1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（二）年高考数学模拟试卷（理科）（二） 一、选择题一、选择题 1已知已知 i 是虚数单位，则是虚数单位，则（ ） A1+i B1+i C1i D22i 2已知集合已知集合 Ax|yln（x+1），Bx|2x10，则，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|0x1 Dx|1x2 3若若，则，则 sin2x（ ） A B C D 4在在ABC 内部任取一点内部任取一点 M，使得，使得MBC 的面积与的面积与ABC 的面积的比值大于的面积的比值大于 的概率为的概率为 （ ） A B C D 5等比数列等比数列an中，中，a36，前三项和，前三项和 S31
2、8，则公比，则公比 q 的值为（的值为（ ） A1 B C1 或或 D1 或或 6执行如图所示的程序框图，输出的结果执行如图所示的程序框图，输出的结果 s 为（为（ ） A2 B1 C2 D3 7水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然 和改造自然的象征如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是和改造自然的象征如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是 80 秒，半径为秒，半径为 3 米，水车中心（即圆心）距水面米，水车中心（即圆心）距水面 1.5 米
3、若以水面为米若以水面为 x 轴，圆心到水面轴，圆心到水面 的垂线为的垂线为 y 轴建立直角坐标系，水车的一个水轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点斗从出水面点 A 处开始计时，经过处开始计时，经过 t 秒后秒后 转到转到 P 点的位置，则点点的位置，则点 P 到水面的距离到水面的距离 h 与时间与时间 t 的函数关系式为（的函数关系式为（ ） A B C D 8设设 a0.2，blog0.2，c0.2，则（，则（ ） Aacb Babc Cbac Dbca 9五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，记载了我国古代早期思想文五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，记载了我国古代早期思想文 化发展史上政治军
4、事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文 学作品中，占据相当重要的位置学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了学作品中，占据相当重要的位置学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了 一套五经一套五经书籍共书籍共 5 本进行研读，若每人至少分一本，则本进行研读，若每人至少分一本，则 5 本书的分配方案种数是（本书的分配方案种数是（ ） A360 B240 C150 D90 10如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托
5、为空心的正四面体，且挖去的空心部 分是恰好与四面体四个面都相切的球分是恰好与四面体四个面都相切的球 O1；顶部为球；顶部为球 O2，其直径与正四面体的棱长，其直径与正四面体的棱长 a 相相 等，若这样设计奖杯，则球等，若这样设计奖杯，则球 O1与球与球 O2的半径之比的半径之比 r1：r2（ ） A1：6 B C1：3 D 11已知圆已知圆 C：x2+y28y+140，直线，直线 l：mxy3m+10 与与 x 轴，轴，y 轴分别交于轴分别交于 A，B 两点 设圆两点 设圆 C 上任意一点上任意一点 P 到直线的距离到直线的距离 l 为为 d， 若， 若 d 取最大值时， 取最大值时， PAB
6、 的面积 （的面积 （ ） ） A B8 C6 D 12已知函数已知函数，若不等式，若不等式 f（x）2 仅有两个整数解，则实数仅有两个整数解，则实数 a 的取值范围是的取值范围是 （ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 已知向量 已知向量 ， 满足满足| |1， （ （1，） ， 若） ， 若 （ ） ） 2， 则， 则 与与 的夹角为的夹角为 14一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐 a 个馒头，小和尚每餐每个馒头，小和尚每餐每 a 人吃人吃 1 个馒头若个馒头若 大和尚
7、的人数用大和尚的人数用 f（a）表示，则）表示，则 f（a） 15已知双曲已知双曲线线 C：（a0，b0）的左，右焦点分别为）的左，右焦点分别为 F1，F2，过右支上一，过右支上一 点点 P 作双曲线作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为的一条渐近线的垂线，垂足为 H若若|PH|+|PF1|的最小值为的最小值为 4a，则双曲，则双曲 线线 C 的离心率为的离心率为 16已知数列已知数列an的前的前 n 项和项和 Sn满足：满足：（nN*），则数列），则数列an中最中最 大项等于大项等于 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤第分解答应写出文字说眀、证眀过
8、程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分. 17在在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，满足，满足 bccosC+c2cosB2ab （）求（）求的值；的值； （）若（）若，则，则ABC 的面积的最大值的面积的最大值 18如图，多面体如图，多面体 ABCE 中，平面中，平面 AEC平面平面 ABC，ACBC，AECD 四边形四边形 BCDE 为为 平行四边形平行四边形 （）证明：（）证
9、明：AEEC； （）若（）若 AEECCB，求二面角，求二面角 DACE 的余弦值的余弦值 19已知椭圆已知椭圆 C1：（ab0）的一个焦点）的一个焦点 F 与抛物线与抛物线 C2：y24x 的焦点重合，的焦点重合， 且离心率为且离心率为 （）求椭圆（）求椭圆 C1的标准方程；的标准方程； （）过焦点（）过焦点 F 的直线的直线 l 与抛物线与抛物线 C2交于交于 A，B 两点，与椭圆两点，与椭圆 C1交于交于 C，D 两点，满足两点，满足 ，求直线，求直线 l 的方程的方程 20某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区
10、居民用水量进行调研，通过抽样调查的 方法获得了方法获得了 100 户居民某年的月均用水量（单位：户居民某年的月均用水量（单位：t），通过分组整理数据，得到数据的），通过分组整理数据，得到数据的 频率分布直方图如图所示：频率分布直方图如图所示： （）求图中（）求图中 m 的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值（保留的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值（保留 3 位小位小 数）数） （）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查（）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查 3 户居民的月均用水量，问恰有户居民的月均用水量，问恰有 2 户超过户超过 2.5t 的概率为多少？的概率
11、为多少？ （）若按月均用水量（）若按月均用水量0.5，2.5）和）和2.5，5.5分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽 取取 10 户，每户出一人参加户，每户出一人参加水价调整方案听证会并从这水价调整方案听证会并从这 10 人中随机选取人中随机选取 3 人在会上进人在会上进 行陈述发言，设来自用水量在区间行陈述发言，设来自用水量在区间0.5，2.5的人数为的人数为 X，求，求 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望 21已知函数已知函数 f（x）exax+b其中其中 a，bR （）讨论函数（）讨论函数 f（x）的单调性；）的单调性； （）函数（）函数 f（
12、x）在）在 x0 处存在极值处存在极值1，且，且 x（1，+）时，）时，f（x）+2k（x+1） 恒成立，求实数恒成立，求实数 k 的最大整数的最大整数 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（共（共 1 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为：的参数方程为：（ 为参数）在以为参数）在以 坐标原点为极点，坐标原点为极点，x 轴正半轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 （）求曲线（）求曲线 C 的普通方程和直线的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
13、的直角坐标方程； （）设点（）设点 P 的直角坐标为（的直角坐标为（1，0），若直线），若直线 l 与曲线与曲线 C 分别相交于分别相交于 A，B 两点，求两点，求 的值的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（共（共 1 小题，满分小题，满分 0 分）分） 23已知函数已知函数 f（x）|x|+|x+1| （）解关于（）解关于 x 的不等式的不等式 f（x）2； （）若（）若 a，b，cR+，函数，函数 f（x）的最小值为）的最小值为 m，若，若 a+b+cm，求证：，求证：ab+bc+ac 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分
14、，满分 60 分）分） 1已知已知 i 是虚数单位，则是虚数单位，则（ ） A1+i B1+i C1i D22i 解：解： 故选：故选：A 2已知集合已知集合 Ax|yln（x+1），Bx|2x10，则，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|0x1 Dx|1x2 解：解：集合集合 Ax|yln（x+1）x|x1， Bx|2x10x|x 0， ABx|1x0 故选：故选：B 3若若，则，则 sin2x（ ） A B C D 解：解：因为因为，所以，所以 x 为第二或第四象限的角；为第二或第四象限的角； 若若 x 为第二象限的角，则为第二象限的角，则，； 若若 x 为第四象限的角，则为
15、第四象限的角，则，； 所以所以 故选：故选：B 4在在ABC 内部任取一点内部任取一点 M，使得，使得MBC 的面积与的面积与ABC 的面积的比值大于的面积的比值大于 的概率为的概率为 （ ） A B C D 解：解：由题意，设由题意，设MBC 的面积等于的面积等于，ABC 的高为的高为 h， ABC 的面积为的面积为 S，MBC 的面积等于的面积等于，ABC 的高为的高为 h， M 到到 BC 的距离为的距离为h； 即即 M 的轨迹是与的轨迹是与 BC 的距离为的距离为h 的一条直线，如图：的一条直线，如图： M 三角形三角形 ADE 内内 三角形三角形 MC 的面积大于的面积大于的概率为（
16、的概率为（1）2； 故选：故选：D 5等比数列等比数列an中，中，a36，前三项和，前三项和 S318，则公比，则公比 q 的值为（的值为（ ） A1 B C1 或或 D1 或或 【解答】解【解答】解S318，a36 a1+a212 即即 2q2q10 解得解得 q1 或或 q， 故选：故选：C 6执行如图所示的程序框图，输出的结果执行如图所示的程序框图，输出的结果 s 为（为（ ） A2 B1 C2 D3 解：解：模拟程序的运行，可得模拟程序的运行，可得 n1，s1 执行循环体，执行循环体，s0，n2 不满足条件不满足条件 n4，执行循环体，执行循环体，s2，n3 不满足条件不满足条件 n4
17、，执行循环体，执行循环体，s1，n4 不满足条不满足条件件 n4，执行循环体，执行循环体，s3，n5 此时，满足条件此时，满足条件 n4，退出循环，输出，退出循环，输出 s 的值为的值为 3 故选：故选：D 7水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然 和改造自然的象征如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是和改造自然的象征如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是 80 秒，半径为秒，半径为 3 米，水车中心（即圆心）距水面米，水车中心（即圆心）距水
18、面 1.5 米若以水面为米若以水面为 x 轴，圆心到水面轴，圆心到水面 的垂线为的垂线为 y 轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点 A 处开始计时，经过处开始计时，经过 t 秒后秒后 转到转到 P 点的位置，则点点的位置，则点 P 到水面的距离到水面的距离 h 与时间与时间 t 的函数关系式为（的函数关系式为（ ） A B C D 解：解：由题意，如图，过由题意，如图，过 P 向向 x 轴作垂线，垂足为轴作垂线，垂足为 E， 则则 hPEPD+1.5， r3，BO1.5，可得，可得CBABAO， 水车的角速度水车的角速度 ， 由题意可得，由题意可
19、得，PBAt，可得，可得PBDPBACBAt， 在在PBD 中，中，PDPBsinPBD3sin（t），）， 点点 P 到水面的距离到水面的距离 hPD+1.53sin（t）+1.5 故选：故选：A 8设设 a0.2，blog0.2，c0.2，则（，则（ ） Aacb Babc Cbac Dbca 解：解：00.20.201，log0.2log10，0.201， bac 故选：故选：C 9五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，记载了我国古代早期思想文五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，记载了我国古代早期思想文 化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文化发展史上政治军事
20、、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文 学作品中，占据相当重要的位置学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了学作品中，占据相当重要的位置学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了 一套五经书籍共一套五经书籍共 5 本进行研读，若每人至少分一本，则本进行研读，若每人至少分一本，则 5 本书的分配方案种数是（本书的分配方案种数是（ ） A360 B240 C150 D90 解：解：先分类再分配第一步分两类（先分类再分配第一步分两类（2，2，1）和（）和（3，1，1），）， 则分类方法有则分类方法有种；种； 第二步分配给三名学生有第二步分配给三名学生有种分法；种分法；
21、由分步计数乘法原理得：由分步计数乘法原理得：种种 故选：故选：C 10如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部 分是恰好与四面体四个面都相切的球分是恰好与四面体四个面都相切的球 O1；顶部为球；顶部为球 O2，其直径与正四面体的棱长，其直径与正四面体的棱长 a 相相 等，若这样设计奖杯，则球等，若这样设计奖杯，则球 O1与球与球 O2的半径之比的半径之比 r1：r2（ ） A1：6 B C1：3 D 解：解：设内切球设内切球 O1的半径的半径 r1，正四面体的高为，正四面体的高为 h，
22、利用等体积得，利用等体积得， 所以所以 4r1h， 又又， 则则，球，球 O2的半径的半径， 所以所以 故选：故选：B 11已知圆已知圆 C：x2+y28y+140，直线，直线 l：mxy3m+10 与与 x 轴，轴，y 轴分别交于轴分别交于 A，B 两点 设圆两点 设圆 C 上任意一点上任意一点 P 到直线的距离到直线的距离 l 为为 d， 若， 若 d 取最大值时， 取最大值时， PAB 的面积 （的面积 （ ） ） A B8 C6 D 解：解：直线直线 l：mxy3m+10，整理可得：，整理可得：ym（x3）+1，所以过定点，所以过定点 M（3，1），）， 圆圆 C：x2+y28y+14
23、0 的圆心的圆心 C（0，4），半径），半径； 当当 MCl 时，圆心时，圆心 C 到直线到直线 l 的距离最大，的距离最大，kMC1，kl1，即直线，即直线 l 方程为方程为 xy 20， 则则 A（2，0），B（0，2），），C 到直线到直线 l 的距离为的距离为，则，则 P 到直线到直线 l 的的 最大距离最大距离， 此时此时PAB 的面积的面积， 故选：故选：B 12已知函数已知函数，若不等式，若不等式 f（x）2 仅有两个整数解，则实数仅有两个整数解，则实数 a 的取值范围是的取值范围是 （ ） A B C D 解：解：由由，则由，则由可得，可得， 当当 a0 时，时，f（x）0，f
24、（x）单调递减，）单调递减，时，时，f（x） 0，f（x）单调递增，且）单调递增，且 f（1）0， 则则 f （x） ） 2 有两个整数解为有两个整数解为 1， 2， 所以， 所以，且且， 解得， 解得， 当当 a0 时，时，f（x）0，f（x）单调递减，且）单调递减，且 f（1）0，则，则 f（x） 2 整数解有整数解有无数个，不满足题意无数个，不满足题意 故选：故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 已知向量 已知向量 ， 满足满足| |1， （ （1，） ， 若） ， 若 （ ） ） 2， 则， 则 与与 的夹角为
25、的夹角为 120 解：解：因为因为 （ ） 2 12，所以，所以1， 则则 cos ， ， 即有即有 与与 的夹角为的夹角为 120， 故答案为故答案为 120 14一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐 a 个馒头，小和尚每餐每个馒头，小和尚每餐每 a 人吃人吃 1 个馒头若个馒头若 大和尚的人数用大和尚的人数用 f（a）表示，则）表示，则 f（a） 解：解：设大和尚有设大和尚有 x 人，则人，则， 即即 x（a21）100（a1），）， 当当 a1 时，与生活实际不符，所以时，与生活实际不符，所以 a1， 解得解得， 即即， 故答案为：故答案为： 15已知双曲
26、线已知双曲线 C：（a0，b0）的左，右焦点分别为）的左，右焦点分别为 F1，F2，过右支上一，过右支上一 点点 P 作双曲线作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为的一条渐近线的垂线，垂足为 H若若|PH|+|PF1|的最小值为的最小值为 4a，则双曲，则双曲 线线 C 的离心率为的离心率为 解：解： 由双曲线定义知，由双曲线定义知， |PF1|PF2|2a， 则， 则|PF1|PF2|+2a， ， |PH|+|PF1|PH|+|PF2|+2a， 所以，过所以，过 F2作双曲线一条渐近线的垂线垂足为作双曲线一条渐近线的垂线垂足为 H，交右支于点，交右支于点 P， 此时此时|PH|+|PF2|
27、+2a 最小且最小值为最小且最小值为 4a，易求焦点到渐近线的距离为，易求焦点到渐近线的距离为 b 即即|PH|+|PF2|b，所以，所以 b+2a4a，即，即 b2a，c25a2， 可求离心率可求离心率 故答案为：故答案为： 16已知数列已知数列an的前的前 n 项和项和 Sn满足：满足：（nN*），则数列），则数列an中最中最 大项等于大项等于 解：解：已知得已知得 n2 时，时， 则则， 即：即：， 令令， 又又， 数列数列bn是首项是首项，公差为，公差为 1 的等差数列，的等差数列， 则则 bnn， 所以，所以， 又因为又因为， 所以所以 a1a2a3a4an， 故数列故数列an中中且
28、最大且最大 故答案为：故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤第解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分. 17在在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，满足，满足 bccosC+c2cosB2ab （）求（）求的值；的值； （）若（）若，则，则ABC 的面积的最大值的面积的最大值 解：解：（）由（）由 bcco
29、sC+c2cosB2ab，得，得 c（bcosC+ccosB）2ab，由，由 正弦定理知：正弦定理知：c（sinBcosC+sinCcosB）2bsinA 即即 csin（B+C）2bsinA，csinA2bsinA sinA0， c2b； （）由余弦定理知，（）由余弦定理知，a2c2+b22cbcosA5b24b2cosA6，则，则； ， 即即 5S4ScosA6sinA， ， ， 解得解得 S2， 即即ABC 的面积的最大值是的面积的最大值是 2 18如图，多面体如图，多面体 ABCE 中，平面中，平面 AEC平面平面 ABC，ACBC，AECD 四边形四边形 BCDE 为为 平行四边形平
30、行四边形 （）证明：（）证明：AEEC； （）若（）若 AEECCB，求二面角，求二面角 DACE 的余弦值的余弦值 解：解：（）证明：因为平面（）证明：因为平面 AEC平面平面 ABC，交线为，交线为 AC，又，又 ACBC， 所以所以 BC平面平面 AEC，BCAE，又，又 AECD，CDBCC， 则则 AE平面平面 BCDE，EC平面平面 BCDE， 所以所以 AEEC； （）取（）取 AC 的中点的中点 O，AB 的中点的中点 F，连接，连接 OE，OF，则，则 OE平面平面 ABC，OF平面平面 AEC， 以点以点 O 为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以 OA，OF，OE 为为 x
31、 轴，轴，y 轴，轴，z 轴建立空间直角坐标系如图轴建立空间直角坐标系如图 所示，所示， 已知已知，则，则 AC2，OE1O（0，0，0），），A（1，0，0），），C（1，0， 0），）， 则则， 设平面设平面 DAE 的一个法向量的一个法向量， 由由得得令令，则，则 x0，z2， 即即， 平面平面 ECA 的一个法向的一个法向量为量为， 由由， 所以二面角所以二面角 DACE 的余弦值为的余弦值为 19已知椭圆已知椭圆 C1：（ab0）的一个焦点）的一个焦点 F 与抛物线与抛物线 C2：y24x 的焦点重合，的焦点重合， 且离心率为且离心率为 （）求椭圆（）求椭圆 C1的标准方程；的标准方
32、程； （）过焦点（）过焦点 F 的直线的直线 l 与抛物线与抛物线 C2交于交于 A，B 两点，与椭圆两点，与椭圆 C1交于交于 C，D 两点，满足两点，满足 ，求直线，求直线 l 的方程的方程 解：解：（）由已知椭圆的离心率（）由已知椭圆的离心率，c1，得，得，则，则 b1， 故椭圆故椭圆 C1的标准方程为的标准方程为 （） 当直线（） 当直线 l 不存在斜率时， 可求出不存在斜率时， 可求出 A （1， 2） ，） ， B （1， ， 2） ，） ， 所以所以|AB|4，不满足条件；，不满足条件； 当直线当直线 l 存在斜率时，设直线存在斜率时，设直线方程为方程为 yk（x1），）， 代入
33、椭圆代入椭圆 C1方程得：（方程得：（1+2k2）x24k2x+2k220，0 恒成立，设恒成立，设 C（x1，y1），），D （x2，y2），）， 则则 所以所以， 将直线将直线 l：yk（x1），代入抛物线），代入抛物线 C2得得 k2x2（2k2+4）x+k20， 设设 A（x3，y3），），B（x4，y4），则），则， 又因为又因为， 由由，得：，得：， 所以所以，解得，解得 k1， 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 xy10 20某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的
34、方法获得了方法获得了 100 户居民某年的月均用水量（单位：户居民某年的月均用水量（单位：t），），通过分组整理数据，得到数据的通过分组整理数据，得到数据的 频率分布直方图如图所示：频率分布直方图如图所示： （）求图中（）求图中 m 的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值（保留的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值（保留 3 位小位小 数）数） （）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查（）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查 3 户居民的月均用水量，问恰有户居民的月均用水量，问恰有 2 户超过户超过 2.5t 的概率为多少？的概率为多少？ （）若按月均用水量（）若按
35、月均用水量0.5，2.5）和）和2.5，5.5分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽 取取 10 户，每户出一人参加水价调整方案听证会并从这户，每户出一人参加水价调整方案听证会并从这 10 人中随机选取人中随机选取 3 人在会上进人在会上进 行陈述发言，设来自用水量在区间行陈述发言，设来自用水量在区间0.5，2.5的人数为的人数为 X，求，求 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望 解：解：（）由频率分布直方图得：）由频率分布直方图得： （0.10+0.30+0.35+m+0.05）11， 解得解得 m0.20， 0.5，2.5）的频率为）的频率为 0.1+
36、0.30.4， 2.5，3.5）的频率为）的频率为 0.35， 估计该社区居民月均用水量的中位数为：估计该社区居民月均用水量的中位数为：2.5+12.786 平均值为：平均值为：10.1+20.3+30.35+40.2+50.052.800 （）用此样本频率估计概率，从该社区随机抽查（）用此样本频率估计概率，从该社区随机抽查 3 户居民的月均用水量，户居民的月均用水量， 月均用水量超过月均用水量超过 2.5t 的概率为：的概率为：0.35+0.2+0.050.6， 恰有恰有 2 户超过户超过 2.5t 的概的概率为率为 P0.432 （）若按月均用水量（）若按月均用水量0.5，2.5）和）和2
37、.5，5.5分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽 取取 10 户，户， 月均用水量月均用水量0.5，2.5）中抽取：）中抽取：10（0.1+0.3）4 户，户， 月均用水量月均用水量2.5，5.5中抽取：中抽取：10（0.35+0.2+0.005）6 户户 从这从这 10 人中随机选取人中随机选取 3 人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间0.5，2.5的人数的人数 为为 X， 则则 X 的可能取值为的可能取值为 0，1，2，3， P（X0） ， P（X1） ， P（X2） ， P（X3） ， X 的分布列为：的分布
38、列为： X 0 1 2 3 P 数学期望数学期望 E（X） 21已知函数已知函数 f（x）exax+b其中其中 a，bR （）讨论函数（）讨论函数 f（x）的单调性；）的单调性； （）函数（）函数 f（x）在）在 x0 处存在极值处存在极值1，且，且 x（1，+）时，）时，f（x）+2k（x+1） 恒成立，求实数恒成立，求实数 k 的最大整数的最大整数 解：解：（）（）f（x）exa， 当当 a0 时，时，f（x）0，f（x）在（，）在（，+）上单调递增；）上单调递增； 当当 a0 时，时，f（x）exa0，xlna， 则则 x（，（，lna）时，）时，f（x）0，f（x）在（，）在（，lna
39、）上单调递减；）上单调递减；x（lna，+ ）时，）时，f（x）0，f（x）在（）在（lna，+）上单调递增；）上单调递增； 综上，当综上，当 a0 时，时，f（x）在（，）在（，+）上单调递增；）上单调递增； 当当 a0 时，时，f（x）在（，）在（，lna）上单调递减，在（）上单调递减，在（lna，+）上单调递增）上单调递增 （）函数（）函数 f（x）在）在 x0 处存在极值处存在极值1， 由（）知由（）知 a0，且，且 f（0）e0a0，f（0）1+b1， 所以所以 a1，b2， 则则 f（x）exx2； 因为因为 f（x）ex10，x0， 所以所以 x（，（，0）时，）时，f（x）单调
40、递减；）单调递减；x（0，+）时，）时，f（x）单调递增，）单调递增， 则则 f（x）在）在 x0 处存在极值处存在极值 f（0）1 满足题意（不检验扣满足题意（不检验扣 1 分）分） 由题意由题意 f（x）+2k（x+1）恒成立，即）恒成立，即 exxk（x+1），对），对 x（1，+）恒成立，）恒成立， 即：即：，设，设，只需，只需 kh（x）min， 因为因为， 又令又令 t（x）xex1，t（x）ex+xex（1+x）ex， 所以所以 t（x）在（）在（1，+）上单调递增，）上单调递增， 因为因为，t（1）e10 知存在知存在使得使得， 即即， 且在（且在（1，x0）上，）上，t（x）
41、0，h（x）0，h（x）单调递减，）单调递减， 在（在（x0，+）上，）上，t（x）0，h（x）0，h（x）单调递增，）单调递增， 所以，所以，即，即， ， 又又 h（0）1， 知知 h（x）min（0，1），所以），所以 k 的最大整数为的最大整数为 0 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（共（共 1 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为：的参数方程为：（ 为参数）在以为参数）在以 坐标原点为极点，坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐
42、标方程为的极坐标方程为 （）求曲线（）求曲线 C 的普通方程和直线的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；的直角坐标方程； （）设点（）设点 P 的直角坐标为（的直角坐标为（1，0），若直线），若直线 l 与曲线与曲线 C 分别相交于分别相交于 A，B 两点，求两点，求 的值的值 解：解：（）曲线（）曲线 C 的的参数方程为：参数方程为：（ 为参数）转化为直角坐标方程为为参数）转化为直角坐标方程为 直线直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为转换为直角坐标方程为转换为直角坐标方程为 y+x10 （）把直线（）把直线 x+y10 的方程为转换为参数方程为的方程为转换为参数方程为（t 为参数）为参数） 把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到，得到， 所以所以，
