1、 焦作市普通高中 20192020 学年（上）高三年级第一次模拟考试 文科数学 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合|04Mxx， |3,Nx yx yM
2、，则MN （ ） A. 0,3 B. 0,4 C. 1,4 D. 1,3 2. 若复数z满足 2 1 1 i i z ，则z （ ） A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i 3. 人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI体重身高 2（体重单位为kg ，身高单位为m）.其判定标 准如下表： BMI 18.5 以下 18.523.9 2429.9 30 以上 等级 偏瘦 正常 超标 重度超标 某小学生的身高为1.5m，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是（ ） A. 47kg B. 51kg C. 66kg D. 70kg 4. 若x，y满足约束条件 1 1
3、33 xy xy xy ，则43zxy的最小值为（ ） A. 9 B. 6.5 C. 4 D. 3 5. 若 21 cos 52 ，则sin 10 （ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 2 6. 某种微生物的繁殖速度y与生长环境中的营养物质浓度x相关， 在一定条件下可用回归模型 2lgyx进 行拟合.在这个条件下，要使y增加 2 个单位，则应该（ ） A. 使x增加 1 个单位 B. 使x增加 2 个单位 C. 使x增加到原来的 2 倍 D. 使x增加到原来的 10 倍 7. 已知 2ababa b，且2ab，则向量a与b的夹角为（ ） A. 120 B. 90 C. 6
4、0 D. 45 8. 某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为 1，K是线段DI上的点，则在原三棱柱中， AKCK的最小值为（ ） A. 65 B. 73 C. 4 5 D. 89 9. 已知函数 f x的定义域为R， 且 1f x是偶函数，1f x是奇函数， 则下列说法正确的个数为 （ ） 70f； f x的一个周期为 8； f x图像的一个对称中心为3,0； f x图像的一条对称轴为2019x. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 将函数 sin 3 fxx 图像上所有的点按照向量,00maa平移得到函数 g x的图像，若 33 55 fg ，则a的最小值为（ ）
5、A. 4 15 B. 13 30 C. 13 15 D. 17 15 11. 已知函数 1 2 1 2log,1 8 2 ,12 x xx x f x ，若 f af bab，则ba的取值范围为（ ） A. 3 0, 2 B. 7 0, 4 C. 9 0, 8 D. 15 0, 8 12. 如图所示，直线l与双曲线E： 22 22 10,0 xy ab ab 的两条渐近线分别交于A，B两点，若 4OA OB ，且AOB的面积为4 2，则E的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知数列 n a是等差数列，且
6、 9 3a ，则 4812 2aaa_. 14. 曲线 2 2 x yxe 在点0,2处的切线方程为_. 15. 已知圆C： 22 24xay，直线l：10xay 与圆C交于A，B两点，且ABC为等腰 直角三角形，则实数a_. 16. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知2coscoscosCaB bA且 6 3 bc， 则B _. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 某包子店每天早晨会提前做好一定量的包子，以保
7、证当天及时供应，该包子店记录了 60 天包子的日需 求量n（单位：个，nN）.按550,650，650,750，750,850，850,950，950,1050分组， 整理得到如图所示的频率分布直方图，图中: : :4:3:2:1a b c d . （）求包子日需求量平均数的估计值（每组以中点值作为代表）； （）若包子店想保证至少80%的天数能够足量供应，则每天至少要做多少个包子？ 18. 记数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 1a ， 1 21 nn SS . （）证明：数列1 n S 是等比数列； （）若关于n的不等式 22 log nn Ska 的解集中有 6 个正整数，求实数k
8、的取值范围. 19. 如图，已知四棱锥SABCD，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，SAD 是等边三角 形，120BAD，2AB . （）证明：SCBC； （）设点E在棱SD上，且SESD，若点E到平面SBC的距离为 6 3 ，求的值. 20. 设椭圆C： 2 2 2 11 x ya a 的左顶点为A，右焦点为F，已知23AF . （）求椭圆C的方程； （）抛物线 2 20ypx p与直线2x交于P，Q两点，直线AP与椭圆C交于点B（异于点A）， 若直线BQ与AP垂直，求p的值. 21. 已知函数 ln x f xeax，其中0a. （）若ae，求 f x的单调区间； （）设 f
9、x的最小值为m，求m的最大值. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 8 2 2 xt t y （t为参数），曲线C的参数方程为 2 3 2 3 xs ys （s为参数）. （）求直线l和曲线C的普通方程； （）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知a，b，c为正数，且1abc，证明： （）21 21 2127abc； （） 222 1113 4 a bcb acc ab .
10、焦作市普通高中焦作市普通高中 20192020 学年（上）高三年级第一次模拟考试学年（上）高三年级第一次模拟考试 文科数学答案文科数学答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1-5：ADCDB 6-10：DCBCC 11-12：BB 1.【答案】A 【解析】本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 【解析】依题意得034x ，解得13x ，即| 13Nxx ，所以|03MNxx. 2.【答案】D 【命题意图】本题考查复数的基本运算. 【解析】 2 12 1 1 12 iii zi i . 3.【答案】C 【命题意图】本题考查推理与证明，
11、考查推理论证能力以及估算思想. 【解析】由题意得，体重BMI身高 2 ，因为此人属于超标，所以24,29.9BMI ，所以此学生的体重 范围为 22 24 1.5 ,29.9 1.5 ，即 54,67.275，故正确答案为 C. 4.【答案】D 【命题意图】本题考查线性规划，考查化归与转化能力以及数形结合思想. 【解析】不等式组所表示的可行域为下图中的ABC，当目标函数对应的直线经过点0,1B时，z取得最 小值 3. 5.【答案】B 【命题意图】本题考查三角函数的恒等变换求值，考查推理论证能力以及数形结合思想. 【解析】 2 sinsin 1052 21 cos 52 . 6.【答案】D 【命
12、题意图】本题考查回归模型的概念. 【解析】2lgyx，则22lg22 lg12lg10yxxx，所以应该使x增加到原来的 10 倍. 7.【答案】C 【命题意图】本题考查向量数量积，考查运算求解能力以及函数与方程思想. 【解析】由 2ababa b，得 22 22cos,0aba ba b.因为2ab，所以 1 cos, 2 a b ，所以向量a与b的夹角为60. 8.【答案】B 【命题意图】本题考查空间图形和平面图形的转化与计算，考查运算求解能力及空间想象能力. 【解析】 将展开图折成立体图形， 如图， 然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题， 如图所示.因为8AJ ，3CJ
13、 ，所以 22 3873AC ，即AKCK的最小值为73. 9.【答案】C 【命题意图】本题考查函数的性质，考查推理论证能力以及化归转化思想. 【解析】依题意知，1x 是 f x的对称轴，1,0是 f x的对称中心，所以 f x是周期函数，且 8 为函数 f x的一个周期，故正确； 710ff，故正确；因为每隔半个周期出现一个对称中 心， 所以3,0是函数 f x的对称中心， 故正确；20198 252 3x ， 所以2019x不是函数 f x 的图像的对称轴，故错误.故正确答案为 C. 10.【答案】C 【命题意图】本题考查三角函数的图像和性质，考查推理论证能力以及化归转化思想. 【解析】令
14、 32 xk 得 f x图像的对称轴为 6 xkkZ ，其中距离 3 5 x 最近的对称轴 为 6 x .点 33 , 55 Pf 关于直线 6 x 对称的点为 43 , 155 Pf .要使a最小，则 3413 51515 a . 11.【答案】B 【命题意图】本题考查函数的性质，考查运算求解能力以及数形结合思想. 【解析】函数 f x的图象如下图所示.设 f af bk，则2,4k.由 1 2 2log ak ，2bk，得 2 1 2 k a ， 2 logbk，所以 2 2 1 log 2 k bak .设函数 2 2 1 log 2 x xxg ，2,4x，因为 g x在2,4上单调递
15、增，所以 24gg xg，即 7 0 4 g x，所以 7 0, 4 ba . 12.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的基本性质及三角运算. 【解析】设0 2 AOx ，由题意可得cos24OA OB， 1 sin24 2 2 OA OB，所以 sin2 tan22 2 cos2 ，由 2 2tan 2 2 1tan ，可得tan 2 （负值舍去），又因为tan b a ，所 以 2 2 2 11tan3 cb e aa . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 12 14. 220xy 15. 1 或 1 7 16. 4 （或45） 13.【答案】12
16、【命题意图】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想. 【解析】因为 n a是等差数列，所以 48126129 222412aaaaaa. 14.【答案】2 20xy 【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归转化思想. 【解析】由 2 2 x yf xxe ，得 22 2222 xxx xexexxefx.所以 02f.所以 曲线 2 2 x yxe 在点0,2处的切线方程为220yx，即220xy. 15.【答案】1 或 1 7 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系. 【解析】由题意得,2C a，圆C的半径为 2，因为ABC为等腰直角三角形，所以圆心C
17、到直线l的距离 2 21 2 1 aa d a ，解得1a 或 1 7 a . 16.【答案】 4 （或45） 【命题意图】本题考在解三角形. 【解析】由正弦定理可得2sincossincossincosCABBAsinsinABC，所以 1 cos 2 C ， 因为C是三角形内角，所以 3 C .又由 sinsin bc BC 得 sin2 sin 2 bC B c ，因为 22 33 BA ， 所以 4 B . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或滴算步骤. 17.【命题意图】本题考查频率分布直方图以及用样本估计总体的思想. 【解析】（）由图可知，各分组的频率分别为 1
18、 6 ， 1 4 ， 1 3 ， 1 6 ， 1 12 . 所以包子日需求量平均数的估计值为 11111 6007008009001000775 643612 . （）设包子店每天至少做m个包子. 因为 1113 0.8 643 85 4 0P n， 11 9500.8 12 P n ，所以850,950m. 由频率分布直方图可知 1 600 c ，令 8503 0.8 6004 m ，解得880m. 所以每天至少要做 880 个包子. 18.【命题意图】本题考查数列的递推公式及数列的函数性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 【解析】（）由 1 21 nn SS ，得 1 121 nn
19、SS ， 即 1 1 2 1 n n S S ， 所以数列1 n S 是首项为 1 12a ，公比为 2 的等比数列. （）由（）知数列1 n S 的通项公式为12n n S ，所以21 n n S . 当2n时， 11 1 222 nnn nnn aSS ， 1 1a 也符合该式，所以 1 2n n a . 由 22 log nn Ska ，得211 n k n ， 结合函数21 x y ，1yk x的图像可知，若原不等式的解集中有 6 个正整数， 则 6 7 216 1 217 1 k k ，解得 9 127 8 k k . 所以实数k的取值范围为 127 9, 8 . 19.【命题意图】
20、本题考查空间线面的位置关系、等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力以及数形 结合思想. 【解析】（）取AD的中点H，连接CH，SH. SASD，SHAD. 连接AC.四边形ABCD是菱形，且120BAD， ACCD，CHAD. SHCHH，AD 平面SCH，ADSC. 又在菱形ABCD中，/BCAD， SCBC. （）连接BD. 2AB ，120BAD， 1 sin3 2 BCD SBCCDBCD . 由（）知SHAD，平面SAD平面ABCD，SH 平面ABCD. 1 1 3 S BCDBCD VSSH . 由（）知SCBC， 1 6 2 SBC SBCSC ， 设D到平面SBC的距离为h
21、，由 1 3 S BCDD SBCSBC VVSh ， 解得 6 2 h . 根据相似知 6 2 3 36 2 . 20.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、圆锥曲线与直线相交的问题. 【解析】（）设椭圆的半焦距为c，则23AFac. 又因为 22 1ac，所以 22 23 ac ac ac . 解得2a，3c . 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. （）将2x代入 2 2ypx得2yp，不妨取2,2Pp，2, 2Qp， 由（）可知2,0A ，从而直线AP的方程为 2 2 p yx . 联立方程组 2 2 2 2 1 4 p yx x y 消去y得 2 1 10 4 p
22、 xpxp . 设, BB B xy，因为点B异于点A，由根与系数的关系得 41 2 1 B p x p ， 所以 22 1 B p x p ， 2 2 21 BB pp yx p . 所以 224 , 11 ppp BQ pp ，4,2APp. 因为BQAP，所以 4216 0 11 ppp AP BQ pp ， 解得2p . 21.【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与 转化思想. 【解析】（）若ae，则 ln x f xeex，定义域为0,. x x exee fxe xx . 令 x g xxee，则 g x在0,上单调递增，且 10
23、g， 在0,1上， 0g x ，即 0fx ； 在1,上， 0g x ，即 0fx . f x的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,. （） x xea fx x ，0x. 令 x h xxea，则 h x在0,上单调递增. 00ha，10 aa haaeaae ， 存在 0 0,x ，使得 0 0h x，即 0 0 0 x x ea. 在 0 0,x上， 0h x ，即 0fx ；在 0, x 上， 0h x ，即 0fx . f x在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 000 0000 lnln xxx mf xeaxex ex 0 00 1ln x exx， 令 1l
24、n x xexx，则 1ln x xexx. 0x，10x，又 10， 在0,1上， 0x，在1,上， 0x. x在0,1上单调递增，在1,上单调递减. x的最大值为 1e， m的最大值为e. 22.【命题意图】本题考查参数方程与普通方程的互化及应用. 【解析】（）直线l的普通方程为380xy. 在曲线C的参数方程中， 22 124ysx，所以曲线C的普通方程为 2 4yx. （）设点 2 3,2 3Pss. 点P到直线l的距离 22 368 315 22 ss s d . 当1s 时， min 5 2 d，所以点P到直线l的距离的最小值为 5 2 . 此时点P的坐标为3,2 3. 23.【命题意图】本题考查不等式的证明、均值不等式的应用. 【解析】（） 32 2113aaaa ，同理有 32 213bb ， 32 213cc ， 3222 21 21 212727abca b c . （） 2 22 24abaabbab， 2 1 4 ab ab . 同理有 2 1 4 ac ac ， 2 1 4 bc bc . 222 111 a bcb acc ab 222 abcabcabc a bcb acc ab 222 bcacab bcacab 1113 4444 .
