1、 2019-2020 学年度上期八市重点高中联盟学年度上期八市重点高中联盟 “领军考试领军考试”高三理科数学高三理科数学 注意事项： 1.本试卷共满分 150 分，考试时间 120 分钟 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.设集合 2 |2Ax xx， |14Bxx，则AB （ ） A(,4) B0,4) C(1,2 D(1,2) 2.已知复
2、数z的共觇复数z，若 1 1 z z i ，z在复平而内对应的点为（ ） A(-2,-1) B(2,-1) C(-2,1) D(2,1) 3.已知命题:pxy ，使得|x xy y，则p为（ ） Ax y ，使得|x xy y Bx y ，总有|x xy y Cxy ，使得|x xy y Dxy ，总有|x xy y 4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的 解法传至欧洲 1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定 理，因而四方称之为“中国剩余理”。“中国剩余定理”讲的是一个关于整除
3、的问题，现有这样一个整除问题： 将 1 至 2019 中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 n a，则此数列的 项数为（ ） A134 B135 C136 D137 5.函数 | | ( )e cos ( 22) x f xxx 剟的图象大致是（ ） A B C D 6.己知双曲线 22 :1(04) 4 xy Cm mm 的渐近线与圆 22 (2)3xy相切，则m（ ） A1 B3 C2 D3 7.已知 0.6 2x ， 1.2 log2.4y ， 1.8 log3.6z ，则（ ） Axyz Bxzy Czxy Dyxz 8.若 2 tantan
4、1 1212 m .则m（ ） A 3 3 B3 C2 D2 3 9.在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切同和以正方形的顶点为圆心以正 方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（ ） A 1 2 B 2 C1 2 D2 2 10.将函数( )3cossin(0)f xxx的图象向右平移 6 个单位长度， 所得图象过点,1 2 ， 则的 最小值为（ ） A1 B2 C 1 2 D 2 3 11.已知ABC的重心G恰好在以边AB为直径的圆上，若8AC CB，则AB （ ） A1 B2 C3 D4 12.已知梯形ABCD中，ADBC，ABBC，4BC ，2
5、CD ，3AD3ADAE，以BE为折痕 将ABE折起，使点A到达点P的位置，且平面PBE 平面EBCD则四棱锥PEBCD外接球的表面 积为（ ） A 8 3 B16 3 C12 D16 二、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.己知实数x，y满足 30 230 1 xy xy y ，则3xy的取値范围是 . 14.己知O为坐标原点，F为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点，过点F且倾斜角为120的直线与 椭圆C交于第一象限一点P，若POF为正三用形，则椭圆C的离心率为 . 15.甲、乙、丙、丁四名同学申报 3 所不同的 98
6、5 高校的自主招生，要求每名同学只能申报一所学校，每所 学校必须有同学申报，甲、乙或甲、丙均不能申报同一所学校，则不同的申报方案有 种。 16.己知函数 2 ,0,1 ( ) ,(1,3 x x x f x ex 若存在实数 1 x， 2 x满足 12 03xx， 且 12 f xf x， 则 21 2xx 的最大值为 . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.如图，D是ABC边BC上一点，23ABAC，3BD，sin2sinCADBAD （）求DC的长； （）若2AD
7、，求ABC的面积. 18.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，SA平面ABCD，22BCAB， 60 ,ABC2SEED，F为SC的中点。 （1）求证BFACE； （2）若2SA，求二面角SACE.的大小. 19.已知抛物线 2 :4C yx的准线为l，M为l上一动点，过点M作抛物线C的切线，切点分别为A，B （）求证：MAB是直角三角形； （）x轴上是否存在一定点P，使A，P，B三点共线. 20.已知函数 2 ( )(6ln463)f xxxxa有两个极值点。 （1）求a的取值范围 （）设 1 x ， 212 ()x xx是( )f x的两个极值点，证明 12 11 0 l
8、nlnxx 21.有一名高二学生盼望 2020 年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：2020 年 2 月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从 2019 年 10 月省数学竞赛一等奖中选拔） ：2020 年 3 月自主招生考试通过并且达到 2020 年 6 月高考重点分数线；2020 年 6 月高考达到该校录取分数线（该校 录取分数线高于垂点线） 。该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的 概率如下表： 省数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计
9、进入国家集训队的概率是 0.2，若进入国家集训队，则提前录 取，箬未被录取，则再按、顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自 主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （）求该学生参加自主招生考试的概率； （）求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望； （）求该学生被该校录取的概率. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 2cos : 2sin x C y （为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 2: 4cos2si
10、n0C （1）求 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程： （2）若曲线 1 C与 2 C交于A，B两点（A在B的上方） ，点( 1,0)P ，求 22 |PAPB的值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )|1|f xx xxa （1）当1a 时，求不等式( )5f x 的解集； （2）若(1,)x时，( )f xx恒成立，求实数a的取值范围. 20192020 学年度上期八市重点高中联盟学年度上期八市重点高中联盟 “领军考试领军考试”高三理科数学高三理科数学（参考答案）（参考答案） 一、选择题一、选择题 1-6：CADBBA 7-12:BDDCBD 二、填空题二、填空题 13.
11、3,) 14.31 15.24 16.1ln2 11.解析：设AB的中点为M，则2GA GBGM.因为ABC的重心G恰好在以边AB为直径的圆上， 所以0GA GB且2GCGM.() ()AC CBAGGCCGGB 22 ()AG CGGCAG GBGC GBGCGAGBGC 22 2 222|8GCGMGCGCAB ，解得| 2AB . 12.解析：由题意可得球心在BC的中点处，所以外接球的半径为 2，其表面积为16. 16.解析： 画出( )f x的图象可得 2 12x， 因为 12 f xf x， 所以 2 2 1 exx ， 所以 2 2 212 22exxxx ， 令 2 2 22 2
12、exg xx ， 2 (1,2x . 则 2 2 2 1 2exg x ，令 2 0gx，则 2 2ln2(1,2x ， 当 2 (1,2ln2)x 时， 2 0gx； 当 2 (2ln2,2)x 时， 2 0gx. 所以当 2 2ln2x 时， 2 g x最大，且 2 max 1 ln2g x . 三、解答题三、解答题 17.解： （）在ABD和ADC中由正弦定理得 sinsin ABBD ADBBAD ， sinsin ACDC ADCCAD ， 因为23ABAC，sinsinADBADC，3BD，sin2sinCADBAD， 所以 4 4 3 DCBD. （）在ABD由余弦定理得 222
13、 2cosABADBDADBDADB， 在ADC中由余弦定理得 222 2cosACADDCADDCADC， 因为23ABAC，2AD ，3BD，4DC ，coscosADBADC， 所以4(492 2 3 cos)9(4 162 2 4 cos)ADCADC ， 解得 2 cos 3 ADC，所以 5 sin 3 ADC. 所以 1157 5 ()sin7 2 2233 ABC SBDDCADADC . 18.（）证明：取SE的中点G，连接FG.连接BD，交AC于点N，连接FD交CE于点M，连接MN. 因为F为SC的中点，G是SE的中点，所以FGCE. 又2SEED，所以E为GD的中点，所以
14、M为FD的中点， 又N为BD的中点，所以BFMN. 因为BF 平面AEC，MN 平面AEC，所以BF平面ACE. （）因为22BCAB，60ABC，由余弦定理得， 222 1 2cos604 1 2 2 13 2 ACBCABBC AB ， 所以3AC .所以ABAC.因为SA平面ABCD，2SA， 所以以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AS所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标 系，则(0,0,0)A，(0,0,2)S，(0, 3,0)C，( 1, 3,0)D ，(0, 3,0)AC ， 112 2 3 2 ( 1, 3,0)(1,3,2), 33333 AEADDEADDS
15、设平面ACE的法向量为( , , )mx y z，则 0, 0, m AC m AE 即 0, 22 32 0, 333 y xyz 令1x ，得1z ，所以(1,0,1)m . 因为平面SAC的法向量为(1,0,0)n ， 所以 12 cos, 2| |2 m n m n mn . 所以二面角SACE的大小为45. 19.解： （） 由已知的直线l的方程为1x， 设( 1 , )Mm， 切线斜率为k， 则切线方程为(1)ymk x. 将其与 2 4yx联立消x得 2 44()0kyymk. 所以16 16 ()0k mk ，化简得 2 10kmk ，所以 1 2 1k k ，所以MAMB.即
16、MAB为直 角三角形. （）由（）知当16 16 ()0k mk 时，方程 2 44()0kyymk的根为 2 y k . 设切点 2 1 1 , 4 y Ay ， 2 2 2 , 4 y By ，则 1 1 2 y k ， 2 2 2 y k .因为 1 2 1k k ，所以 12 12 4 4y y k k . 设: AB lxnyt，与 2 4yx联立消x得 2 440ynyt，则 12 4y yt ，所以44t， 解得1t ，所以直线AB过定点(1,0)P. 即x轴上存在一定点(1,0)P，使A，P，B三点共线. 20.解： （）由 2 ( )(6ln463)f xxxxa，(0,)x
17、，得( )12 (ln)fxxxxa. 函数( )f x有两个极值点等价于( )0fx在(0,)上有两个变号零点， 等价于ln0xxa 在(0,)上有两个变号零点. 令( )lng xxxa，则 11 ( )1 x g x xx . 所以(0,1)x时，( )0g x，( )g x单调递增； (1,)x时，( )0g x，( )g x单调递减，所以 max ( )(1)1g xga. 当1a时，( ) 0g x 恒成立，( )f x在(0,)上单调递减，不可能有两个极值点，舍去； 当1a 时，e(0,1) a ，e(1,) a ，ee0 aa g ，e2e0 aa ga，而(1)0g， 由零点
18、存在性定理得( )g x在(0,1)和(1,)内分别存在一个变号零点， 此时( )f x有两个极值点. 综上，所以求a的取值范围为(1,). （）因为 1 x， 212 xxx是( )f x的两个极值点，所以1a ，且 12 g xg x. 由（）知 12 01xx ， 2 1 1 1 x . 令 2222 1111 ( )( )lnln3lnh xg xgxxaaxx xxxx ，01x. 则 2 32 333 (1)22 3232 ( )1 xxx xx h x xxxx ， 由 2 220xx在01x恒成立，得01x时，( )0h x，( )h x单调递减. 又(1)0h，所以01x时，
19、( )0h x ，即 2 1 ( )g xg x . 所以 21 2 1 1 g xg xg x ，所以 2 2 1 1 g xg x .由（）知( )g x在(1,)单调递减， 所以 2 2 1 1 x x ，即 2 12 1xx.所以 2 12 ln0xx，即 12 2lnln0xx， 因为 12 01xx ，所以 12 ln0,ln0xx，所以 12 12 2lnln 0 lnln xx xx . 即 12 12 0 lnlnxx . 21.解： （）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分为A，B， 则( )0.5P A ，( )0.2P B ， 1 ( )()1 0.5
20、0.5 (1 0.2)0.9PP AP AB . 即该学生参加自主招生的概率为 0.9. （）设学生参加考试的次数X的可能取值为 2，3，4 (2)( ) ( )0.5 0.20.1P XP A P B； (3)( )1 0.50.5P XP A ； (4)( ) ( )0.5 0.80.4P XP A P B. 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 0.1 0.5 0.4 ()2 0.1 3 0.54 0.43.3E X . （）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线 录取的事件分别为C，D. ()0.1P AB ，( )0.9 0.6 0.9
21、0.486P C ，()0.9 0.4 0.70.252P D ， 所以该学生被该校录取的概率为 2 ()( )( )0.838PP ABP CP D. 22.解： （）曲线 1 C的普通方程为 22 4xy. 由4cos2sin0得 2 4 cos2 sin0. 将 222 xy，cosx，siny代入上式得， 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 420xyxy. （）将两圆的方程 22 4xy与 22 420xyxy作差得直线AB的方程为220xy. 点( 1,0)P 在直线AB上，设直线AB的参数方程为 5 1, 5 2 5 5 xt yt （t为参数） ， 代入 22 4xy化简得 2
22、 2 5 30 5 tt，所以 2 5 5 AB tt，3 A B t t . 所以 22 2 5 |(|)(|) 5 ABABAB PAPBPAPBPAPBtttttt， 因为A在B的上方， 所以 2 222 58 5 412 55 ABABABA B ttttttt t . 所以 22 2 58 516 | 555 PAPB，即 22 16 | 5 PAPB. 23.解： （）当1a 时， 2 2 2 1,1, ( )21,11 1,1, xx f xxxx xx ， 当1x时， 2 15x ，得22x ，所以12x ； 当11x 时， 2 215xx 恒成立，所以11x ； 当1x时， 2 15x 恒成立，德，1x. 综上，不等式( )5f x 的解集为 |2x x . （）(1,)x时，( )f xx恒成立，等价于 2 |xax在(1,)x恒成立. 等价于 22 xxax，即 22 xxaxx在(1,)x恒成立. 即(1,)x时， 22 maxmin xxaxx， 因为1x 时， 2 (2,)xx； 2 (,0)xx ， 所以02a剟，即实数a的取值范围是0,2.
