 3 31zBBEIlFw 2432 3322zzCBEIFlEIlFww 0 321 BBBwwwFl/2l/2ABCFBF计算计算FB ;FB1BwF22CB2B2Cw3Bw2Bw016243333 zzzBEIFlEIFlEIlF 0 321 BBBwwwFFB165 计算其它支反力计算其它支反力 ;Fl/2l/2ABCFFB165 计算其它支反力计算其它支反力 ;FF165 mAFAxFAy01652 0 lFmlFmAA0 0 AxFx0165 0 FFFyAyFFAx1611 FlmA163 0 AxF例题讨论：例题讨论：支反力求出后即可进行强度和刚度的计算；支反力求出后即可进行强度和刚度的计算；若没有若没有B B支座，支座，C C点的挠度是有点的挠度是有B B支座时的支座时的32/732/7倍，倍，最大弯矩是最大弯矩是8/38/3倍，所以倍，所以B B处的约束并不多余。处的约束并不多余。选取不同的约束作为多余约束，其变形协调条选取不同的约束作为多余约束，其变形协调条件也不同。件也不同。本章完本章完
