1、1 页 北京市人大附中 2019 年高考信息卷（三）文科数学试题 北京市人大附中 2019 年高考信息卷（三）文科数学试题 一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 2.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 3.设,为非零向量,则“”是“与方向相同”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.
2、 既不充分也不必要条件 【答案】B 4.在三角形 ABC 中, 为中点, 为中点,设,若,则 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 5.在平面直角坐标系中，不等式组表示平面区域的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】C 6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( ) A. B. C. D. 2 页 【答案】B 7.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的 5 个点所对 应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是 A. D B. E C. F D. A 【答案】B 8.某
3、电动汽车“行车数据”的两次记录如下表： 记录时间 累计里程 （单位：公里） 平均耗电量 （单位：kWh/公里） 剩余续航里程 （单位：公里） 2019 年 1 月 1 日 4000 0.125 280 2019 年 1 月 2 日 4100 0126 146 （注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量， ， ） 下面对该车在两次记录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是( ) A. 等于 12.5 B. 12.5 到 12.6 之间 C. 等于 12.6 D. 大于 12.6 【答案】D 二、填空题. 二、填空题. 9
4、.已知,且满足,则的最大值为_ 3 页 【答案】 10.圆的圆心到直线的距离为_ 【答案】 11.双曲线的焦距是_;若圆与双曲线 的渐近线相切,则 _ 【答案】 (1). 10 (2). 12.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml） ，通常用血 药浓度来研究药物的作用强度下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐 标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度 第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种
5、药的血药浓度的峰值 （） 记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_； 记 为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_ 【答案】 (1). (2). 13.已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数 的值域是_ 【答案】 三、解答题.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 三、解答题.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 14.已知函数. （）求的定义域及最小正周期； 4 页 （）若，且，求 的值. 【答案】 （）定义域为，最小正周期为； （）0. 【解析】 【分析】 （）由题意可知，
6、根据正切函数的定义域，即可求解的定义域，又化简函数为利 用周期的公式，即可求解. （）由知，列出方程，根三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】 （）由题意可知，的定义域为. 所以的最小正周期为. （）解法一：由知，则 解得或 又因为，且 所以. 解法二：由知，则 解得. 又因为，且. 所以. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义域、三角函数的最小正周期，以及三角函数的图象与性质的应用， 其中解答中正确化简三角函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题. 15.已知数列满足，. () 求的值和的通项公式； （）设，求数列的前 项和. 【答案】(
7、), () 【解析】 5 页 【分析】 （）分别令 n1，2，3，计算可得所求值，再由累加法可得所求通项公式； （）求得 bn2log2an12n1，由等差数列的求和公式，计算可得所求和 【详解】 （）因为， 所以， 因为 , , , , 把上面个等式叠加，得到 所以 又时，符合上式，所以 （）因为 所以 所以是首项为，公差为 的等差数列 所以 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用累加法，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用， 考查运算能力，属于基础题 16.如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面
8、 ABC，ACBC，H 为 PC 的中点，M 为 AH 中点，PA=AC=2，BC=1 6 页 （）求证：AH平面 PBC； （）求 PM 与平面 AHB 成角的正弦值； ()在线段 PB 上是否存在点 N，使得 MN平面 ABC，若存在，请说明点 N 的位置，若不存在，请说明理 由 【答案】 （）见证明； （）（）点 N 是靠近 B 点的四等分点 【解析】 【分析】 （）根据线面垂直判定与性质定理进行论证， （）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列 方程组解得平面 AHB 的一个法向量， 根据向量数量积求向量夹角， 最后根据向量夹角与线面角关系得结果， （）先设 N 坐标，再根据与
9、平面 ABC 的法向量的数量积为零解得结果. 【详解】 （）证明：PA底面 ABC， PABC， 又ACBC，PAAC=A， BC平面 PAC， AH 平面 PAC， BCAH H 为 PC 的中点，PA=AC， AHPC PCBC=C AH平面 PBC； （） 7 页 由题意建立空间直角坐标系A（0，0，0） ，B（1，2，0） ，C（0，2，0） ， P（0，0，2） ，H（0，1，1） ，M =（0，1，1） ，=（1，2，0） ，= 设平面 ABH 的法向量为=（x，y，z） ，则，取=（2，-1，1） 设 PM 与平面 AHB 成角为 ， 则 sin = 所以 PM 与平面 AHB
10、成角的正弦值为 （）假设在线段 PB 上存在点 N，使得 MN平面 ABC 设，=（1，2，-2） ， =， MN平面 ABC，平面 ABC 的法向量为=（0，0，2） ， = -=0，解得 8 页 点 N 是靠近 B 点的四等分点 【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量研究线面角与线面平行，考查基本分析论证 与求解能力，属中档题. 17.设函数，其中 （）当为偶函数时，求函数的极值； （）若函数在区间上有两个零点，求 的取值范围 【答案】 （）极小值，极大值； （）或 【解析】 【分析】 （）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即
11、得极值， （）先分离变量，转化研究函数，利用导数研究单调性与图象，最 后根据图象确定满足条件的 的取值范围 【详解】 （）由函数是偶函数，得， 即对于任意实数 都成立， 所以. 此时，则. 由，解得. 当 x变化时，与的变化情况如下表所示： 0 0 极小值 极大值 所以在，上单调递减，在上单调递增. &n
12、bsp; 所以有极小值，有极大值. （）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线 与曲线，有且只有两个公共点”. 9 页 对函数求导，得. 由，解得，. 当 x变化时，与变化情况如下表所示： 0 0 极小值 极大值 所以在，上单调递减，在上单调递增
13、. 又因为， 所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. 即当或时，函数在区间上有两个零点. 【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 18.已知椭圆的一个顶点为，离心率为 （）求椭圆 的方程； （） 设过椭圆右焦点的直线 交椭圆于两点， 过原点的直线
14、交椭圆于两点 若， 求证： 为定值 【答案】（）（）见解析 【解析】 【分析】 （）由题意先求出，再由离心率求出，即可得出椭圆方程； （）依题意设出与的方程，分别与椭圆方程联立，求出弦长与,进而可求出结果. 【详解】解：（）依题意， 由，得 10 页 椭圆 的方程为 （）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求， 则 （2）当直线的斜率存在时， 设直线的斜率为 ，依题意， 则直线的方程为，直线的方程为 设， 由得， 则， 由整理得， 则 综上可得，为定值 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆位置关系，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定 理和弦长公式，即可求解，属于常考题型. 19.2
15、018 年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此 同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉 悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加 某读书 APP 抽样调查了非一线城市 M和一线城市 N 各 100 名用户的日使用时长（单位：分钟） ，绘制成频 率分布直方图如下，其中日使用时长不低于 60 分钟的用户记为“活跃用户” 11 页 （1）请填写以下列联表，并判断是否有 995%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？ 活跃用户 不活跃用户 合计 城市 M 城市 N &nbs
16、p; 合计 （2）以频率估计概率，从城市 M中任选 2 名用户，从城市 N 中任选 1 名用户，设这 3 名用户中活跃用户 的人数为，求的分布列和数学期望 （3）该读书 APP 还统计了 2018 年 4 个季度的用户使用时长 y（单位：百万小时） ，发现 y 与季度（ ）线 性相关，得到回归直线为，已知这 4 个季度的用户平均使用时长为 12.3 百万小时，试以此回归 方程估计 2019 年第一季度（）该读书 APP 用户使用时长约为多少百万小时 附：，其中 0.025 0.010 0.005 0.001 5024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)见解析；(
17、2)见解析；(3) 百万小时 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图求数据填入对应表格，再根据卡方公式求，最后对照数据作判断， （2）先确 定随机变量取法，再判断从 M 城市中任选的 2 名用户中活跃用户数服从二项分布，从N 城市中任选的 1 名 12 页 用户中活跃用户数服从两点分布，进而求得对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得期望， （3） 先求均值，解得 ，再估计对应函数值. 【详解】 （1）由已知可得以下列联表： 活跃用户 不活跃用户 合计 城市 M 60 40 100 城市 N 80 20 100 合计 140 60 200 计算 ， 所以有 995%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关 （2）由统计数据可知，城市 M 中活跃用户占 ，城市 N 中活跃用户占 ， 设从 M 城市中任选的 2 名用户中活跃用户数为 ，则 设从 N 城市中任选的 1 名用户中活跃用户数为 ，则 服从两点分布，其中 故， ； ； ； 故所求的分布列为 0 1 2 3 13 页 （3）由已知可得，又， 可得，所以，所以 以代入可得（百万小时） ， 即 2019 年第一季度该读书 APP 用户使用时长约为百万小时 【点睛】本题考查频率分布直方图、回归直线方程以及分布列和数学期望，考查基本分析求解能力，属中 档题. 14 页
