1、 徐州市徐州市 20192020 学年度高三年级第一次质量检测学年度高三年级第一次质量检测 数学数学 I 参考公式： 1样本数据，的方差，其中； 2圆锥的体积，其中是圆锥的底面圆面积，是高 1 x 2 x n x 22 1 1 () n i i sxx n 1 1 n i i xx n 1 3 VShSh 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5
2、毫米签字笔填写在答题 卡上。 3 作答题目必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作 答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 S 0 I 1 While I 6 I I + 1 S S + I End While Print S （第 4 题） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应 位置上 1已知集合，则 2已知复数满足，且的虚部小于 0，则= 3若一组数据 7，6，8，8 的平均数为 7，则该组数据的 方差是 4执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 5函数的定义域为 6
3、某学校高三年级有 A，B 两个自习教室，甲、乙、丙 3 名 学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在 同一教室上自习的概率为 7若关于的不等式的解集是，则实数的值为 8在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线 上，则实数的值为 9已知等差数列的前项和为，则的值为 10已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是， ，则的面积为 |02Axx|11Bxx AB z 2 4z zz x 2 ( )log2f xx x 2 30xmx(1,3)m xOy 2 2 1 3 x y 2 2ypxp n an n S 29 8aa 5 5S 15 S 3sin2yxcos2yx
4、AB CABC 11在平面直角坐标系中，已知圆：，圆与圆外切于 点，且过点，则圆的标准方程为 12已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时， (其中是自然对数的底数)，若，则实数的值为 13如图，在中，D，E 是 BC 上的两个三等分点， ，则的最小值为 14设函数，其中， 若恒成立，则当取得最小值时，的 值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 如图， 在三棱锥 PABC 中， M， N 分别为棱 PB， PC 的中点， 平面 PAB 平面 PBC （1）求证：平面 A
5、MN； （2）求证：平面 AMN平面 PBC xOyM 22 48120xyxyNM (0,)m(0, 2)N )(xfR1x 1 , 0(x ( )eaxf x e(2020ln2)8fa ABC 2AB ADAC AE cosADE 3 ( ) |f xxaxb 1,1x abR ( )f xMMab APAB BC A P N M C B （第 15 题） A （第 13 题） BC DE 16 （本小题满分 14 分） 在中，角，的对边分别为，且 （1）若，求的值； （2）若，求的值 17 （本小题满分 14 分） ABCABCabc 5 cos 5 A 5a 2 5c b 4 B t
6、an2C 如图，在圆锥中，底面半径为 3，母线长 为 5用一个平行于底面的平面去截 圆锥，截面圆的圆心为，半径为现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心为顶点 挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为 （1）将表示成的函数； （2）求小圆锥的体积的最大值 18 （本小题满分 16 分） SORl 1 OrO V Vr V A （第 17 题） B O S M N O1 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，过点 作直线 l 与圆相切，与椭圆交于另一点，与右准线交于点设 直线 l 的斜率为 k （1）用 k 表示椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的离心率 xOy)0( 1: 2 2 2 2 ba b y
7、a x CAA 222 byxO：CPQ C 0OQOPC （第 18 题） Ox y A Q P l 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围； （3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在， 求出的最大值；若不存在，说明理由 1 ( )()lnf xax x ()aR ( )yf x(1,(1)f10xy a ( )f x( )fxa 2a x( )f x 20 （本小题满分 16 分） 已知数列的首项，对任意的，都有()，数列 是公比不为 1 的等比数列 （1）求实数的值； （2
8、）设 数列的前项和为，求所有正整数 m 的值，使 得恰好为数列中的项 n a 1 3a * nN 1 1 nn aka 0k 1 n a k 4 n n n n b an 为奇数 为偶数 n bn n S 2 21 m m S S n b 数学试卷 第 1 页(共 4 页) 徐州市徐州市 20192020 学年度高三年级第一次质量检测学年度高三年级第一次质量检测 数学数学（附加题） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事
9、项及各题答题要求 1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 2123 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置 作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 数学试卷 第 2 页(共 4 页) A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵的一个特征值为，求矩阵的逆矩阵 B选修 4-4：坐标系与参
10、数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 的极坐标方程为，曲线的参数方程为（ 为参数，） 在曲线上求点，使点到 的距离最小，并求出最小值 23 1t M4M 1 M xOyOx l(cossin )12C 2 3cos 2sin x y ， RCMMl 数学试卷 第 3 页(共 4 页) C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知正数满足，求的最小值 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图
11、，在三棱柱中，侧面为正方形，侧面为菱形， ，平面平面 （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值 xyz， ，1xyz 111 222xyyzzx 111 ABCABC 11 AAB B 11 BBC C 11 60BBC 11 AAB B 11 BBC C 1 AC 11 AAB B 1 BACC （第 22 题） B A C B1 A1 C1 23 （本小题满分 10 分） 已知为给定的正整数，设， （1）若，求，的值； （2）若，求的值 n 2 012 2 () 3 nn n xaa xa xa xxR 4n 0 a 1 a 1 3 x 0 () n k k k nk a
12、 x 数学试卷答案 第 1 页(共 11 页) 20192020 学年度高三年级第一次质量检测学年度高三年级第一次质量检测 数学数学 I 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、填空题： 1 2 3 420 5 6 74 8 9 10 11 123 13 14 二、解答题： 15 （1）在中，因为 M，N 分别为棱 PB，PC 的中点， 所以 MN/ BC 3 分 又 MN平面 AMN，BC平面 AMN， 所以 BC/平面 AMN6 分 （2）在中，因为，M 为棱 PB 的中点， 所以8 分 又因为平面 PAB平面 PBC，平面 PAB平面 PBC，平面 PAB， 所以平面 PBC12 分
13、又平面 AMN，所以平面 AMN平面 PBC 14 分 16 （1）在中，由余弦定理得， ，即， 4 分 解得或（舍） ，所以 6 分 12xx 2i 4 5 4,+ ) 1 2 1 4 135 3 2 22 (2)8xy 4 7 3 4 PBC PABAPAB AMPB PBAM AM AM ABC 222 2cosbcbcAa 2 5 2022 525 5 bb 2 450bb 5b 1b 5b A P N M C B （2）由及得，8 分 所以， 又因为，所以， 从而，12 分 所以14 分 17 （1）在中， 2 分 由可知，所以，4 分 所以，所以7 分 （2）由（1）得， 所以，令
14、，得，9 分 当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减 所以当时，取得最大值 5 cos 5 A0A 22 52 5 sin1cos1() 55 AA 210 coscos()cos()(cossin) 4210 CABAAA 0C 22 103 10 sin1cos1() 1010 CC 3 10 sin 10 tan3 cos10 10 C C C 22 2tan2 33 tan2 1tan134 C C C SAO 2222 534SOSAAO 1 SNOSAO 1 SOr SOR 1 4 3 SOr 1 4 4 3 OOr 223 144 ( )(4)(3),03 339 V
15、rrrrrr 23 4 ( )(3),03 9 V rrrr 2 4 ( )(63) 9 V rrr( )0V r 2r (0,2)r( )0V r( )V r(0,2) (2,3)r( )0V r( )V r(2,3) 2r ( )V r 16 (2) 9 V 答：小圆锥的体积的最大值为14 分 18 （1）直线 l 的方程为，即， 因为直线 l 与圆相切，所以，故 所以椭圆的离心率4 分 （2）设椭圆的焦距为，则右准线方程为， 由得，所以，6 分 由得， 解得，则， 所以，10 分 因为，所以， 即，12 分 由（1）知，所以， 所以，即，所以，故椭圆的离心率为16 分 V 16 9 )(
16、axky0akykx 222 byxO：b k ak 1 2 22 2 2 ba b k C 2 22 1 1 1 b e ak C2c 2 a x c c a x axky 2 )( c aca ka c a ky 22 )() )( ,( 22 c acak c a Q )( 1 2 2 2 2 axky b y a x 02)( 2224232222 bakaxkaxkab 222 223 kab abka xp 222 2 222 223 2 )( kab kab a kab abka kyp ) 2- 222 2 222 223 kab kab kab abka P ，（ 0OQOP
17、0 2)( 222 22 222 2232 kab kab c acak kab abka c a )(2)( 22222 cakbbkaa 22 2 2 ba b k 22 4 2 22 22 )(2 )( ba cab b ba ba a caa22 ca2 2 1 a c C 2 1 19 （1）， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，得2 分 （2）因为存在两个不相等的零点 所以存在两个不相等的零点，则 当时，所以单调递增，至多有一个零点4 分 当时，因为当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以时， 6 分 因为存在两个零点，所以，解得7 分 因为，所以 因为，所以在上存在一个零点 8
18、 分 因为，所以 因为，设，则， 因为，所以单调递减， 2 11 1 ( )lnfxxa x x x ( )yf x(1,(1)f10xy (1)11fa 0a 2 1ln ( ) axx fx x ( )1lng xaxx 1 ( )g xa x 0a( )0g x( )g x 0a 1 (0)x a ，( )0g x( )g x 1 (+ )x a ，( )0g x( )g x 1 x a max 11 ( )()ln()2g xg aa ( )g x 1 ln()20 a 2 e0a 2 e0a 21 e1 a (1)10ga ( )g x 1 (0) a ， 2 e0a 211 ()
19、aa 22111 () ln()1g aaa 1 t a 2 2ln1(e )yttt 2 0 t y t 2 2ln1(e )yttt 所以，所以， 所以在上存在一个零点 综上可知，实数的取值范围为10 分 （3）当时， 设，则所以单调递增， 且，所以存在使得，12 分 因为当时，即，所以单调递减； 当时，即，所以单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 此时，14 分 因为，所以， 因为，且为整数，所以，即的最大值为16 分 20 （1）由，可知， 因为为等比数列，所以， 即，即，解得或，2 分 当时，所以，则， 222 2ln ee13e0y 22111 () ln()10g aaa
20、 ( )g x 1 () a ， a 2 ( e ,0) 2a 1 ( )(2)lnf xx x 22 11 121ln ( )ln2 xx fxx x x xx ( )21lng xxx 1 ( )20g x x ( )g x 11 ( )ln0 22 g(1)10g 0 1 (1) 2 x ， 0 ()0g x 0 (0)xx，( )0g x ( )0fx( )f x 0 (+ )xx，( )0g x ( )0fx( )f x 0 xx( )f x 0000 000 111 ()(2)ln(2) 12(4)4f xxxx xxx 0 1 (1) 2 x ， 0 ()( 1 0)f x ，
21、( )f x11 1 1 nn aka 1 3a 2 31ak 2 3 31akk 1 n a 2 213 (1)(1)(1)aaa 22 (32)2(32)kkk 2 31080kk2k 4 3 k 4 3 k 1 4 3(3) 3 nn aa 3 n a 12 n a 所以数列的公比为 1，不符合题意； 当时，所以数列的公比， 所以实数的值为 4 分 （2）由（1）知，所以 则 ，6 分 则， 因为，又， 且，所以，则， 设，8 分 则或 为偶数，因为不可能，所以或 为偶数， 当时，化简得， 即，所以可取值为 1，2，3， 验证得，当时，成立12 分 1 n a 2k 1 12(1) nn
22、 aa 1 n a 1 1 2 1 n n a q a k2 12n n a 4 n n nn b n 为奇数, 为偶数, 2 2 (41)4(43)44(21)4m m Sm 2 (41)(43)4(21)444mm 1 44 (4) 3 m mm 2122 44 (4) 3 m mmm SSbmm 22+1 324m mm bbm 222+322+1 ()()3420 m mmmm bbbb 23 50bb 1 30b 21 0 m S 2 0 m S 2 21 0, m t m S bt S * N 1,3t t 3 1b 1t t 2 1 21 = m m S b S 1 44 (4)
23、 3 3 44 (4) 3 m m mm mm 2 624844 m mm 2 42mm0m 624 135 787 ,3, 323 SSS SSS 2m 4 1 3 S b S 当 为偶数时， 设，则， 由知，当时，； 当时，所以，所以的最小值为， 所以，令，则， 即，无整数解 综上，正整数 m 的值16 分 数学参考答案与评分标准数学参考答案与评分标准 21A矩阵的特征多项式为2 分 因为矩阵的一个特征值为 4，所以，所以5 分 所以，所以10 分 B由，及， 所以 的直角坐标方程为 2 分 t 1 2 2 21 44 (4) 33 1 443124 (4)1 3 4 m m m m m
24、mm S S mm mm 2 3124 4 m m mm c 2 1 1 94221 4 mm m mm cc 3m 4m 54 5 3 0 4 cc 4m 1 0 mm cc 456 ccc m c 5 19 1024 c 2 21 3 015 19 1 1024 m m S S 2 2 21 4 m m S b S 2 3 14 3124 1 4m mm 2 31240mm 2 M 23 ( )(2)(1)3 1 ft t M(4)630ft2t 23 21 M 1 1313 2 1322 13244 2211 2 1322 13222 M :cossin120lcosxsiny l120
25、xy 数学试卷答案 第 8 页(共 11 页) （第 22 题） B A C x y z B1 A1 C1 在曲线上取点，则点到 的距离 ，6 分 当时，取最小值，8 分 此时点的坐标为10 分 C因为都为正数，且， 所以由柯西不等式得， 5 分 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为 310 分 22 （1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 2 分 以点为坐标原点，分别以,所在的直线 为,轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设正方形的边长为 2， C 2 3cos2sinM，Ml 4sin12124sin 2 3cos2sin12 33 222 d
26、 6 d4 2 M3,1 xyz， ，1xyz 111 3() 222xyyzzx 111 () (2 )(2 )(2 ) 222 xyyzzx xyyzzx 2111 (222 )9 222 xyyzzx xyyzzx 1 3 xyz 111 222xyyzzx 11 AAB B 1 ABBB 11 AAB B 11 BBC C 11 AAB B 111 BBC CBB AB 11 AAB BAB 11 BBC C BBA 1 BB xyBxyz 11 AAB B 则， 在菱形中，因为， 所以，所以 因为平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为6 分 （2
27、）由（1）可知，所以 设平面的一个法向量为， 因为 即， 取，即 设平面的一个法向量为， 因为， 所以，取8 分 设二面角的平面角为， 2 0 0A， ， 1 0 2 0B， ， 11 BBC C 11 60BBC 1(0 1 3) C， ， 1 ( 2 1 3)AC ， ， 11 AAB B0 0 1， ，n 1 AC 11 AAB B 1 |3 | 6 sin|cos,| 4 2 21 AC n 1 AC 11 AAB B 6 4 0 1 3C， 1 0 2 0CC ， ， 1 ACC 1111 xyz，n 11 11 0, 0, AC CC n n 111 111 2 1 30 0 2
28、00 xyz xyz ， ， ， ， 1 3 2 x 1 0y 1 1z 1 3 0 1 2 ， ，n 1 ABC 2222 xyz，n 2 0 0BA ， ， 1 0 1 3BC ， ， 222 222 2 0 00 0 1 30 xyz xyz ， ， ， ， 2 0 3 1，n 1 BACC 则， 所以二面角的余弦值为10 分 23 （1）因为，所以，2 分 （2）当时， 又因为，4 分 当时，； 5 分 当时， ，当时，也符合 12 12 12 71 coscos 7 3 131 4 ， nn nn nn 1 BACC 7 7 4n 04 04 216 C ( ) = 381 a 13
29、 14 232 C ( ) = 327 a 1 3 x 21 C ( )( ) 33 kkn kk kn a x 1 1 !(1)! CC !()!(1)!()! kk nn nn kknn k nkknk 1n 01 1 0 22 ()C ( ) 33 n k k k nk a x 2n 00 21 ()()C ( )( ) 33 nn kkn kk kn kk nk a xnk 01 2121 C ( )( )C ( )( ) 3333 nn kn kkkn kk nn kk nk 1 1 1 2121 ()C( )( ) 3333 n nkn kk n k nn 11 1 1 121 C
30、( )( ) 333 n kn kk n k nn 1 121 () 333 n nn 2 3 n1n 所以的值为10 分 0 () n k k k nk a x 2 3 n 徐州市 20192020 学年度高三年级第一次质量检测 数学参考答案与评分标准 21A矩阵的特征多项式为2 分 因为矩阵的一个特征值为 4，所以，所以5 分 所以，所以10 分 B由，及， 所以 的直角坐标方程为 2 分 在曲线上取点，则点到 的距离 ，6 分 当时，取最小值，8 分 此时点的坐标为10 分 C因为都为正数，且，所以由柯西不等式得， 5 分 ， M 23 ( )(2)(1)3 1 ft t M(4)630
31、ft2t 23 21 M 1 1313 2 1322 13244 2211 2 1322 13222 M :cossin120lcosxsiny l120xy C 2 3cos2sinM，Ml 4sin12124sin 2 3cos2sin12 33 222 d 6 d4 2 M3,1 xyz， ，1xyz 111 3() 222xyyzzx 111 () (2 )(2 )(2 ) 222 xyyzzx xyyzzx 2111 (222 )9 222 xyyzzx xyyzzx （第 22 题） B A C x y z B1 A1 C1 当且仅当时等号成立，所以的最小值为 3 10 分 22
32、（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 2 分 以点为坐标原点，分别以,所在的直线 为,轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设正方形的边长为 2， 则， 在菱形中，因为， 所以，所以 因为平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为6 分 （2）由（1）可知，所以 设平面的一个法向量为， 因为 即 1 3 xyz 111 222xyyzzx 11 AAB B 1 ABBB 11 AAB B 11 BBC C 11 AAB B 111 BBC CBB AB 11 AAB BAB 11 BBC C BBA 1 BB xyBx
33、yz 11 AAB B 2 0 0A， ， 1 0 2 0B， ， 11 BBC C 11 60BBC 1(0 1 3) C， ， 1 ( 2 1 3)AC ， ， 11 AAB B0 0 1， ，n 1 AC 11 AAB B 1 |3 | 6 sin|cos,| 4 2 21 AC n 1 AC 11 AAB B 6 4 (0 1 3)C， 1 0 2 0CC ， ， 1 ACC 1111 xyz，n 11 11 0, 0, AC CC n n 111 111 2 1 30 0 2 00 xyz xyz ， ， ， ， 取，即 设平面的一个法向量为， 因为， 所以，取8 分 设二面角的平面
34、角为， 则， 所以二面角的余弦值为10 分 23 （1）因为，所以，2 分 （2）当时， 又因为，4 分 当时，； 5 分 当时， 1 3 2 x 1 0y 1 1z 1 3 ( 0 1) 2 ， ，n 1 ABC 2222 xyz，n 2 0 0BA ， ， 1 0 1 3BC ， ， 222 222 2 0 00 0 1 30 xyz xyz ， ， ， ， 2 0 3 1，n 1 BACC 12 12 12 71 coscos 7 3 131 4 ， nn nn nn 1 BACC 7 7 4n 04 04 216 C ( ) 381 a 13 14 232 C ( ) 327 a 1
35、3 x 21 C ( )( ) 33 kkn kk kn a x 1 1 !(1)! CC !()!(1)!()! kk nn nn kknn k nkknk 1n 01 1 0 22 ()C ( ) 33 n k k k nk a x 2n 00 21 ()()C ( )( ) 33 nn kkn kk kn kk nk a xnk 01 2121 C ( )( )C ( )( ) 3333 nn kn kkkn kk nn kk nk ，当时，也符合 所以的值为10 分 1 1 1 2121 ()C( )( ) 3333 n nkn kk n k nn 11 1 1 121 C( )( ) 333 n kn kk n k nn 1 121 () 333 n nn 2 3 n1n 0 () n k k k nk a x 2 3 n
